Theorem ex-prmo 30421

Description: Example for df-prmo 16962: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12625	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 16969	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17043	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4488	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2752	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12705	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6829	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12244	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 16969	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17042	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4488	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12275	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6829	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12241	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 16969	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17041	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4488	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12274	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6829	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12238	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 16969	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17040	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4485	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12424	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12420	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12417	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12273	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6829	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17059	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12240	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12227	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12719	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11143	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11323	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12673	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2756	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2756	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2756	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4478  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   − cmin 11365  ℕcn 12146  2c2 12201  3c3 12202  6c6 12205  7c7 12206  8c8 12207  9c9 12208  ;cdc 12609  ℙcprime 16600  #_pcprmo 16961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-prod 15829  df-dvds 16182  df-prm 16601  df-prmo 16962

This theorem is referenced by: (None)