Theorem ex-prmo 30441

Description: Example for df-prmo 16946: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12610	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 16953	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17027	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4484	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2756	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12690	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6831	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12230	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 16953	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17026	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4484	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12261	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6831	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12227	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 16953	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17025	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4484	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12260	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6831	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12224	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 16953	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17024	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4481	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12410	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12406	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12403	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12259	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6831	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17043	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12226	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12213	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12704	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11128	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11309	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12658	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2760	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2760	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2760	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4474  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013  1c1 11014   · cmul 11018   − cmin 11351  ℕcn 12132  2c2 12187  3c3 12188  6c6 12191  7c7 12192  8c8 12193  9c9 12194  ;cdc 12594  ℙcprime 16584  #_pcprmo 16945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-prod 15813  df-dvds 16166  df-prm 16585  df-prmo 16946

This theorem is referenced by: (None)