Theorem mrsubvr 36400

Description: The value of a substituted variable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubvr.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubvr.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubvr.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubvr	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝑆‘𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem mrsubvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 4180	. . . 4 ⊢ 𝑉 ⊆ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)
2		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑉)
3		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
4	2, 3	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5	1, 4	sselid 3911	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mCN‘𝑇) = (mCN‘𝑇)
7		mrsubvr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
8		mrsubvr.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
9		mrsubvr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
10	6, 7, 8, 9	mrsubcv 36399	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) → ((𝑆‘𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
11	5, 10	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝑆‘𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
12		iftrue 4491	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → if(𝑋 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩) = (𝐹‘𝑋))
13	12	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → if(𝑋 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩) = (𝐹‘𝑋))
14	11, 13	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑅 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝑆‘𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = (𝐹‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  ifcif 4485  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  ⟨“cs1 14755  mCNcmcn 36349  mVRcmvar 36350  mRExcmrex 36355  mRSubstcmrsub 36359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-hash 14488  df-word 14672  df-s1 14756  df-struct 17340  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-plusg 17456  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-frmd 19060  df-mrex 36375  df-mrsub 36379

This theorem is used by:  mrsubff1  36403