MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  siilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem siilem2 30682
Description: Lemma for sii 30684. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
siii.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
siii.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
siii.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
siii.a 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b 𝐡 ∈ 𝑋
siii2.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
siii2.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
siilem2 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))

Proof of Theorem siilem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 7433 . . . 4 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
21eqeq2d 2739 . . 3 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) ↔ (𝐡𝑃𝐴) = (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))))
31oveq2d 7442 . . . . 5 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ ((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) = ((𝐴𝑃𝐡) Β· (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))))
43fveq2d 6906 . . . 4 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))))
54breq1d 5162 . . 3 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ ((βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)) ↔ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))
62, 5imbi12d 343 . 2 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))) ↔ ((𝐡𝑃𝐴) = (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))))
7 siii.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
8 siii.6 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
9 siii.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
10 siii.9 . . 3 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
11 siii.a . . 3 𝐴 ∈ 𝑋
12 siii.b . . 3 𝐡 ∈ 𝑋
13 siii2.3 . . 3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
14 siii2.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
15 eleq1 2817 . . . . . 6 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ↔ if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) ∈ β„‚))
16 oveq1 7433 . . . . . . 7 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
1716eleq1d 2814 . . . . . 6 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ↔ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ))
1816breq2d 5164 . . . . . 6 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ↔ 0 ≀ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
1915, 17, 183anbi123d 1432 . . . . 5 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ↔ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) ∈ β„‚ ∧ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
20 eleq1 2817 . . . . . 6 (0 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (0 ∈ β„‚ ↔ if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) ∈ β„‚))
21 oveq1 7433 . . . . . . 7 (0 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
2221eleq1d 2814 . . . . . 6 (0 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ ((0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ↔ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ))
2321breq2d 5164 . . . . . 6 (0 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (0 ≀ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ↔ 0 ≀ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
2420, 22, 233anbi123d 1432 . . . . 5 (0 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ ((0 ∈ β„‚ ∧ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ↔ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) ∈ β„‚ ∧ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
25 0cn 11244 . . . . . 6 0 ∈ β„‚
2610phnvi 30646 . . . . . . . . 9 π‘ˆ ∈ NrmCVec
277, 9dipcl 30542 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
2826, 11, 12, 27mp3an 1457 . . . . . . . 8 (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚
2928mul02i 11441 . . . . . . 7 (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = 0
30 0re 11254 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3129, 30eqeltri 2825 . . . . . 6 (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ
32 0le0 12351 . . . . . . 7 0 ≀ 0
3332, 29breqtrri 5179 . . . . . 6 0 ≀ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡))
3425, 31, 333pm3.2i 1336 . . . . 5 (0 ∈ β„‚ ∧ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
3519, 24, 34elimhyp 4597 . . . 4 (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) ∈ β„‚ ∧ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
3635simp1i 1136 . . 3 if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) ∈ β„‚
3735simp2i 1137 . . 3 (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ
3835simp3i 1138 . . 3 0 ≀ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡))
397, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36, 37, 38siilem1 30681 . 2 ((𝐡𝑃𝐴) = (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
406, 39dedth 4590 1 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4532   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146   Β· cmul 11151   ≀ cle 11287  2c2 12305  β†‘cexp 14066  βˆšcsqrt 15220  NrmCVeccnv 30414  BaseSetcba 30416   ·𝑠OLD cns 30417   βˆ’π‘£ cnsb 30419  normCVcnmcv 30420  Β·π‘–OLDcdip 30530  CPreHilOLDccphlo 30642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-t1 23238  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-grpo 30323  df-gid 30324  df-ginv 30325  df-gdiv 30326  df-ablo 30375  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-vs 30429  df-nmcv 30430  df-ims 30431  df-dip 30531  df-ph 30643
This theorem is referenced by:  siii  30683
  Copyright terms: Public domain W3C validator