Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  8exp8mod9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 8exp8mod9 44297
 Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
8exp8mod9 ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9
StepHypRef Expression
1 9nn 11726 . . 3 9 ∈ ℕ
2 8nn 11723 . . 3 8 ∈ ℕ
3 4nn0 11907 . . 3 4 ∈ ℕ0
4 0z 11983 . . 3 0 ∈ ℤ
5 1nn0 11904 . . 3 1 ∈ ℕ0
6 2nn0 11905 . . . 4 2 ∈ ℕ0
7 7nn 11720 . . . . . 6 7 ∈ ℕ
87nnzi 11997 . . . . 5 7 ∈ ℤ
9 8nn0 11911 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
10 8cn 11725 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
11 exp1 13434 . . . . . . 7 (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (8↑1) = 8
1312oveq1i 7146 . . . . 5 ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14 2t1e2 11791 . . . . 5 (2 · 1) = 2
15 6nn0 11909 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
16 3nn0 11906 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
17 3p1e4 11773 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
18 eqid 2798 . . . . . . 7 63 = 63
1915, 16, 17, 18decsuc 12120 . . . . . 6 (63 + 1) = 64
20 9cn 11728 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
21 7cn 11722 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
22 9t7e63 12216 . . . . . . . 8 (9 · 7) = 63
2320, 21, 22mulcomli 10642 . . . . . . 7 (7 · 9) = 63
2423oveq1i 7146 . . . . . 6 ((7 · 9) + 1) = (63 + 1)
25 8t8e64 12210 . . . . . 6 (8 · 8) = 64
2619, 24, 253eqtr4i 2831 . . . . 5 ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
271, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26mod2xi 16398 . . . 4 ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28 2t2e4 11792 . . . 4 (2 · 2) = 4
29 0p1e1 11750 . . . . 5 (0 + 1) = 1
3020mul02i 10821 . . . . . 6 (0 · 9) = 0
3130oveq1i 7146 . . . . 5 ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32 1t1e1 11790 . . . . 5 (1 · 1) = 1
3329, 31, 323eqtr4i 2831 . . . 4 ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
341, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33mod2xi 16398 . . 3 ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35 4cn 11713 . . . 4 4 ∈ ℂ
36 2cn 11703 . . . 4 2 ∈ ℂ
37 4t2e8 11796 . . . 4 (4 · 2) = 8
3835, 36, 37mulcomli 10642 . . 3 (2 · 4) = 8
391, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33mod2xi 16398 . 2 ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40 1re 10633 . . 3 1 ∈ ℝ
41 nnrp 12391 . . . 4 (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
421, 41ax-mp 5 . . 3 9 ∈ ℝ+
43 0le1 11155 . . 3 0 ≤ 1
44 1lt9 11834 . . 3 1 < 9
45 modid 13262 . . 3 (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
4640, 42, 43, 44, 45mp4an 692 . 2 (1 mod 9) = 1
4739, 46eqtri 2821 1 ((8↑8) mod 9) = 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5031  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667   ≤ cle 10668  ℕcn 11628  2c2 11683  3c3 11684  4c4 11685  6c6 11687  7c7 11688  8c8 11689  9c9 11690  ;cdc 12089  ℝ+crp 12380   mod cmo 13235  ↑cexp 13428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-inf 8894  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fl 13160  df-mod 13236  df-seq 13368  df-exp 13429 This theorem is referenced by:  9fppr8  44298  nfermltl8rev  44303
 Copyright terms: Public domain W3C validator