Theorem ex-prmo 31042

Description: Example for df-prmo 17190: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12815	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17197	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17271	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4492	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2784	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12896	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6880	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12422	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17197	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17270	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4492	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12457	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6880	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12419	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17197	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17269	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4492	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12456	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6880	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12416	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17197	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17268	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4489	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12609	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12605	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12602	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12455	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6880	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17288	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12418	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12405	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12910	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11299	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11480	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12864	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2788	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2788	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2788	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   · cmul 11186   − cmin 11522  ℕcn 12316  2c2 12378  3c3 12379  6c6 12382  7c7 12383  8c8 12384  9c9 12385  ;cdc 12795  ℙcprime 16826  #_pcprmo 17189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-prod 16053  df-dvds 16403  df-prm 16827  df-prmo 17190

This theorem is used by: (None)