Theorem ex-prmo 30216

Description: Example for df-prmo 16971: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12694	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 16978	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17053	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4533	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2754	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12774	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6887	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12311	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 16978	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17052	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4533	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12347	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6887	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12308	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 16978	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17051	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4533	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12346	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6887	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12305	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 16978	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17050	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4530	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12495	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12491	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12488	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12345	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6887	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17069	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12307	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12294	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12788	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11224	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11404	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12742	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2758	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2758	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2758	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2758	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114   − cmin 11445  ℕcn 12213  2c2 12268  3c3 12269  6c6 12272  7c7 12273  8c8 12274  9c9 12275  ;cdc 12678  ℙcprime 16612  #_pcprmo 16970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-prod 15853  df-dvds 16202  df-prm 16613  df-prmo 16971

This theorem is referenced by: (None)