Theorem ex-prmo 30388

Description: Example for df-prmo 17003: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12665	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17010	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17084	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4498	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2752	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12745	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6861	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12284	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17010	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17083	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4498	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12315	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6861	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12281	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17010	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17082	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4498	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12314	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6861	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12278	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17010	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17081	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4495	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12464	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12460	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12457	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12313	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6861	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17100	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12280	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12267	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12759	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11183	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11363	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12713	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2756	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2756	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2756	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4488  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   − cmin 11405  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  6c6 12245  7c7 12246  8c8 12247  9c9 12248  ;cdc 12649  ℙcprime 16641  #_pcprmo 17002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-prod 15870  df-dvds 16223  df-prm 16642  df-prmo 17003

This theorem is referenced by: (None)