Theorem ex-prmo 30488

Description: Example for df-prmo 17066: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12747	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17073	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17148	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4541	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2763	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12827	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6910	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12362	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17073	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17147	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4541	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2763	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12398	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6910	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12359	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17073	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17146	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4541	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12397	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6910	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12356	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17073	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17145	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4538	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12546	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12539	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12396	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6910	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17164	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12358	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12345	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12841	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11268	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11448	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12795	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2767	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2767	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2767	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2767	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ifcif 4531  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   − cmin 11490  ℕcn 12264  2c2 12319  3c3 12320  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12731  ℙcprime 16705  #_pcprmo 17065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937  df-dvds 16288  df-prm 16706  df-prmo 17066

This theorem is referenced by: (None)