Theorem pzriprnglem5 21592

Description: Lemma 5 for pzriprng 21604: 𝐼 is a subring of the non-unital ring 𝑅. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem5	⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)

Proof of Theorem pzriprnglem5

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3	1, 2	pzriprnglem4 21591	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
4	1, 2	pzriprnglem3 21590	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
5	1, 2	pzriprnglem3 21590	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
6		zringbas 21560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7		zringring 21556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤring ∈ Ring
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ℤring ∈ Ring)
9		simpl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
10		0zd 12591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
11		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
12		zringmulr 21564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘ℤring)
13	12	eqcomi 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
14	13	oveqi 7413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎(.r‘ℤring)𝑏) = (𝑎 · 𝑏)
15		zmulcl 12631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
16	14, 15	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎(.r‘ℤring)𝑏) ∈ ℤ)
17	13	oveqi 7413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = (0 · 0)
18		0cn 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℂ
19	18	mul02i 11387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 · 0) = 0
20	17, 19	eqtri 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = 0
21		0z 12590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
22	20, 21	eqeltri 2861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ)
24		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
25		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 11, 10, 16, 23, 24, 24, 25	xpsmul 17617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) = ⟨(𝑎(.r‘ℤring)𝑏), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
27		c0ex 11188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
28	27	snid 4624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ {0}
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ {0})
30	20, 29	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0(.r‘ℤring)0) ∈ {0})
31	16, 30	opelxpd 5690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ⟨(𝑎(.r‘ℤring)𝑏), (0(.r‘ℤring)0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
32	26, 31	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
33	32	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
34		oveq12 7409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
35	34	ancoms 463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
36	35	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
37	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → 𝐼 = (ℤ × {0}))
38	33, 36, 37	3eltr4d 2880	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
39	38	exp32 425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
40	39	rexlimdva 3166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
41	40	com23 87	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
42	41	rexlimiv 3159	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
43	42	imp 411	. . . 4 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
44	4, 5, 43	syl2anb 609	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
45	44	rgen2 3205	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼
46	1	pzriprnglem1 21588	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
47		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
48	47, 25	issubrng2 20631	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
49	46, 48	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
50	3, 45, 49	mpbir2an 723	1 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {csn 4585  ⟨cop 4591   × cxp 5649  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088   · cmul 11093  ℤcz 12579  Basecbs 17257  ._rcmulr 17299   ×_s cxps 17548  SubGrpcsubg 19174  Rngcrng 20218  Ringcrg 20303  SubRngcsubrng 20618  ℤ_ringczring 21553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-prds 17488  df-imas 17550  df-xps 17552  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-subg 19177  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-cring 20306  df-subrng 20619  df-subrg 20643  df-cnfld 21480  df-zring 21554

This theorem is referenced by:  pzriprnglem6  21593  pzriprnglem7  21594  pzriprnglem9  21596