Theorem ex-prmo 30607

Description: Example for df-prmo 17051: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12705	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17058	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17132	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4489	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2784	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12786	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6866	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12313	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17058	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17131	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4489	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12348	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6866	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12310	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17058	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17130	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4489	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12347	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6866	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12307	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17058	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17129	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4486	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12500	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12496	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12493	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12346	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6866	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17149	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12309	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12296	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12800	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11188	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11369	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12754	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2788	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2788	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2788	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ifcif 4479  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075   − cmin 11411  ℕcn 12207  2c2 12269  3c3 12270  6c6 12273  7c7 12274  8c8 12275  9c9 12276  ;cdc 12685  ℙcprime 16688  #_pcprmo 17050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-prod 15917  df-dvds 16270  df-prm 16689  df-prmo 17051

This theorem is referenced by: (None)