Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  8exp8mod9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 8exp8mod9 45719
Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
8exp8mod9 ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9
StepHypRef Expression
1 9nn 12185 . . 3 9 ∈ ℕ
2 8nn 12182 . . 3 8 ∈ ℕ
3 4nn0 12366 . . 3 4 ∈ ℕ0
4 0z 12444 . . 3 0 ∈ ℤ
5 1nn0 12363 . . 3 1 ∈ ℕ0
6 2nn0 12364 . . . 4 2 ∈ ℕ0
7 7nn 12179 . . . . . 6 7 ∈ ℕ
87nnzi 12461 . . . . 5 7 ∈ ℤ
9 8nn0 12370 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
10 8cn 12184 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
11 exp1 13903 . . . . . . 7 (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (8↑1) = 8
1312oveq1i 7360 . . . . 5 ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14 2t1e2 12250 . . . . 5 (2 · 1) = 2
15 6nn0 12368 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
16 3nn0 12365 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
17 3p1e4 12232 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
18 eqid 2738 . . . . . . 7 63 = 63
1915, 16, 17, 18decsuc 12583 . . . . . 6 (63 + 1) = 64
20 9cn 12187 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
21 7cn 12181 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
22 9t7e63 12679 . . . . . . . 8 (9 · 7) = 63
2320, 21, 22mulcomli 11098 . . . . . . 7 (7 · 9) = 63
2423oveq1i 7360 . . . . . 6 ((7 · 9) + 1) = (63 + 1)
25 8t8e64 12673 . . . . . 6 (8 · 8) = 64
2619, 24, 253eqtr4i 2776 . . . . 5 ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
271, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26mod2xi 16877 . . . 4 ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28 2t2e4 12251 . . . 4 (2 · 2) = 4
29 0p1e1 12209 . . . . 5 (0 + 1) = 1
3020mul02i 11278 . . . . . 6 (0 · 9) = 0
3130oveq1i 7360 . . . . 5 ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32 1t1e1 12249 . . . . 5 (1 · 1) = 1
3329, 31, 323eqtr4i 2776 . . . 4 ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
341, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33mod2xi 16877 . . 3 ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35 4cn 12172 . . . 4 4 ∈ ℂ
36 2cn 12162 . . . 4 2 ∈ ℂ
37 4t2e8 12255 . . . 4 (4 · 2) = 8
3835, 36, 37mulcomli 11098 . . 3 (2 · 4) = 8
391, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33mod2xi 16877 . 2 ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40 1re 11089 . . 3 1 ∈ ℝ
41 nnrp 12856 . . . 4 (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
421, 41ax-mp 5 . . 3 9 ∈ ℝ+
43 0le1 11612 . . 3 0 ≤ 1
44 1lt9 12293 . . 3 1 < 9
45 modid 13731 . . 3 (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
4640, 42, 43, 44, 45mp4an 692 . 2 (1 mod 9) = 1
4739, 46eqtri 2766 1 ((8↑8) mod 9) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  cc 10983  cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   · cmul 10990   < clt 11123  cle 11124  cn 12087  2c2 12142  3c3 12143  4c4 12144  6c6 12146  7c7 12147  8c8 12148  9c9 12149  cdc 12552  +crp 12845   mod cmo 13704  cexp 13897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-rp 12846  df-fl 13627  df-mod 13705  df-seq 13837  df-exp 13898
This theorem is referenced by:  9fppr8  45720  nfermltl8rev  45725
  Copyright terms: Public domain W3C validator