Theorem 8exp8mod9 48209

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12268	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12265	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12445	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12524	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12442	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12443	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12262	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12540	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12449	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12267	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14018	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12328	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12447	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12444	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12310	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12664	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12270	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12264	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12760	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11143	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7368	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12754	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2770	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17029	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12329	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12287	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11324	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12327	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2770	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17029	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12255	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12245	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12333	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11143	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17029	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11133	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12943	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11662	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12371	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13844	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 694	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2760	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕcn 12163  2c2 12225  3c3 12226  4c4 12227  6c6 12229  7c7 12230  8c8 12231  9c9 12232  ;cdc 12633  ℝ⁺crp 12931   mod cmo 13817  ↑cexp 14012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013

This theorem is referenced by:  9fppr8  48210  nfermltl8rev  48215