Theorem 8exp8mod9 47767

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12218	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12215	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12395	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12474	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12392	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12393	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12212	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12491	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12399	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12217	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 13969	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7351	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12278	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12397	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12394	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12260	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12614	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12220	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12214	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12710	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11116	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7351	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12704	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2764	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 16976	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12279	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12237	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11297	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7351	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12277	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2764	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 16976	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12205	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12195	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12283	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11116	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 16976	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11107	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12897	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11635	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12321	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13795	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 693	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2754	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   · cmul 11006   < clt 11141   ≤ cle 11142  ℕcn 12120  2c2 12175  3c3 12176  4c4 12177  6c6 12179  7c7 12180  8c8 12181  9c9 12182  ;cdc 12583  ℝ⁺crp 12885   mod cmo 13768  ↑cexp 13963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964

This theorem is referenced by:  9fppr8  47768  nfermltl8rev  47773