Theorem ex-prmo 30434

Description: Example for df-prmo 16941: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12601	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 16948	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17022	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4485	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2754	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12681	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6825	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12220	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 16948	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17021	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4485	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12251	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6825	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12217	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 16948	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17020	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4485	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12250	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6825	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12214	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 16948	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17019	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4482	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12400	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12396	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12393	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12249	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6825	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17038	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12216	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12203	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12695	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11118	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11299	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12649	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2758	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2758	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2758	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2758	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ifcif 4475  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003  1c1 11004   · cmul 11008   − cmin 11341  ℕcn 12122  2c2 12177  3c3 12178  6c6 12181  7c7 12182  8c8 12183  9c9 12184  ;cdc 12585  ℙcprime 16579  #_pcprmo 16940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-prod 15808  df-dvds 16161  df-prm 16580  df-prmo 16941

This theorem is referenced by: (None)