Theorem ex-prmo 31065

Description: Example for df-prmo 17215: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12837	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17222	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17296	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4491	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2783	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12918	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12444	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17222	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17295	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4491	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12479	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12441	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17222	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17294	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4491	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12478	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12438	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17222	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17293	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4488	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12631	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12627	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12624	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12477	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6888	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17313	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12440	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12427	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12932	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11321	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11502	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12886	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2787	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2787	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2787	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2787	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   · cmul 11208   − cmin 11544  ℕcn 12338  2c2 12400  3c3 12401  6c6 12404  7c7 12405  8c8 12406  9c9 12407  ;cdc 12817  ℙcprime 16851  #_pcprmo 17214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-prod 16078  df-dvds 16428  df-prm 16852  df-prmo 17215

This theorem is used by: (None)