Theorem 8exp8mod9 48212

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12279	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12276	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12456	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12535	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12453	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12454	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12273	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12551	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12460	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12278	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14029	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7377	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12339	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12458	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12455	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12321	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12675	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12281	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12275	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12771	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11154	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7377	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12765	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2769	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17040	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12340	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12298	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11335	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7377	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12338	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17040	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12266	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12256	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12344	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11154	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17040	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11144	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12954	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11673	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12382	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13855	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 694	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2759	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  6c6 12240  7c7 12241  8c8 12242  9c9 12243  ;cdc 12644  ℝ⁺crp 12942   mod cmo 13828  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  9fppr8  48213  nfermltl8rev  48218