Theorem ex-prmo 28823

Description: Example for df-prmo 16733: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12453	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 16740	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 16815	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4469	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2766	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12533	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6777	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12071	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 16740	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 16814	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4469	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12107	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6777	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12068	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 16740	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 16813	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4469	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12106	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6777	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12065	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 16740	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 16812	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4466	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12255	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12251	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12248	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12105	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6777	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 16831	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12067	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12054	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12547	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 10984	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11164	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12501	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2770	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2770	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2770	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2770	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  ;cdc 12437  ℙcprime 16376  #_pcprmo 16732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616  df-dvds 15964  df-prm 16377  df-prmo 16733

This theorem is referenced by: (None)