Theorem 8exp8mod9 47139

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12340	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12337	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12521	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12599	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12518	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12519	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12334	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12616	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12339	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14064	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12405	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12523	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12520	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12387	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12738	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12342	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12336	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12834	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11253	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7426	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12828	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17037	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12406	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12364	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11433	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12404	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17037	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12327	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12317	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12410	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11253	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17037	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11244	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 13017	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11767	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12448	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13893	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 691	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2753	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  ℂcc 11136  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   < clt 11278   ≤ cle 11279  ℕcn 12242  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  6c6 12301  7c7 12302  8c8 12303  9c9 12304  ;cdc 12707  ℝ⁺crp 13006   mod cmo 13866  ↑cexp 14058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059

This theorem is referenced by:  9fppr8  47140  nfermltl8rev  47145