MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  siilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem siilem2 30871
Description: Lemma for sii 30873. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6 𝑁 = (normCV𝑈)
siii.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
siii.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
siii.a 𝐴𝑋
siii.b 𝐵𝑋
siii2.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
siii2.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
siilem2 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) → ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))))

Proof of Theorem siilem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . 4 (𝐶 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) = (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · ((𝑁𝐵)↑2)))
21eqeq2d 2748 . . 3 (𝐶 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) ↔ (𝐵𝑃𝐴) = (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · ((𝑁𝐵)↑2))))
31oveq2d 7447 . . . . 5 (𝐶 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) = ((𝐴𝑃𝐵) · (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · ((𝑁𝐵)↑2))))
43fveq2d 6910 . . . 4 (𝐶 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · ((𝑁𝐵)↑2)))))
54breq1d 5153 . . 3 (𝐶 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → ((√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)) ↔ (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))))
62, 5imbi12d 344 . 2 (𝐶 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → (((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))) ↔ ((𝐵𝑃𝐴) = (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))))
7 siii.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8 siii.6 . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
9 siii.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
10 siii.9 . . 3 𝑈 ∈ CPreHilOLD
11 siii.a . . 3 𝐴𝑋
12 siii.b . . 3 𝐵𝑋
13 siii2.3 . . 3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
14 siii2.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
15 eleq1 2829 . . . . . 6 (𝐶 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → (𝐶 ∈ ℂ ↔ if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) ∈ ℂ))
16 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝐶 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · (𝐴𝑃𝐵)))
1716eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝐶 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ↔ (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ))
1816breq2d 5155 . . . . . 6 (𝐶 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → (0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ 0 ≤ (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · (𝐴𝑃𝐵))))
1915, 17, 183anbi123d 1438 . . . . 5 (𝐶 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) ∈ ℂ ∧ (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · (𝐴𝑃𝐵)))))
20 eleq1 2829 . . . . . 6 (0 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → (0 ∈ ℂ ↔ if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) ∈ ℂ))
21 oveq1 7438 . . . . . . 7 (0 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → (0 · (𝐴𝑃𝐵)) = (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · (𝐴𝑃𝐵)))
2221eleq1d 2826 . . . . . 6 (0 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → ((0 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ↔ (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ))
2321breq2d 5155 . . . . . 6 (0 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → (0 ≤ (0 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ 0 ≤ (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · (𝐴𝑃𝐵))))
2420, 22, 233anbi123d 1438 . . . . 5 (0 = if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) → ((0 ∈ ℂ ∧ (0 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (0 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) ∈ ℂ ∧ (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · (𝐴𝑃𝐵)))))
25 0cn 11253 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
2610phnvi 30835 . . . . . . . . 9 𝑈 ∈ NrmCVec
277, 9dipcl 30731 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
2826, 11, 12, 27mp3an 1463 . . . . . . . 8 (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
2928mul02i 11450 . . . . . . 7 (0 · (𝐴𝑃𝐵)) = 0
30 0re 11263 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3129, 30eqeltri 2837 . . . . . 6 (0 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
32 0le0 12367 . . . . . . 7 0 ≤ 0
3332, 29breqtrri 5170 . . . . . 6 0 ≤ (0 · (𝐴𝑃𝐵))
3425, 31, 333pm3.2i 1340 . . . . 5 (0 ∈ ℂ ∧ (0 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (0 · (𝐴𝑃𝐵)))
3519, 24, 34elimhyp 4591 . . . 4 (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) ∈ ℂ ∧ (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · (𝐴𝑃𝐵)))
3635simp1i 1140 . . 3 if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) ∈ ℂ
3735simp2i 1141 . . 3 (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
3835simp3i 1142 . . 3 0 ≤ (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · (𝐴𝑃𝐵))
397, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36, 37, 38siilem1 30870 . 2 ((𝐵𝑃𝐴) = (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (if((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))), 𝐶, 0) · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
406, 39dedth 4584 1 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) → ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160  cle 11296  2c2 12321  cexp 14102  csqrt 15272  NrmCVeccnv 30603  BaseSetcba 30605   ·𝑠OLD cns 30606  𝑣 cnsb 30608  normCVcnmcv 30609  ·𝑖OLDcdip 30719  CPreHilOLDccphlo 30831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-t1 23322  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ph 30832
This theorem is referenced by:  siii  30872
  Copyright terms: Public domain W3C validator