Theorem 8exp8mod9 46976

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12314	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12311	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12495	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12573	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12492	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12493	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12308	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12590	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12499	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12313	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14038	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12379	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12497	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12494	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12361	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12712	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12316	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12310	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12808	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11227	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7415	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12802	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2764	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17011	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12380	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12338	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11407	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12378	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2764	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17011	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12301	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12291	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12384	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11227	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17011	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11218	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12991	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11741	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12422	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13867	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 690	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2754	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℕcn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  6c6 12275  7c7 12276  8c8 12277  9c9 12278  ;cdc 12681  ℝ⁺crp 12980   mod cmo 13840  ↑cexp 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033

This theorem is referenced by:  9fppr8  46977  nfermltl8rev  46982