Theorem 8exp8mod9 47661

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12362	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12359	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12543	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12622	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12540	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12541	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12356	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12639	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12547	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12361	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14105	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12427	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12545	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12542	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12409	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12762	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12364	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12358	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12858	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11268	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12852	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2773	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17103	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12428	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12386	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11448	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12426	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2773	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17103	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12349	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12339	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12432	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11268	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17103	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11259	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 13044	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11784	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12470	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13933	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 693	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2763	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294  ℕcn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12731  ℝ⁺crp 13032   mod cmo 13906  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  9fppr8  47662  nfermltl8rev  47667