Theorem ex-prmo 30395

Description: Example for df-prmo 17010: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12672	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17017	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17091	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4501	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2753	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12752	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6864	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12291	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17017	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17090	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4501	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12322	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6864	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12288	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17017	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17089	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4501	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12321	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6864	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12285	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17017	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17088	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4498	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12471	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12467	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12464	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12320	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6864	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17107	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12287	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12274	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12766	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11190	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11370	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12720	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2757	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2757	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2757	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2757	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   − cmin 11412  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  6c6 12252  7c7 12253  8c8 12254  9c9 12255  ;cdc 12656  ℙcprime 16648  #_pcprmo 17009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-prod 15877  df-dvds 16230  df-prm 16649  df-prmo 17010

This theorem is referenced by: (None)