Theorem ex-prmo 30719

Description: Example for df-prmo 17082: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12722	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 17089	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 17163	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4493	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2788	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12803	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6874	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 12330	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 17089	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 17162	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4493	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2788	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 12365	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6874	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 12327	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 17089	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 17161	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4493	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 12364	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6874	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 12324	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 17089	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 17160	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4490	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 12513	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 12510	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 12363	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6874	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 17180	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 12326	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 12313	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12817	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 11206	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 11387	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12771	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2792	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2792	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2792	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2792	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ifcif 4483  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   − cmin 11429  ℕcn 12224  2c2 12286  3c3 12287  6c6 12290  7c7 12291  8c8 12292  9c9 12293  ;cdc 12702  ℙcprime 16719  #_pcprmo 17081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-prod 15948  df-dvds 16301  df-prm 16720  df-prmo 17082

This theorem is referenced by: (None)