Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  8exp8mod9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 8exp8mod9 47723
Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
8exp8mod9 ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9
StepHypRef Expression
1 9nn 12364 . . 3 9 ∈ ℕ
2 8nn 12361 . . 3 8 ∈ ℕ
3 4nn0 12545 . . 3 4 ∈ ℕ0
4 0z 12624 . . 3 0 ∈ ℤ
5 1nn0 12542 . . 3 1 ∈ ℕ0
6 2nn0 12543 . . . 4 2 ∈ ℕ0
7 7nn 12358 . . . . . 6 7 ∈ ℕ
87nnzi 12641 . . . . 5 7 ∈ ℤ
9 8nn0 12549 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
10 8cn 12363 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
11 exp1 14108 . . . . . . 7 (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (8↑1) = 8
1312oveq1i 7441 . . . . 5 ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14 2t1e2 12429 . . . . 5 (2 · 1) = 2
15 6nn0 12547 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
16 3nn0 12544 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
17 3p1e4 12411 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
18 eqid 2737 . . . . . . 7 63 = 63
1915, 16, 17, 18decsuc 12764 . . . . . 6 (63 + 1) = 64
20 9cn 12366 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
21 7cn 12360 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
22 9t7e63 12860 . . . . . . . 8 (9 · 7) = 63
2320, 21, 22mulcomli 11270 . . . . . . 7 (7 · 9) = 63
2423oveq1i 7441 . . . . . 6 ((7 · 9) + 1) = (63 + 1)
25 8t8e64 12854 . . . . . 6 (8 · 8) = 64
2619, 24, 253eqtr4i 2775 . . . . 5 ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
271, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26mod2xi 17107 . . . 4 ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28 2t2e4 12430 . . . 4 (2 · 2) = 4
29 0p1e1 12388 . . . . 5 (0 + 1) = 1
3020mul02i 11450 . . . . . 6 (0 · 9) = 0
3130oveq1i 7441 . . . . 5 ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32 1t1e1 12428 . . . . 5 (1 · 1) = 1
3329, 31, 323eqtr4i 2775 . . . 4 ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
341, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33mod2xi 17107 . . 3 ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35 4cn 12351 . . . 4 4 ∈ ℂ
36 2cn 12341 . . . 4 2 ∈ ℂ
37 4t2e8 12434 . . . 4 (4 · 2) = 8
3835, 36, 37mulcomli 11270 . . 3 (2 · 4) = 8
391, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33mod2xi 17107 . 2 ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40 1re 11261 . . 3 1 ∈ ℝ
41 nnrp 13046 . . . 4 (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
421, 41ax-mp 5 . . 3 9 ∈ ℝ+
43 0le1 11786 . . 3 0 ≤ 1
44 1lt9 12472 . . 3 1 < 9
45 modid 13936 . . 3 (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
4640, 42, 43, 44, 45mp4an 693 . 2 (1 mod 9) = 1
4739, 46eqtri 2765 1 ((8↑8) mod 9) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  cdc 12733  +crp 13034   mod cmo 13909  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  9fppr8  47724  nfermltl8rev  47729
  Copyright terms: Public domain W3C validator