Theorem 8exp8mod9 48803

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12434	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12431	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12618	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12697	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12615	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12616	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12428	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12713	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12622	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12433	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14203	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7428	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12498	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12620	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12617	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12480	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12843	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12436	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12430	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12939	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11311	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7428	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12933	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2794	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17240	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12499	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12456	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11492	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7428	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12497	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2794	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17240	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		2t4e8 12505	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
36	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 35, 33	mod2xi 17240	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
37		1re 11301	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		nnrp 13125	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
39	1, 38	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
40		0le1 11832	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
41		1lt9 12544	. . 3 ⊢ 1 < 9
42		modid 14029	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
43	37, 39, 40, 41, 42	mp4an 706	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
44	36, 43	eqtri 2784	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕcn 12328  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  6c6 12394  7c7 12395  8c8 12396  9c9 12397  ;cdc 12807  ℝ⁺crp 13113   mod cmo 14002  ↑cexp 14197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198

This theorem is used by:  9fppr8  48804  nfermltl8rev  48809