Theorem ex-prmo 30529

Description: Example for df-prmo 17003: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12660	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17010	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17084	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4476	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2759	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12740	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6843	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12279	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17010	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17083	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4476	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12310	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6843	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12276	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17010	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17082	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4476	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12309	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6843	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12273	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17010	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17081	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4473	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12459	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12455	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12452	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12308	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6843	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17100	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12275	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12262	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12754	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11154	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11335	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12708	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2763	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2763	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2763	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4466  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   − cmin 11377  ℕcn 12174  2c2 12236  3c3 12237  6c6 12240  7c7 12241  8c8 12242  9c9 12243  ;cdc 12644  ℙcprime 16640  #_pcprmo 17002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-prod 15869  df-dvds 16222  df-prm 16641  df-prmo 17003

This theorem is referenced by: (None)