Theorem 8exp8mod9 47710

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12260	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12257	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12437	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12516	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12434	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12435	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12254	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12533	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12441	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12259	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14008	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12320	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12439	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12436	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12302	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12656	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12262	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12256	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12752	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11159	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7379	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12746	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17016	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12321	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12279	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11339	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12319	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17016	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12247	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12237	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12325	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11159	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17016	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11150	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12939	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11677	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12363	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13834	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 693	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2752	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℕcn 12162  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  6c6 12221  7c7 12222  8c8 12223  9c9 12224  ;cdc 12625  ℝ⁺crp 12927   mod cmo 13807  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  9fppr8  47711  nfermltl8rev  47716