Theorem ex-prmo 27870

Description: Example for df-prmo 16114: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 11844	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 16121	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 16193	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4318	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2849	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 11926	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6440	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 11462	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 16121	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 16192	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4318	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2849	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 11499	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6440	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 11458	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 16121	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 16191	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4318	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2849	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 11498	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6440	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 11454	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 16121	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 16190	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4315	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 11649	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 11645	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 11642	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 11497	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6440	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 16209	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2849	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 11456	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 11439	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 11940	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 10373	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 10551	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 11893	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2853	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2853	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2853	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2853	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ifcif 4308  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  0cc0 10259  1c1 10260   · cmul 10264   − cmin 10592  ℕcn 11357  2c2 11413  3c3 11414  6c6 11417  7c7 11418  8c8 11419  9c9 11420  ;cdc 11828  ℙcprime 15764  #_pcprmo 16113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-prod 15016  df-dvds 15365  df-prm 15765  df-prmo 16114

This theorem is referenced by: (None)