Theorem pzriprnglem5 21422

Description: Lemma 5 for pzriprng 21434: 𝐼 is a subring of the non-unital ring 𝑅. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem5	⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)

Proof of Theorem pzriprnglem5

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3	1, 2	pzriprnglem4 21421	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
4	1, 2	pzriprnglem3 21420	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
5	1, 2	pzriprnglem3 21420	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
6		zringbas 21390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7		zringring 21386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤring ∈ Ring
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ℤring ∈ Ring)
9		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
10		0zd 12480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
12		zringmulr 21394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘ℤring)
13	12	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
14	13	oveqi 7359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎(.r‘ℤring)𝑏) = (𝑎 · 𝑏)
15		zmulcl 12521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
16	14, 15	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎(.r‘ℤring)𝑏) ∈ ℤ)
17	13	oveqi 7359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = (0 · 0)
18		0cn 11104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℂ
19	18	mul02i 11302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 · 0) = 0
20	17, 19	eqtri 2754	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = 0
21		0z 12479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
22	20, 21	eqeltri 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ)
24		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
25		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 11, 10, 16, 23, 24, 24, 25	xpsmul 17479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) = ⟨(𝑎(.r‘ℤring)𝑏), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
27		c0ex 11106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
28	27	snid 4612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ {0}
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ {0})
30	20, 29	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0(.r‘ℤring)0) ∈ {0})
31	16, 30	opelxpd 5653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ⟨(𝑎(.r‘ℤring)𝑏), (0(.r‘ℤring)0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
32	26, 31	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
34		oveq12 7355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
35	34	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
37	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → 𝐼 = (ℤ × {0}))
38	33, 36, 37	3eltr4d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
39	38	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
40	39	rexlimdva 3133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
41	40	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
42	41	rexlimiv 3126	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
43	42	imp 406	. . . 4 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
44	4, 5, 43	syl2anb 598	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
45	44	rgen2 3172	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼
46	1	pzriprnglem1 21418	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
47		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
48	47, 25	issubrng2 20473	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
49	46, 48	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
50	3, 45, 49	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {csn 4573  ⟨cop 4579   × cxp 5612  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006   · cmul 11011  ℤcz 12468  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162   ×_s cxps 17410  SubGrpcsubg 19033  Rngcrng 20070  Ringcrg 20151  SubRngcsubrng 20460  ℤ_ringczring 21383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-cnfld 21292  df-zring 21384

This theorem is referenced by:  pzriprnglem6  21423  pzriprnglem7  21424  pzriprnglem9  21426