Theorem 8exp8mod9 47898

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12234	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12231	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12411	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12490	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12408	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12409	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12228	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12506	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12415	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12233	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 13981	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7365	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12294	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12413	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12410	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12276	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12629	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12236	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12230	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12725	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11132	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7365	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12719	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2766	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 16988	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12295	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12253	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11313	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7365	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12293	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2766	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 16988	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12221	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12211	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12299	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11132	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 16988	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11123	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12908	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11651	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12337	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13807	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 693	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2756	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022   < clt 11157   ≤ cle 11158  ℕcn 12136  2c2 12191  3c3 12192  4c4 12193  6c6 12195  7c7 12196  8c8 12197  9c9 12198  ;cdc 12598  ℝ⁺crp 12896   mod cmo 13780  ↑cexp 13975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13916  df-exp 13976

This theorem is referenced by:  9fppr8  47899  nfermltl8rev  47904