MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decpmatmulsumfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decpmatmulsumfsupp 22138
Description: Lemma 0 for pm2mpmhm 22185. (Contributed by AV, 21-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmatmul.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
decpmatmul.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
decpmatmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
decpmatmul.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
decpmatmulsumfsupp.m ยท = (.rโ€˜๐ด)
decpmatmulsumfsupp.0 0 = (0gโ€˜๐ด)
Assertion
Ref Expression
decpmatmulsumfsupp (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘™) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘™ โˆ’ ๐‘˜)))))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘˜,๐‘™   ๐‘˜,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘˜   ๐‘…,๐‘˜,๐‘™   ๐ด,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐ด,๐‘™   ๐ต,๐‘™   ๐‘,๐‘™,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ยท ,๐‘™
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘˜,๐‘™)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘™)   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘˜)   0 (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘˜,๐‘™)

Proof of Theorem decpmatmulsumfsupp
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘› ๐‘  ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 decpmatmulsumfsupp.0 . . . 4 0 = (0gโ€˜๐ด)
21fvexi 6857 . . 3 0 โˆˆ V
32a1i 11 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ V)
4 ovexd 7393 . 2 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘™) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘™ โˆ’ ๐‘˜))))) โˆˆ V)
5 oveq2 7366 . . . 4 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (0...๐‘™) = (0...๐‘›))
6 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (๐‘™ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))
76oveq2d 7374 . . . . 5 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘™ โˆ’ ๐‘˜)) = (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)))
87oveq2d 7374 . . . 4 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘™ โˆ’ ๐‘˜))) = ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))))
95, 8mpteq12dv 5197 . . 3 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘™) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘™ โˆ’ ๐‘˜)))) = (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)))))
109oveq2d 7374 . 2 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘™) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘™ โˆ’ ๐‘˜))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))))))
11 simpll 766 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
12 simplr 768 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
13 decpmatmul.p . . . . . . . . 9 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
14 decpmatmul.c . . . . . . . . 9 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
1513, 14pmatring 22057 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ถ โˆˆ Ring)
1615anim1i 616 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ถ โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)))
17 3anass 1096 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐ถ โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)))
1816, 17sylibr 233 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ถ โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
19 decpmatmul.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
20 eqid 2733 . . . . . . 7 (.rโ€˜๐ถ) = (.rโ€˜๐ถ)
2119, 20ringcl 19986 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
2218, 21syl 17 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
23 eqid 2733 . . . . . 6 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
2413, 14, 19, 23pmatcoe1fsupp 22066 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
2511, 12, 22, 24syl3anc 1372 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
26 fvoveq1 7381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ (coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘)) = (coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘)))
2726fveq1d 6845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›))
2827eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ (((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โ†” ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
29 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ = ๐‘— โ†’ (๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘) = (๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))
3029fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = ๐‘— โ†’ (coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘)) = (coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—)))
3130fveq1d 6845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = ๐‘— โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›))
3231eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ = ๐‘— โ†’ (((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โ†” ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
3328, 32rspc2va 3590 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))
3433expcom 415 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
3534adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
36353impib 1117 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))
3736mpoeq3dva 7435 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…)))
38 decpmatmul.a . . . . . . . . . . . 12 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3938, 23mat0op 21784 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (0gโ€˜๐ด) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…)))
401, 39eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ 0 = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…)))
4140ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ 0 = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…)))
4237, 41eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›)) = 0 )
4342ex 414 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›)) = 0 ))
4443imim2d 57 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘  < ๐‘› โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›)) = 0 )))
4544ralimdva 3161 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›)) = 0 )))
4645reximdv 3164 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘))โ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›)) = 0 )))
4725, 46mpd 15 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›)) = 0 ))
48 decpmatmulsumfsupp.m . . . . . . . . . . . 12 ยท = (.rโ€˜๐ด)
4948oveqi 7371 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))) = ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)))
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))) = ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))))
5150mpteq2dv 5208 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)))) = (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)))))
5251oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))))))
5313, 14, 19, 38decpmatmul 22137 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘›) = (๐ด ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))))))
5453ad4ant234 1176 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘›) = (๐ด ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))))))
5514, 19decpmatval 22130 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘›) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›)))
5622, 55sylan 581 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘›) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›)))
5752, 54, 563eqtr2d 2779 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›)))
5857eqeq1d 2735 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))))) = 0 โ†” (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›)) = 0 ))
5958imbi2d 341 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))))) = 0 ) โ†” (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›)) = 0 )))
6059ralbidva 3169 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))))) = 0 ) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›)) = 0 )))
6160rexbidv 3172 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))))) = 0 ) โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘—))โ€˜๐‘›)) = 0 )))
6247, 61mpbird 257 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))))) = 0 ))
633, 4, 10, 62mptnn0fsuppd 13909 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘™) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) ยท (๐‘ฆ decompPMat (๐‘™ โˆ’ ๐‘˜)))))) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆˆ cmpo 7360  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9308  0cc0 11056   < clt 11194   โˆ’ cmin 11390  โ„•0cn0 12418  ...cfz 13430  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  0gc0g 17326   ฮฃg cgsu 17327  Ringcrg 19969  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565   Mat cmat 21770   decompPMat cdecpmat 22127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-psr 21327  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-ply1 21569  df-coe1 21570  df-mamu 21749  df-mat 21771  df-decpmat 22128
This theorem is referenced by:  pm2mpmhmlem2  22184
  Copyright terms: Public domain W3C validator