Theorem ex-prmo 30534

Description: Example for df-prmo 16960: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12623	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 16967	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17041	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4489	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2759	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12703	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12243	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 16967	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17040	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4489	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12274	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12240	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 16967	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17039	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4489	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12273	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12237	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 16967	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17038	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4486	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12423	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12419	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12416	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12272	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17057	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12239	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12226	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12717	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11141	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11322	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12671	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2763	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2763	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2763	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4479  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   − cmin 11364  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  6c6 12204  7c7 12205  8c8 12206  9c9 12207  ;cdc 12607  ℙcprime 16598  #_pcprmo 16959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-prod 15827  df-dvds 16180  df-prm 16599  df-prmo 16960

This theorem is referenced by: (None)