Theorem ex-prmo 30440

Description: Example for df-prmo 17052: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12724	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17059	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17133	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4510	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2758	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12804	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6879	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12338	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17059	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17132	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4510	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2758	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12374	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6879	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12335	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17059	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17131	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4510	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12373	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6879	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12332	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17059	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17130	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4507	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12519	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12516	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12372	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6879	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17149	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12334	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12321	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12818	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11244	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11424	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12772	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2762	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2762	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2762	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2762	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4500  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   · cmul 11134   − cmin 11466  ℕcn 12240  2c2 12295  3c3 12296  6c6 12299  7c7 12300  8c8 12301  9c9 12302  ;cdc 12708  ℙcprime 16690  #_pcprmo 17051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-prod 15920  df-dvds 16273  df-prm 16691  df-prmo 17052

This theorem is referenced by: (None)