Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  8exp8mod9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 8exp8mod9 43403
Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
8exp8mod9 ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9
StepHypRef Expression
1 9nn 11583 . . 3 9 ∈ ℕ
2 8nn 11580 . . 3 8 ∈ ℕ
3 4nn0 11764 . . 3 4 ∈ ℕ0
4 0z 11840 . . 3 0 ∈ ℤ
5 1nn0 11761 . . 3 1 ∈ ℕ0
6 2nn0 11762 . . . 4 2 ∈ ℕ0
7 7nn 11577 . . . . . 6 7 ∈ ℕ
87nnzi 11855 . . . . 5 7 ∈ ℤ
9 8nn0 11768 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
10 8cn 11582 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
11 exp1 13285 . . . . . . 7 (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (8↑1) = 8
1312oveq1i 7026 . . . . 5 ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14 2t1e2 11648 . . . . 5 (2 · 1) = 2
15 6nn0 11766 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
16 3nn0 11763 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
17 3p1e4 11630 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
18 eqid 2795 . . . . . . 7 63 = 63
1915, 16, 17, 18decsuc 11978 . . . . . 6 (63 + 1) = 64
20 9cn 11585 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
21 7cn 11579 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
22 9t7e63 12075 . . . . . . . 8 (9 · 7) = 63
2320, 21, 22mulcomli 10496 . . . . . . 7 (7 · 9) = 63
2423oveq1i 7026 . . . . . 6 ((7 · 9) + 1) = (63 + 1)
25 8t8e64 12069 . . . . . 6 (8 · 8) = 64
2619, 24, 253eqtr4i 2829 . . . . 5 ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
271, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26mod2xi 16234 . . . 4 ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28 2t2e4 11649 . . . 4 (2 · 2) = 4
29 0p1e1 11607 . . . . 5 (0 + 1) = 1
3020mul02i 10676 . . . . . 6 (0 · 9) = 0
3130oveq1i 7026 . . . . 5 ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32 1t1e1 11647 . . . . 5 (1 · 1) = 1
3329, 31, 323eqtr4i 2829 . . . 4 ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
341, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33mod2xi 16234 . . 3 ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35 4cn 11570 . . . 4 4 ∈ ℂ
36 2cn 11560 . . . 4 2 ∈ ℂ
37 4t2e8 11653 . . . 4 (4 · 2) = 8
3835, 36, 37mulcomli 10496 . . 3 (2 · 4) = 8
391, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33mod2xi 16234 . 2 ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40 1re 10487 . . 3 1 ∈ ℝ
41 nnrp 12250 . . . 4 (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
421, 41ax-mp 5 . . 3 9 ∈ ℝ+
43 0le1 11011 . . 3 0 ≤ 1
44 1lt9 11691 . . 3 1 < 9
45 modid 13114 . . 3 (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
4640, 42, 43, 44, 45mp4an 689 . 2 (1 mod 9) = 1
4739, 46eqtri 2819 1 ((8↑8) mod 9) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1522  wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   < clt 10521  cle 10522  cn 11486  2c2 11540  3c3 11541  4c4 11542  6c6 11544  7c7 11545  8c8 11546  9c9 11547  cdc 11947  +crp 12239   mod cmo 13087  cexp 13279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280
This theorem is referenced by:  9fppr8  43404  nfermltl8rev  43409
  Copyright terms: Public domain W3C validator