Theorem ex-prmo 28724

Description: Example for df-prmo 16661: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12382	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 16668	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 16743	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4466	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2766	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12462	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6759	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12001	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 16668	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 16742	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4466	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12037	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6759	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 11998	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 16668	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 16741	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4466	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12036	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6759	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 11995	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 16668	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 16740	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4463	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12185	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12181	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12178	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12035	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6759	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 16759	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 11997	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 11984	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12476	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 10915	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11094	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12430	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2770	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2770	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2770	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2770	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  6c6 11962  7c7 11963  8c8 11964  9c9 11965  ;cdc 12366  ℙcprime 16304  #_pcprmo 16660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-prod 15544  df-dvds 15892  df-prm 16305  df-prmo 16661

This theorem is referenced by: (None)