Theorem ex-prmo 28819

Description: Example for df-prmo 16731: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12452	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 16738	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 16813	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4475	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2768	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12532	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6774	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12071	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 16738	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 16812	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4475	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2768	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12107	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6774	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12068	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 16738	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 16811	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4475	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12106	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6774	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12065	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 16738	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 16810	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4472	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12255	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12251	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12248	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12105	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6774	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 16829	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12067	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12054	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12546	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 10985	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11164	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12500	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2772	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2772	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2772	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2772	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ifcif 4465  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  0cc0 10872  1c1 10873   · cmul 10877   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  ;cdc 12436  ℙcprime 16374  #_pcprmo 16730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-prod 15614  df-dvds 15962  df-prm 16375  df-prmo 16731

This theorem is referenced by: (None)