Theorem pzriprnglem5 21687

Description: Lemma 5 for pzriprng 21699: 𝐼 is a subring of the non-unital ring 𝑅. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem5	⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)

Proof of Theorem pzriprnglem5

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3	1, 2	pzriprnglem4 21686	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
4	1, 2	pzriprnglem3 21685	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
5	1, 2	pzriprnglem3 21685	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
6		zringbas 21655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7		zringring 21651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤring ∈ Ring
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ℤring ∈ Ring)
9		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
10		0zd 12620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
11		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
12		zringmulr 21659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘ℤring)
13	12	eqcomi 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
14	13	oveqi 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎(.r‘ℤring)𝑏) = (𝑎 · 𝑏)
15		zmulcl 12660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
16	14, 15	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎(.r‘ℤring)𝑏) ∈ ℤ)
17	13	oveqi 7432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = (0 · 0)
18		0cn 11215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℂ
19	18	mul02i 11416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 · 0) = 0
20	17, 19	eqtri 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = 0
21		0z 12619	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
22	20, 21	eqeltri 2861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ)
24		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
25		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 11, 10, 16, 23, 24, 24, 25	xpsmul 17653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) = ⟨(𝑎(.r‘ℤring)𝑏), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
27		c0ex 11217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
28	27	snid 4630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ {0}
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ {0})
30	20, 29	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0(.r‘ℤring)0) ∈ {0})
31	16, 30	opelxpd 5702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ⟨(𝑎(.r‘ℤring)𝑏), (0(.r‘ℤring)0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
32	26, 31	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
34		oveq12 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
35	34	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
37	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → 𝐼 = (ℤ × {0}))
38	33, 36, 37	3eltr4d 2880	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
39	38	exp32 426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
40	39	rexlimdva 3168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
41	40	com23 87	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
42	41	rexlimiv 3161	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
43	42	imp 412	. . . 4 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
44	4, 5, 43	syl2anb 610	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
45	44	rgen2 3207	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼
46	1	pzriprnglem1 21683	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
47		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
48	47, 25	issubrng2 20709	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
49	46, 48	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
50	3, 45, 49	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {csn 4591  ⟨cop 4597   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11117   · cmul 11122  ℤcz 12608  Basecbs 17293  ._rcmulr 17335   ×_s cxps 17584  SubGrpcsubg 19232  Rngcrng 20276  Ringcrg 20361  SubRngcsubrng 20696  ℤ_ringczring 21648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-addf 11196  ax-mulf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-0g 17518  df-prds 17524  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-subg 19235  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-cnfld 21575  df-zring 21649

This theorem is used by:  pzriprnglem6  21688  pzriprnglem7  21689  pzriprnglem9  21691