Theorem 8exp8mod9 48501

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12334	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12331	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12518	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12597	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12515	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12516	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12328	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12613	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12333	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14099	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12398	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12520	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12517	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12380	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12742	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12336	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12330	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12838	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11213	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12832	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2796	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17124	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12399	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12356	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11394	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12397	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2796	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17124	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12321	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12311	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12404	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11213	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17124	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11203	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 13023	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11732	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12444	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13925	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 705	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2786	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   < clt 11238   ≤ cle 11239  ℕcn 12228  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  6c6 12294  7c7 12295  8c8 12296  9c9 12297  ;cdc 12706  ℝ⁺crp 13011   mod cmo 13898  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  9fppr8  48502  nfermltl8rev  48507