Theorem ex-prmo 30289

Description: Example for df-prmo 17008: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12731	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17015	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17090	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4542	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2756	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12811	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6905	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12348	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17015	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17089	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4542	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12384	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6905	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12345	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17015	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17088	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4542	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12383	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6905	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12342	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17015	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17087	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4539	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12532	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12528	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12525	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12382	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6905	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17106	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12344	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12331	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12825	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11261	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11441	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12779	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2760	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2760	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2760	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4532  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   · cmul 11151   − cmin 11482  ℕcn 12250  2c2 12305  3c3 12306  6c6 12309  7c7 12310  8c8 12311  9c9 12312  ;cdc 12715  ℙcprime 16649  #_pcprmo 17007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-prod 15890  df-dvds 16239  df-prm 16650  df-prmo 17008

This theorem is referenced by: (None)