Theorem ex-prmo 30491

Description: Example for df-prmo 17079: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12774	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17086	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17161	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4558	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2768	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12854	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6923	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12391	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17086	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17160	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4558	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2768	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12427	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6923	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12388	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17086	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17159	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4558	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12426	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6923	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12385	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17086	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17158	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4555	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12575	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12571	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12568	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12425	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6923	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17177	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12387	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12374	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12868	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11299	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11479	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12822	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2772	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2772	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2772	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2772	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ifcif 4548  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   − cmin 11520  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  6c6 12352  7c7 12353  8c8 12354  9c9 12355  ;cdc 12758  ℙcprime 16718  #_pcprmo 17078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-prod 15952  df-dvds 16303  df-prm 16719  df-prmo 17079

This theorem is referenced by: (None)