Theorem ex-prmo 30847

Description: Example for df-prmo 17117: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12749	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17124	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17198	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4502	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2789	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12830	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6891	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12357	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17124	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17197	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4502	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2789	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12392	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6891	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12354	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17124	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17196	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4502	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12391	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6891	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12351	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17124	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17195	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4499	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12544	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12540	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12537	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12390	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6891	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17215	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2789	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12353	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12340	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12844	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11236	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11417	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12798	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2793	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2793	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2793	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2793	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4492  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   · cmul 11123   − cmin 11459  ℕcn 12251  2c2 12313  3c3 12314  6c6 12317  7c7 12318  8c8 12319  9c9 12320  ;cdc 12729  ℙcprime 16754  #_pcprmo 17116

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-prod 15984  df-dvds 16336  df-prm 16755  df-prmo 17117

This theorem is used by: (None)