Theorem 8exp8mod9 47750

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12338	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12335	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12520	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12599	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12517	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12518	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12332	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12616	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12524	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12337	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14085	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12403	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12522	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12519	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12385	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12739	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12340	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12334	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12835	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11244	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7415	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12829	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2768	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17089	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12404	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12362	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11424	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12402	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2768	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17089	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12325	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12315	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12408	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11244	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17089	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11235	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 13020	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11760	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12446	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13913	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 693	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2758	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   < clt 11269   ≤ cle 11270  ℕcn 12240  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  6c6 12299  7c7 12300  8c8 12301  9c9 12302  ;cdc 12708  ℝ⁺crp 13008   mod cmo 13886  ↑cexp 14079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by:  9fppr8  47751  nfermltl8rev  47756