Theorem 8exp8mod9 46394

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12309	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12306	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12490	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12568	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12487	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12488	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12303	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12585	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12494	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12308	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14032	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12374	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12492	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12489	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12356	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12707	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12311	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12305	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12803	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11222	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7418	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12797	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2770	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17001	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12375	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12333	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11402	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12373	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2770	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17001	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12296	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12286	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12379	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11222	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17001	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11213	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12984	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11736	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12417	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13860	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 691	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2760	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   < clt 11247   ≤ cle 11248  ℕcn 12211  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  6c6 12270  7c7 12271  8c8 12272  9c9 12273  ;cdc 12676  ℝ⁺crp 12973   mod cmo 13833  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  9fppr8  46395  nfermltl8rev  46400