MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprnglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprnglem5 21372
Description: Lemma 5 for pzriprng 21384: ๐ผ is a subring of the non-unital ring ๐‘…. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pzriprng.r ๐‘… = (โ„คring ร—s โ„คring)
pzriprng.i ๐ผ = (โ„ค ร— {0})
Assertion
Ref Expression
pzriprnglem5 ๐ผ โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…)

Proof of Theorem pzriprnglem5
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pzriprng.r . . 3 ๐‘… = (โ„คring ร—s โ„คring)
2 pzriprng.i . . 3 ๐ผ = (โ„ค ร— {0})
31, 2pzriprnglem4 21371 . 2 ๐ผ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…)
41, 2pzriprnglem3 21370 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ๐‘ฅ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ)
51, 2pzriprnglem3 21370 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = โŸจ๐‘, 0โŸฉ)
6 zringbas 21340 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
7 zringring 21336 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„คring โˆˆ Ring
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โ„คring โˆˆ Ring)
9 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
10 0zd 12574 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
11 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
12 zringmulr 21344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ยท = (.rโ€˜โ„คring)
1312eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.rโ€˜โ„คring) = ยท
1413oveqi 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž(.rโ€˜โ„คring)๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘)
15 zmulcl 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
1614, 15eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž(.rโ€˜โ„คring)๐‘) โˆˆ โ„ค)
1713oveqi 7418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(.rโ€˜โ„คring)0) = (0 ยท 0)
18 0cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โˆˆ โ„‚
1918mul02i 11407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ยท 0) = 0
2017, 19eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(.rโ€˜โ„คring)0) = 0
21 0z 12573 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โˆˆ โ„ค
2220, 21eqeltri 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(.rโ€˜โ„คring)0) โˆˆ โ„ค
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0(.rโ€˜โ„คring)0) โˆˆ โ„ค)
24 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (.rโ€˜โ„คring) = (.rโ€˜โ„คring)
25 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
261, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 11, 10, 16, 23, 24, 24, 25xpsmul 17530 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐‘…)โŸจ๐‘, 0โŸฉ) = โŸจ(๐‘Ž(.rโ€˜โ„คring)๐‘), (0(.rโ€˜โ„คring)0)โŸฉ)
27 c0ex 11212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 โˆˆ V
2827snid 4659 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โˆˆ {0}
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 โˆˆ {0})
3020, 29eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0(.rโ€˜โ„คring)0) โˆˆ {0})
3116, 30opelxpd 5708 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โŸจ(๐‘Ž(.rโ€˜โ„คring)๐‘), (0(.rโ€˜โ„คring)0)โŸฉ โˆˆ (โ„ค ร— {0}))
3226, 31eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐‘…)โŸจ๐‘, 0โŸฉ) โˆˆ (โ„ค ร— {0}))
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ๐‘, 0โŸฉ โˆง ๐‘ฅ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ)) โ†’ (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐‘…)โŸจ๐‘, 0โŸฉ) โˆˆ (โ„ค ร— {0}))
34 oveq12 7414 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘, 0โŸฉ) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐‘…)โŸจ๐‘, 0โŸฉ))
3534ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ = โŸจ๐‘, 0โŸฉ โˆง ๐‘ฅ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐‘…)โŸจ๐‘, 0โŸฉ))
3635adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ๐‘, 0โŸฉ โˆง ๐‘ฅ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐‘…)โŸจ๐‘, 0โŸฉ))
372a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ๐‘, 0โŸฉ โˆง ๐‘ฅ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ)) โ†’ ๐ผ = (โ„ค ร— {0}))
3833, 36, 373eltr4d 2842 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ๐‘, 0โŸฉ โˆง ๐‘ฅ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ผ)
3938exp32 420 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ = โŸจ๐‘, 0โŸฉ โ†’ (๐‘ฅ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ผ)))
4039rexlimdva 3149 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = โŸจ๐‘, 0โŸฉ โ†’ (๐‘ฅ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ผ)))
4140com23 86 . . . . . 6 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = โŸจ๐‘, 0โŸฉ โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ผ)))
4241rexlimiv 3142 . . . . 5 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ๐‘ฅ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = โŸจ๐‘, 0โŸฉ โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ผ))
4342imp 406 . . . 4 ((โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ๐‘ฅ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = โŸจ๐‘, 0โŸฉ) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ผ)
444, 5, 43syl2anb 597 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ผ)
4544rgen2 3191 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ผ
461pzriprnglem1 21368 . . 3 ๐‘… โˆˆ Rng
47 eqid 2726 . . . 4 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
4847, 25issubrng2 20458 . . 3 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ (๐ผ โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†” (๐ผ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ผ)))
4946, 48ax-mp 5 . 2 (๐ผ โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†” (๐ผ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ผ))
503, 45, 49mpbir2an 708 1 ๐ผ โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  {csn 4623  โŸจcop 4629   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112   ยท cmul 11117  โ„คcz 12562  Basecbs 17153  .rcmulr 17207   ร—s cxps 17461  SubGrpcsubg 19047  Rngcrng 20057  Ringcrg 20138  SubRngcsubrng 20445  โ„คringczring 21333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-cnfld 21241  df-zring 21334
This theorem is referenced by:  pzriprnglem6  21373  pzriprnglem7  21374  pzriprnglem9  21376
  Copyright terms: Public domain W3C validator