Theorem pzriprnglem5 21604

Description: Lemma 5 for pzriprng 21616: 𝐼 is a subring of the non-unital ring 𝑅. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem5	⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)

Proof of Theorem pzriprnglem5

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3	1, 2	pzriprnglem4 21603	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
4	1, 2	pzriprnglem3 21602	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
5	1, 2	pzriprnglem3 21602	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
6		zringbas 21572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7		zringring 21568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤring ∈ Ring
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ℤring ∈ Ring)
9		simpl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
10		0zd 12603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
11		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
12		zringmulr 21576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘ℤring)
13	12	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
14	13	oveqi 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎(.r‘ℤring)𝑏) = (𝑎 · 𝑏)
15		zmulcl 12643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
16	14, 15	eqeltrid 2873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎(.r‘ℤring)𝑏) ∈ ℤ)
17	13	oveqi 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = (0 · 0)
18		0cn 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℂ
19	18	mul02i 11399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 · 0) = 0
20	17, 19	eqtri 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = 0
21		0z 12602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
22	20, 21	eqeltri 2865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ)
24		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
25		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 11, 10, 16, 23, 24, 24, 25	xpsmul 17629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) = ⟨(𝑎(.r‘ℤring)𝑏), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
27		c0ex 11200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
28	27	snid 4633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ {0}
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ {0})
30	20, 29	eqeltrid 2873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0(.r‘ℤring)0) ∈ {0})
31	16, 30	opelxpd 5701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ⟨(𝑎(.r‘ℤring)𝑏), (0(.r‘ℤring)0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
32	26, 31	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
33	32	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
34		oveq12 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
35	34	ancoms 463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
36	35	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
37	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → 𝐼 = (ℤ × {0}))
38	33, 36, 37	3eltr4d 2884	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
39	38	exp32 425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
40	39	rexlimdva 3172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
41	40	com23 87	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
42	41	rexlimiv 3165	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
43	42	imp 411	. . . 4 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
44	4, 5, 43	syl2anb 609	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
45	44	rgen2 3211	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼
46	1	pzriprnglem1 21600	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
47		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
48	47, 25	issubrng2 20643	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
49	46, 48	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
50	3, 45, 49	mpbir2an 723	1 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  {csn 4594  ⟨cop 4600   × cxp 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100   · cmul 11105  ℤcz 12591  Basecbs 17269  ._rcmulr 17311   ×_s cxps 17560  SubGrpcsubg 19186  Rngcrng 20230  Ringcrg 20315  SubRngcsubrng 20630  ℤ_ringczring 21565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-prds 17500  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-subg 19189  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-cnfld 21492  df-zring 21566

This theorem is referenced by:  pzriprnglem6  21605  pzriprnglem7  21606  pzriprnglem9  21608