Theorem ex-prmo 30947

Description: Example for df-prmo 17130: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12760	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17137	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17211	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4495	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2785	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12841	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6885	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12367	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17137	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17210	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4495	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12402	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6885	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12364	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17137	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17209	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4495	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12401	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6885	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12361	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17137	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17208	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4492	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12554	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12550	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12547	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12400	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6885	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17228	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12363	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12350	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12855	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11246	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11427	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12809	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2789	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2789	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2789	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2789	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4485  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   · cmul 11133   − cmin 11469  ℕcn 12261  2c2 12323  3c3 12324  6c6 12327  7c7 12328  8c8 12329  9c9 12330  ;cdc 12740  ℙcprime 16767  #_pcprmo 17129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-prod 15997  df-dvds 16349  df-prm 16768  df-prmo 17130

This theorem is used by: (None)