Theorem mrsubvr 34788

Description: The value of a substituted variable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubvr.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubvr.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubvr.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubvr	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝑆‘𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem mrsubvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 4173	. . . 4 ⊢ 𝑉 ⊆ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)
2		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑉)
3		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
4	2, 3	sseldd 3983	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5	1, 4	sselid 3980	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
6		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (mCN‘𝑇) = (mCN‘𝑇)
7		mrsubvr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
8		mrsubvr.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
9		mrsubvr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
10	6, 7, 8, 9	mrsubcv 34787	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) → ((𝑆‘𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
11	5, 10	syld3an3 1409	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝑆‘𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
12		iftrue 4534	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → if(𝑋 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩) = (𝐹‘𝑋))
13	12	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → if(𝑋 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩) = (𝐹‘𝑋))
14	11, 13	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝑆‘𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  ifcif 4528  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ⟨“cs1 14549  mCNcmcn 34737  mVRcmvar 34738  mRExcmrex 34743  mRSubstcmrsub 34747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-word 14469  df-s1 14550  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-frmd 18766  df-mrex 34763  df-mrsub 34767

This theorem is referenced by:  mrsubff1  34791