Theorem ex-prmo 30262

Description: Example for df-prmo 16994: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12717	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17001	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17076	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4534	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2755	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12797	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6894	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12334	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17001	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17075	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4534	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2755	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12370	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12331	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17001	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17074	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4534	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2755	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12369	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6894	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12328	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17001	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17073	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4531	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12518	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12514	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12511	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12368	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6894	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17092	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2755	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12330	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12317	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12811	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11247	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11427	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12765	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2759	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2759	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2759	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4524  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133   · cmul 11137   − cmin 11468  ℕcn 12236  2c2 12291  3c3 12292  6c6 12295  7c7 12296  8c8 12297  9c9 12298  ;cdc 12701  ℙcprime 16635  #_pcprmo 16993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-prod 15876  df-dvds 16225  df-prm 16636  df-prmo 16994

This theorem is referenced by: (None)