Theorem 8exp8mod9 49107

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12481	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12478	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12665	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12744	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12662	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12663	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12475	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12760	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12669	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12480	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14250	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12545	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12667	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12664	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12527	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12890	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12483	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12477	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12986	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11357	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12980	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2796	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17291	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12546	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12503	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11538	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12544	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2796	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17291	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		2t4e8 12552	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
36	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 35, 33	mod2xi 17291	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
37		1re 11347	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		nnrp 13172	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
39	1, 38	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
40		0le1 11879	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
41		1lt9 12591	. . 3 ⊢ 1 < 9
42		modid 14076	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
43	37, 39, 40, 41, 42	mp4an 706	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
44	36, 43	eqtri 2786	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  6c6 12441  7c7 12442  8c8 12443  9c9 12444  ;cdc 12854  ℝ⁺crp 13160   mod cmo 14049  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  9fppr8  49108  nfermltl8rev  49113