Theorem ex-prmo 29709

Description: Example for df-prmo 16964: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12692	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 16971	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17046	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4538	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2760	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12772	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6894	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12309	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 16971	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17045	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4538	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12345	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12306	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 16971	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17044	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4538	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12344	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6894	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12303	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 16971	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17043	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4535	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12493	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12489	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12486	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12343	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6894	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17062	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12305	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12292	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12786	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11222	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11402	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12740	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2764	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2764	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4528  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114   − cmin 11443  ℕcn 12211  2c2 12266  3c3 12267  6c6 12270  7c7 12271  8c8 12272  9c9 12273  ;cdc 12676  ℙcprime 16607  #_pcprmo 16963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-prod 15849  df-dvds 16197  df-prm 16608  df-prmo 16964

This theorem is referenced by: (None)