Theorem ex-prmo 31093

Description: Example for df-prmo 17242: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12864	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17249	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17323	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4495	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2786	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12945	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6914	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12471	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17249	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17322	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4495	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12506	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6914	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12468	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17249	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17321	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4495	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12505	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6914	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12465	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17249	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17320	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4492	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12658	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12654	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12651	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12504	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6914	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17340	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12467	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12454	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12959	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11348	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11529	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12913	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2790	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2790	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231   · cmul 11235   − cmin 11571  ℕcn 12365  2c2 12427  3c3 12428  6c6 12431  7c7 12432  8c8 12433  9c9 12434  ;cdc 12844  ℙcprime 16878  #_pcprmo 17241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-prod 16105  df-dvds 16455  df-prm 16879  df-prmo 17242

This theorem is used by: (None)