Theorem ex-prmo 30546

Description: Example for df-prmo 16972: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12635	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 16979	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17053	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4491	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2760	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12715	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6845	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12255	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 16979	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17052	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4491	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12286	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6845	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12252	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 16979	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17051	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4491	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12285	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12249	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 16979	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17050	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4488	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12435	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12431	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12428	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12284	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6845	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17069	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12251	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12238	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12729	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11153	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11334	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12683	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2764	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2764	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   − cmin 11376  ℕcn 12157  2c2 12212  3c3 12213  6c6 12216  7c7 12217  8c8 12218  9c9 12219  ;cdc 12619  ℙcprime 16610  #_pcprmo 16971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-prod 15839  df-dvds 16192  df-prm 16611  df-prmo 16972

This theorem is referenced by: (None)