Theorem ex-prmo 30478

Description: Example for df-prmo 17070: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12749	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17077	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17151	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4535	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2765	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12829	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6909	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12364	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17077	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17150	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4535	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12400	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6909	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12361	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17077	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17149	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4535	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12399	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6909	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12358	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17077	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17148	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4532	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12548	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12544	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12398	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6909	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17167	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12360	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12347	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12843	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11270	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11450	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12797	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2769	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2769	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2769	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2769	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  ;cdc 12733  ℙcprime 16708  #_pcprmo 17069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940  df-dvds 16291  df-prm 16709  df-prmo 17070

This theorem is referenced by: (None)