MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprnglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprnglem5 21496
Description: Lemma 5 for pzriprng 21508: 𝐼 is a subring of the non-unital ring 𝑅. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pzriprng.r 𝑅 = (ℤring ×sring)
pzriprng.i 𝐼 = (ℤ × {0})
Assertion
Ref Expression
pzriprnglem5 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)

Proof of Theorem pzriprnglem5
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pzriprng.r . . 3 𝑅 = (ℤring ×sring)
2 pzriprng.i . . 3 𝐼 = (ℤ × {0})
31, 2pzriprnglem4 21495 . 2 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
41, 2pzriprnglem3 21494 . . . 4 (𝑥𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
51, 2pzriprnglem3 21494 . . . 4 (𝑦𝐼 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
6 zringbas 21464 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ = (Base‘ℤring)
7 zringring 21460 . . . . . . . . . . . . . 14 ring ∈ Ring
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ℤring ∈ Ring)
9 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
10 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
11 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
12 zringmulr 21468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = (.r‘ℤring)
1312eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r‘ℤring) = ·
1413oveqi 7444 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎(.r‘ℤring)𝑏) = (𝑎 · 𝑏)
15 zmulcl 12666 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
1614, 15eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎(.r‘ℤring)𝑏) ∈ ℤ)
1713oveqi 7444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(.r‘ℤring)0) = (0 · 0)
18 0cn 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℂ
1918mul02i 11450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 · 0) = 0
2017, 19eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(.r‘ℤring)0) = 0
21 0z 12624 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
2220, 21eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ)
24 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (.r𝑅) = (.r𝑅)
261, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 11, 10, 16, 23, 24, 24, 25xpsmul 17620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(.r𝑅)⟨𝑏, 0⟩) = ⟨(𝑎(.r‘ℤring)𝑏), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
27 c0ex 11255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
2827snid 4662 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ {0}
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ {0})
3020, 29eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0(.r‘ℤring)0) ∈ {0})
3116, 30opelxpd 5724 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ⟨(𝑎(.r‘ℤring)𝑏), (0(.r‘ℤring)0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
3226, 31eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(.r𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (⟨𝑎, 0⟩(.r𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
34 oveq12 7440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
3534ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
3635adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
372a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → 𝐼 = (ℤ × {0}))
3833, 36, 373eltr4d 2856 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
3938exp32 420 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
4039rexlimdva 3155 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℤ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
4140com23 86 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
4241rexlimiv 3148 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
4342imp 406 . . . 4 ((∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
444, 5, 43syl2anb 598 . . 3 ((𝑥𝐼𝑦𝐼) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
4544rgen2 3199 . 2 𝑥𝐼𝑦𝐼 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼
461pzriprnglem1 21492 . . 3 𝑅 ∈ Rng
47 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4847, 25issubrng2 20558 . . 3 (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
4946, 48ax-mp 5 . 2 (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
503, 45, 49mpbir2an 711 1 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {csn 4626  cop 4632   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155   · cmul 11160  cz 12613  Basecbs 17247  .rcmulr 17298   ×s cxps 17551  SubGrpcsubg 19138  Rngcrng 20149  Ringcrg 20230  SubRngcsubrng 20545  ringczring 21457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-cnfld 21365  df-zring 21458
This theorem is referenced by:  pzriprnglem6  21497  pzriprnglem7  21498  pzriprnglem9  21500
  Copyright terms: Public domain W3C validator