Theorem 8exp8mod9 45188

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12071	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12068	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12252	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12330	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12249	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12250	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12065	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12344	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12256	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12070	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 13788	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12136	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12254	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12251	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12118	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12468	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12073	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12067	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12564	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 10984	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7285	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12558	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2776	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 16770	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12137	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12095	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11164	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12135	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2776	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 16770	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12058	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12048	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12141	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 10984	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 16770	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 10975	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12741	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11498	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12179	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13616	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 690	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2766	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  ;cdc 12437  ℝ⁺crp 12730   mod cmo 13589  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  9fppr8  45189  nfermltl8rev  45194