Theorem 8exp8mod9 47723

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12364	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12361	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12545	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12624	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12542	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12543	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12358	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12641	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12549	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12363	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14108	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12429	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12544	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12411	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12764	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12366	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12360	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12860	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11270	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12854	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2775	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17107	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12430	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12388	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11450	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12428	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2775	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17107	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12351	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12341	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12434	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11270	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17107	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11261	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 13046	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11786	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12472	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13936	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 693	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2765	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  ;cdc 12733  ℝ⁺crp 13034   mod cmo 13909  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  9fppr8  47724  nfermltl8rev  47729