MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-prmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-prmo 30262
Description: Example for df-prmo 16994: (#p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-prmo (#p10) = 210

Proof of Theorem ex-prmo
StepHypRef Expression
1 10nn 12717 . . . 4 10 ∈ ℕ
2 prmonn2 17001 . . . 4 (10 ∈ ℕ → (#p10) = if(10 ∈ ℙ, ((#p‘(10 − 1)) · 10), (#p‘(10 − 1))))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (#p10) = if(10 ∈ ℙ, ((#p‘(10 − 1)) · 10), (#p‘(10 − 1)))
4 10nprm 17076 . . . 4 ¬ 10 ∈ ℙ
54iffalsei 4534 . . 3 if(10 ∈ ℙ, ((#p‘(10 − 1)) · 10), (#p‘(10 − 1))) = (#p‘(10 − 1))
63, 5eqtri 2755 . 2 (#p10) = (#p‘(10 − 1))
7 10m1e9 12797 . . 3 (10 − 1) = 9
87fveq2i 6894 . 2 (#p‘(10 − 1)) = (#p‘9)
9 9nn 12334 . . . . 5 9 ∈ ℕ
10 prmonn2 17001 . . . . 5 (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
119, 10ax-mp 5 . . . 4 (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12 9nprm 17075 . . . . 5 ¬ 9 ∈ ℙ
1312iffalsei 4534 . . . 4 if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
1411, 13eqtri 2755 . . 3 (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15 9m1e8 12370 . . . 4 (9 − 1) = 8
1615fveq2i 6894 . . 3 (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17 8nn 12331 . . . . . 6 8 ∈ ℕ
18 prmonn2 17001 . . . . . 6 (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20 8nprm 17074 . . . . . 6 ¬ 8 ∈ ℙ
2120iffalsei 4534 . . . . 5 if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
2219, 21eqtri 2755 . . . 4 (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23 8m1e7 12369 . . . . 5 (8 − 1) = 7
2423fveq2i 6894 . . . 4 (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25 7nn 12328 . . . . . 6 7 ∈ ℕ
26 prmonn2 17001 . . . . . 6 (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28 7prm 17073 . . . . . 6 7 ∈ ℙ
2928iftruei 4531 . . . . 5 if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30 7nn0 12518 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
31 3nn0 12514 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
32 0nn0 12511 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
33 7m1e6 12368 . . . . . . . 8 (7 − 1) = 6
3433fveq2i 6894 . . . . . . 7 (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35 prmo6 17092 . . . . . . 7 (#p‘6) = 30
3634, 35eqtri 2755 . . . . . 6 (#p‘(7 − 1)) = 30
37 7cn 12330 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 3cn 12317 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
39 7t3e21 12811 . . . . . . 7 (7 · 3) = 21
4037, 38, 39mulcomli 11247 . . . . . 6 (3 · 7) = 21
4137mul02i 11427 . . . . . 6 (0 · 7) = 0
4230, 31, 32, 36, 40, 41decmul1 12765 . . . . 5 ((#p‘(7 − 1)) · 7) = 210
4327, 29, 423eqtri 2759 . . . 4 (#p‘7) = 210
4422, 24, 433eqtri 2759 . . 3 (#p‘8) = 210
4514, 16, 443eqtri 2759 . 2 (#p‘9) = 210
466, 8, 453eqtri 2759 1 (#p10) = 210
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wcel 2099  ifcif 4524  cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133   · cmul 11137  cmin 11468  cn 12236  2c2 12291  3c3 12292  6c6 12295  7c7 12296  8c8 12297  9c9 12298  cdc 12701  cprime 16635  #pcprmo 16993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-prod 15876  df-dvds 16225  df-prm 16636  df-prmo 16994
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator