Theorem 8exp8mod9 48385

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12335	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12332	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12519	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12598	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12516	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12517	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12329	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12614	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12334	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14099	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12399	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12521	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12518	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12381	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12743	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12337	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12331	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12839	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11214	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7418	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12833	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2802	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17125	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12400	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12357	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11395	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12398	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2802	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17125	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12322	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12312	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12405	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11214	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17125	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11204	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 13024	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11733	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12445	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13925	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 705	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2792	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   < clt 11239   ≤ cle 11240  ℕcn 12229  2c2 12291  3c3 12292  4c4 12293  6c6 12295  7c7 12296  8c8 12297  9c9 12298  ;cdc 12707  ℝ⁺crp 13012   mod cmo 13898  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  9fppr8  48386  nfermltl8rev  48391