Theorem 8exp8mod9 47737

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12284	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12281	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12461	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12540	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12458	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12459	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12278	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12557	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12465	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12283	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14032	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7397	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12344	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12463	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12460	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12326	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12680	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12286	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12280	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12776	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11183	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7397	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12770	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17040	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12345	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12303	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11363	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7397	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12343	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17040	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12271	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12261	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12349	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11183	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17040	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11174	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12963	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11701	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12387	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13858	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 693	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2752	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  6c6 12245  7c7 12246  8c8 12247  9c9 12248  ;cdc 12649  ℝ⁺crp 12951   mod cmo 13831  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  9fppr8  47738  nfermltl8rev  47743