Theorem 8exp8mod9 48534

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12350	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12347	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12534	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12613	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12531	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12532	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12344	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12629	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12538	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12349	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14117	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12414	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12536	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12533	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12396	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12759	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12346	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12855	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11229	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7426	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12849	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2798	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17147	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12415	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12372	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11410	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12413	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2798	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17147	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		2t4e8 12421	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
36	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 35, 33	mod2xi 17147	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
37		1re 11219	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		nnrp 13040	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
39	1, 38	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
40		0le1 11748	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
41		1lt9 12460	. . 3 ⊢ 1 < 9
42		modid 13943	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
43	37, 39, 40, 41, 42	mp4an 706	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
44	36, 43	eqtri 2788	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   < clt 11254   ≤ cle 11255  ℕcn 12244  2c2 12306  3c3 12307  4c4 12308  6c6 12310  7c7 12311  8c8 12312  9c9 12313  ;cdc 12723  ℝ⁺crp 13028   mod cmo 13916  ↑cexp 14111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112

This theorem is used by:  9fppr8  48535  nfermltl8rev  48540