MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-prmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-prmo 28819
Description: Example for df-prmo 16731: (#p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-prmo (#p10) = 210

Proof of Theorem ex-prmo
StepHypRef Expression
1 10nn 12452 . . . 4 10 ∈ ℕ
2 prmonn2 16738 . . . 4 (10 ∈ ℕ → (#p10) = if(10 ∈ ℙ, ((#p‘(10 − 1)) · 10), (#p‘(10 − 1))))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (#p10) = if(10 ∈ ℙ, ((#p‘(10 − 1)) · 10), (#p‘(10 − 1)))
4 10nprm 16813 . . . 4 ¬ 10 ∈ ℙ
54iffalsei 4475 . . 3 if(10 ∈ ℙ, ((#p‘(10 − 1)) · 10), (#p‘(10 − 1))) = (#p‘(10 − 1))
63, 5eqtri 2768 . 2 (#p10) = (#p‘(10 − 1))
7 10m1e9 12532 . . 3 (10 − 1) = 9
87fveq2i 6774 . 2 (#p‘(10 − 1)) = (#p‘9)
9 9nn 12071 . . . . 5 9 ∈ ℕ
10 prmonn2 16738 . . . . 5 (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
119, 10ax-mp 5 . . . 4 (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12 9nprm 16812 . . . . 5 ¬ 9 ∈ ℙ
1312iffalsei 4475 . . . 4 if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
1411, 13eqtri 2768 . . 3 (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15 9m1e8 12107 . . . 4 (9 − 1) = 8
1615fveq2i 6774 . . 3 (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17 8nn 12068 . . . . . 6 8 ∈ ℕ
18 prmonn2 16738 . . . . . 6 (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20 8nprm 16811 . . . . . 6 ¬ 8 ∈ ℙ
2120iffalsei 4475 . . . . 5 if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
2219, 21eqtri 2768 . . . 4 (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23 8m1e7 12106 . . . . 5 (8 − 1) = 7
2423fveq2i 6774 . . . 4 (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25 7nn 12065 . . . . . 6 7 ∈ ℕ
26 prmonn2 16738 . . . . . 6 (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28 7prm 16810 . . . . . 6 7 ∈ ℙ
2928iftruei 4472 . . . . 5 if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30 7nn0 12255 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
31 3nn0 12251 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
32 0nn0 12248 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
33 7m1e6 12105 . . . . . . . 8 (7 − 1) = 6
3433fveq2i 6774 . . . . . . 7 (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35 prmo6 16829 . . . . . . 7 (#p‘6) = 30
3634, 35eqtri 2768 . . . . . 6 (#p‘(7 − 1)) = 30
37 7cn 12067 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 3cn 12054 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
39 7t3e21 12546 . . . . . . 7 (7 · 3) = 21
4037, 38, 39mulcomli 10985 . . . . . 6 (3 · 7) = 21
4137mul02i 11164 . . . . . 6 (0 · 7) = 0
4230, 31, 32, 36, 40, 41decmul1 12500 . . . . 5 ((#p‘(7 − 1)) · 7) = 210
4327, 29, 423eqtri 2772 . . . 4 (#p‘7) = 210
4422, 24, 433eqtri 2772 . . 3 (#p‘8) = 210
4514, 16, 443eqtri 2772 . 2 (#p‘9) = 210
466, 8, 453eqtri 2772 1 (#p10) = 210
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2110  ifcif 4465  cfv 6432  (class class class)co 7271  0cc0 10872  1c1 10873   · cmul 10877  cmin 11205  cn 11973  2c2 12028  3c3 12029  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  cdc 12436  cprime 16374  #pcprmo 16730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-prod 15614  df-dvds 15962  df-prm 16375  df-prmo 16731
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator