Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-prmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-prmo 28250
 Description: Example for df-prmo 16366: (#p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-prmo (#p10) = 210

Proof of Theorem ex-prmo
StepHypRef Expression
1 10nn 12111 . . . 4 10 ∈ ℕ
2 prmonn2 16373 . . . 4 (10 ∈ ℕ → (#p10) = if(10 ∈ ℙ, ((#p‘(10 − 1)) · 10), (#p‘(10 − 1))))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (#p10) = if(10 ∈ ℙ, ((#p‘(10 − 1)) · 10), (#p‘(10 − 1)))
4 10nprm 16447 . . . 4 ¬ 10 ∈ ℙ
54iffalsei 4460 . . 3 if(10 ∈ ℙ, ((#p‘(10 − 1)) · 10), (#p‘(10 − 1))) = (#p‘(10 − 1))
63, 5eqtri 2847 . 2 (#p10) = (#p‘(10 − 1))
7 10m1e9 12191 . . 3 (10 − 1) = 9
87fveq2i 6664 . 2 (#p‘(10 − 1)) = (#p‘9)
9 9nn 11732 . . . . 5 9 ∈ ℕ
10 prmonn2 16373 . . . . 5 (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
119, 10ax-mp 5 . . . 4 (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12 9nprm 16446 . . . . 5 ¬ 9 ∈ ℙ
1312iffalsei 4460 . . . 4 if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
1411, 13eqtri 2847 . . 3 (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15 9m1e8 11768 . . . 4 (9 − 1) = 8
1615fveq2i 6664 . . 3 (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17 8nn 11729 . . . . . 6 8 ∈ ℕ
18 prmonn2 16373 . . . . . 6 (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20 8nprm 16445 . . . . . 6 ¬ 8 ∈ ℙ
2120iffalsei 4460 . . . . 5 if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
2219, 21eqtri 2847 . . . 4 (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23 8m1e7 11767 . . . . 5 (8 − 1) = 7
2423fveq2i 6664 . . . 4 (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25 7nn 11726 . . . . . 6 7 ∈ ℕ
26 prmonn2 16373 . . . . . 6 (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28 7prm 16444 . . . . . 6 7 ∈ ℙ
2928iftruei 4457 . . . . 5 if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30 7nn0 11916 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
31 3nn0 11912 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
32 0nn0 11909 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
33 7m1e6 11766 . . . . . . . 8 (7 − 1) = 6
3433fveq2i 6664 . . . . . . 7 (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35 prmo6 16463 . . . . . . 7 (#p‘6) = 30
3634, 35eqtri 2847 . . . . . 6 (#p‘(7 − 1)) = 30
37 7cn 11728 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 3cn 11715 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
39 7t3e21 12205 . . . . . . 7 (7 · 3) = 21
4037, 38, 39mulcomli 10648 . . . . . 6 (3 · 7) = 21
4137mul02i 10827 . . . . . 6 (0 · 7) = 0
4230, 31, 32, 36, 40, 41decmul1 12159 . . . . 5 ((#p‘(7 − 1)) · 7) = 210
4327, 29, 423eqtri 2851 . . . 4 (#p‘7) = 210
4422, 24, 433eqtri 2851 . . 3 (#p‘8) = 210
4514, 16, 443eqtri 2851 . 2 (#p‘9) = 210
466, 8, 453eqtri 2851 1 (#p10) = 210
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ifcif 4450  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   · cmul 10540   − cmin 10868  ℕcn 11634  2c2 11689  3c3 11690  6c6 11693  7c7 11694  8c8 11695  9c9 11696  ;cdc 12095  ℙcprime 16013  #pcprmo 16365 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-prod 15260  df-dvds 15608  df-prm 16014  df-prmo 16366 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator