Theorem pzriprnglem5 21701

Description: Lemma 5 for pzriprng 21713: 𝐼 is a subring of the non-unital ring 𝑅. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem5	⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)

Proof of Theorem pzriprnglem5

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3	1, 2	pzriprnglem4 21700	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
4	1, 2	pzriprnglem3 21699	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
5	1, 2	pzriprnglem3 21699	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
6		zringbas 21669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7		zringring 21665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤring ∈ Ring
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ℤring ∈ Ring)
9		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
10		0zd 12630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
11		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
12		zringmulr 21673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘ℤring)
13	12	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
14	13	oveqi 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎(.r‘ℤring)𝑏) = (𝑎 · 𝑏)
15		zmulcl 12670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
16	14, 15	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎(.r‘ℤring)𝑏) ∈ ℤ)
17	13	oveqi 7427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = (0 · 0)
18		0cn 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℂ
19	18	mul02i 11426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 · 0) = 0
20	17, 19	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = 0
21		0z 12629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
22	20, 21	eqeltri 2856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ)
24		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
25		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 11, 10, 16, 23, 24, 24, 25	xpsmul 17664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) = ⟨(𝑎(.r‘ℤring)𝑏), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
27		c0ex 11227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
28	27	snid 4623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ {0}
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ {0})
30	20, 29	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0(.r‘ℤring)0) ∈ {0})
31	16, 30	opelxpd 5694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ⟨(𝑎(.r‘ℤring)𝑏), (0(.r‘ℤring)0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
32	26, 31	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
34		oveq12 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
35	34	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
37	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → 𝐼 = (ℤ × {0}))
38	33, 36, 37	3eltr4d 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
39	38	exp32 426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
40	39	rexlimdva 3163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
41	40	com23 87	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
42	41	rexlimiv 3156	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
43	42	imp 412	. . . 4 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
44	4, 5, 43	syl2anb 610	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
45	44	rgen2 3202	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼
46	1	pzriprnglem1 21697	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
47		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
48	47, 25	issubrng2 20723	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)))
49	46, 48	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
50	3, 45, 49	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {csn 4584  ⟨cop 4590   × cxp 5653  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127   · cmul 11132  ℤcz 12618  Basecbs 17304  ._rcmulr 17346   ×_s cxps 17595  SubGrpcsubg 19246  Rngcrng 20290  Ringcrg 20375  SubRngcsubrng 20710  ℤ_ringczring 21662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-prds 17535  df-imas 17597  df-xps 17599  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-subg 19249  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-cnfld 21589  df-zring 21663

This theorem is used by:  pzriprnglem6  21702  pzriprnglem7  21703  pzriprnglem9  21705