Theorem ex-prmo 30544

Description: Example for df-prmo 16994: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12651	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17001	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17075	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4477	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2760	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12731	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12270	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17001	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17074	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4477	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12301	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12267	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17001	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17073	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4477	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12300	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12264	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17001	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17072	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4474	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12450	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12446	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12443	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12299	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17091	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12266	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12253	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12745	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11145	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11326	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12699	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2764	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2764	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  6c6 12231  7c7 12232  8c8 12233  9c9 12234  ;cdc 12635  ℙcprime 16631  #_pcprmo 16993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-prod 15860  df-dvds 16213  df-prm 16632  df-prmo 16994

This theorem is referenced by: (None)