MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-prmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-prmo 30478
Description: Example for df-prmo 17070: (#p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-prmo (#p10) = 210

Proof of Theorem ex-prmo
StepHypRef Expression
1 10nn 12749 . . . 4 10 ∈ ℕ
2 prmonn2 17077 . . . 4 (10 ∈ ℕ → (#p10) = if(10 ∈ ℙ, ((#p‘(10 − 1)) · 10), (#p‘(10 − 1))))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (#p10) = if(10 ∈ ℙ, ((#p‘(10 − 1)) · 10), (#p‘(10 − 1)))
4 10nprm 17151 . . . 4 ¬ 10 ∈ ℙ
54iffalsei 4535 . . 3 if(10 ∈ ℙ, ((#p‘(10 − 1)) · 10), (#p‘(10 − 1))) = (#p‘(10 − 1))
63, 5eqtri 2765 . 2 (#p10) = (#p‘(10 − 1))
7 10m1e9 12829 . . 3 (10 − 1) = 9
87fveq2i 6909 . 2 (#p‘(10 − 1)) = (#p‘9)
9 9nn 12364 . . . . 5 9 ∈ ℕ
10 prmonn2 17077 . . . . 5 (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
119, 10ax-mp 5 . . . 4 (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12 9nprm 17150 . . . . 5 ¬ 9 ∈ ℙ
1312iffalsei 4535 . . . 4 if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
1411, 13eqtri 2765 . . 3 (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15 9m1e8 12400 . . . 4 (9 − 1) = 8
1615fveq2i 6909 . . 3 (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17 8nn 12361 . . . . . 6 8 ∈ ℕ
18 prmonn2 17077 . . . . . 6 (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20 8nprm 17149 . . . . . 6 ¬ 8 ∈ ℙ
2120iffalsei 4535 . . . . 5 if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
2219, 21eqtri 2765 . . . 4 (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23 8m1e7 12399 . . . . 5 (8 − 1) = 7
2423fveq2i 6909 . . . 4 (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25 7nn 12358 . . . . . 6 7 ∈ ℕ
26 prmonn2 17077 . . . . . 6 (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28 7prm 17148 . . . . . 6 7 ∈ ℙ
2928iftruei 4532 . . . . 5 if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30 7nn0 12548 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
31 3nn0 12544 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
32 0nn0 12541 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
33 7m1e6 12398 . . . . . . . 8 (7 − 1) = 6
3433fveq2i 6909 . . . . . . 7 (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35 prmo6 17167 . . . . . . 7 (#p‘6) = 30
3634, 35eqtri 2765 . . . . . 6 (#p‘(7 − 1)) = 30
37 7cn 12360 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 3cn 12347 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
39 7t3e21 12843 . . . . . . 7 (7 · 3) = 21
4037, 38, 39mulcomli 11270 . . . . . 6 (3 · 7) = 21
4137mul02i 11450 . . . . . 6 (0 · 7) = 0
4230, 31, 32, 36, 40, 41decmul1 12797 . . . . 5 ((#p‘(7 − 1)) · 7) = 210
4327, 29, 423eqtri 2769 . . . 4 (#p‘7) = 210
4422, 24, 433eqtri 2769 . . 3 (#p‘8) = 210
4514, 16, 443eqtri 2769 . 2 (#p‘9) = 210
466, 8, 453eqtri 2769 1 (#p10) = 210
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  ifcif 4525  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  cdc 12733  cprime 16708  #pcprmo 17069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940  df-dvds 16291  df-prm 16709  df-prmo 17070
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator