Theorem ex-prmo 28244

Description: Example for df-prmo 16358: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12102	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 16365	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 16439	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4435	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2821	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12182	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6648	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 11723	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 16365	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 16438	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4435	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2821	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 11759	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6648	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 11720	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 16365	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 16437	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4435	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 11758	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6648	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 11717	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 16365	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 16436	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4432	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 11907	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 11903	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 11900	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 11757	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6648	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 16455	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2821	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 11719	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 11706	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12196	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 10639	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 10818	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12150	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2825	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2825	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2825	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2825	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4425  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   − cmin 10859  ℕcn 11625  2c2 11680  3c3 11681  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  ;cdc 12086  ℙcprime 16005  #_pcprmo 16357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-prod 15252  df-dvds 15600  df-prm 16006  df-prmo 16358

This theorem is referenced by: (None)