Theorem ex-prmo 28240

Description: Example for df-prmo 16370: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12117	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 16377	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 16449	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4479	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2846	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12197	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6675	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 11738	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 16377	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 16448	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4479	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2846	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 11774	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6675	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 11735	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 16377	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 16447	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4479	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 11773	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6675	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 11732	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 16377	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 16446	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4476	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 11922	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 11918	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 11915	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 11772	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6675	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 16465	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2846	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 11734	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 11721	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12211	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 10652	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 10831	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12165	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2850	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2850	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2850	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2850	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ifcif 4469  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   − cmin 10872  ℕcn 11640  2c2 11695  3c3 11696  6c6 11699  7c7 11700  8c8 11701  9c9 11702  ;cdc 12101  ℙcprime 16017  #_pcprmo 16369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-prod 15262  df-dvds 15610  df-prm 16018  df-prmo 16370

This theorem is referenced by: (None)