Theorem ex-prmo 30554

Description: Example for df-prmo 17001: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12658	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17008	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17082	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4471	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2763	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12738	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12277	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17008	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17081	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4471	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2763	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12308	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12274	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17008	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17080	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4471	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12307	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12271	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17008	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17079	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4468	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12457	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12453	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12450	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12306	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17098	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12273	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12260	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12752	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11152	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11333	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12706	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2767	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2767	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2767	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2767	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ifcif 4461  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041   − cmin 11375  ℕcn 12172  2c2 12234  3c3 12235  6c6 12238  7c7 12239  8c8 12240  9c9 12241  ;cdc 12642  ℙcprime 16638  #_pcprmo 17000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-prod 15867  df-dvds 16220  df-prm 16639  df-prmo 17001

This theorem is referenced by: (None)