Theorem ex-prmo 30788

Description: Example for df-prmo 17093: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12732	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17100	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17174	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4498	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2786	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12813	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6886	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12340	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17100	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17173	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4498	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12375	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6886	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12337	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17100	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17172	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4498	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12374	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6886	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12334	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17100	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17171	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4495	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12527	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12373	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6886	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17191	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12336	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12323	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12827	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11219	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11400	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12781	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2790	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2790	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ifcif 4488  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106   − cmin 11442  ℕcn 12234  2c2 12296  3c3 12297  6c6 12300  7c7 12301  8c8 12302  9c9 12303  ;cdc 12712  ℙcprime 16730  #_pcprmo 17092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-prod 15960  df-dvds 16312  df-prm 16731  df-prmo 17093

This theorem is referenced by: (None)