MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  siilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem siilem2 30609
Description: Lemma for sii 30611. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
siii.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
siii.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
siii.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
siii.a 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b 𝐡 ∈ 𝑋
siii2.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
siii2.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
siilem2 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))

Proof of Theorem siilem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 7411 . . . 4 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
21eqeq2d 2737 . . 3 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) ↔ (𝐡𝑃𝐴) = (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))))
31oveq2d 7420 . . . . 5 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ ((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) = ((𝐴𝑃𝐡) Β· (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))))
43fveq2d 6888 . . . 4 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))))
54breq1d 5151 . . 3 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ ((βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)) ↔ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))
62, 5imbi12d 344 . 2 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))) ↔ ((𝐡𝑃𝐴) = (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))))
7 siii.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
8 siii.6 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
9 siii.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
10 siii.9 . . 3 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
11 siii.a . . 3 𝐴 ∈ 𝑋
12 siii.b . . 3 𝐡 ∈ 𝑋
13 siii2.3 . . 3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
14 siii2.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
15 eleq1 2815 . . . . . 6 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ↔ if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) ∈ β„‚))
16 oveq1 7411 . . . . . . 7 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
1716eleq1d 2812 . . . . . 6 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ↔ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ))
1816breq2d 5153 . . . . . 6 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ↔ 0 ≀ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
1915, 17, 183anbi123d 1432 . . . . 5 (𝐢 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ↔ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) ∈ β„‚ ∧ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
20 eleq1 2815 . . . . . 6 (0 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (0 ∈ β„‚ ↔ if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) ∈ β„‚))
21 oveq1 7411 . . . . . . 7 (0 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
2221eleq1d 2812 . . . . . 6 (0 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ ((0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ↔ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ))
2321breq2d 5153 . . . . . 6 (0 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ (0 ≀ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ↔ 0 ≀ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
2420, 22, 233anbi123d 1432 . . . . 5 (0 = if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) β†’ ((0 ∈ β„‚ ∧ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ↔ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) ∈ β„‚ ∧ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
25 0cn 11207 . . . . . 6 0 ∈ β„‚
2610phnvi 30573 . . . . . . . . 9 π‘ˆ ∈ NrmCVec
277, 9dipcl 30469 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
2826, 11, 12, 27mp3an 1457 . . . . . . . 8 (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚
2928mul02i 11404 . . . . . . 7 (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = 0
30 0re 11217 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3129, 30eqeltri 2823 . . . . . 6 (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ
32 0le0 12314 . . . . . . 7 0 ≀ 0
3332, 29breqtrri 5168 . . . . . 6 0 ≀ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡))
3425, 31, 333pm3.2i 1336 . . . . 5 (0 ∈ β„‚ ∧ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
3519, 24, 34elimhyp 4588 . . . 4 (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) ∈ β„‚ ∧ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
3635simp1i 1136 . . 3 if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) ∈ β„‚
3735simp2i 1137 . . 3 (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ
3835simp3i 1138 . . 3 0 ≀ (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· (𝐴𝑃𝐡))
397, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36, 37, 38siilem1 30608 . 2 ((𝐡𝑃𝐴) = (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (if((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))), 𝐢, 0) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
406, 39dedth 4581 1 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   Β· cmul 11114   ≀ cle 11250  2c2 12268  β†‘cexp 14029  βˆšcsqrt 15183  NrmCVeccnv 30341  BaseSetcba 30343   ·𝑠OLD cns 30344   βˆ’π‘£ cnsb 30346  normCVcnmcv 30347  Β·π‘–OLDcdip 30457  CPreHilOLDccphlo 30569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-t1 23168  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-grpo 30250  df-gid 30251  df-ginv 30252  df-gdiv 30253  df-ablo 30302  df-vc 30316  df-nv 30349  df-va 30352  df-ba 30353  df-sm 30354  df-0v 30355  df-vs 30356  df-nmcv 30357  df-ims 30358  df-dip 30458  df-ph 30570
This theorem is referenced by:  siii  30610
  Copyright terms: Public domain W3C validator