Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  8exp8mod9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 8exp8mod9 47139
Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
8exp8mod9 ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9
StepHypRef Expression
1 9nn 12340 . . 3 9 ∈ ℕ
2 8nn 12337 . . 3 8 ∈ ℕ
3 4nn0 12521 . . 3 4 ∈ ℕ0
4 0z 12599 . . 3 0 ∈ ℤ
5 1nn0 12518 . . 3 1 ∈ ℕ0
6 2nn0 12519 . . . 4 2 ∈ ℕ0
7 7nn 12334 . . . . . 6 7 ∈ ℕ
87nnzi 12616 . . . . 5 7 ∈ ℤ
9 8nn0 12525 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
10 8cn 12339 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
11 exp1 14064 . . . . . . 7 (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (8↑1) = 8
1312oveq1i 7426 . . . . 5 ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14 2t1e2 12405 . . . . 5 (2 · 1) = 2
15 6nn0 12523 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
16 3nn0 12520 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
17 3p1e4 12387 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
18 eqid 2725 . . . . . . 7 63 = 63
1915, 16, 17, 18decsuc 12738 . . . . . 6 (63 + 1) = 64
20 9cn 12342 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
21 7cn 12336 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
22 9t7e63 12834 . . . . . . . 8 (9 · 7) = 63
2320, 21, 22mulcomli 11253 . . . . . . 7 (7 · 9) = 63
2423oveq1i 7426 . . . . . 6 ((7 · 9) + 1) = (63 + 1)
25 8t8e64 12828 . . . . . 6 (8 · 8) = 64
2619, 24, 253eqtr4i 2763 . . . . 5 ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
271, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26mod2xi 17037 . . . 4 ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28 2t2e4 12406 . . . 4 (2 · 2) = 4
29 0p1e1 12364 . . . . 5 (0 + 1) = 1
3020mul02i 11433 . . . . . 6 (0 · 9) = 0
3130oveq1i 7426 . . . . 5 ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32 1t1e1 12404 . . . . 5 (1 · 1) = 1
3329, 31, 323eqtr4i 2763 . . . 4 ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
341, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33mod2xi 17037 . . 3 ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35 4cn 12327 . . . 4 4 ∈ ℂ
36 2cn 12317 . . . 4 2 ∈ ℂ
37 4t2e8 12410 . . . 4 (4 · 2) = 8
3835, 36, 37mulcomli 11253 . . 3 (2 · 4) = 8
391, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33mod2xi 17037 . 2 ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40 1re 11244 . . 3 1 ∈ ℝ
41 nnrp 13017 . . . 4 (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
421, 41ax-mp 5 . . 3 9 ∈ ℝ+
43 0le1 11767 . . 3 0 ≤ 1
44 1lt9 12448 . . 3 1 < 9
45 modid 13893 . . 3 (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
4640, 42, 43, 44, 45mp4an 691 . 2 (1 mod 9) = 1
4739, 46eqtri 2753 1 ((8↑8) mod 9) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  cc 11136  cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   < clt 11278  cle 11279  cn 12242  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  6c6 12301  7c7 12302  8c8 12303  9c9 12304  cdc 12707  +crp 13006   mod cmo 13866  cexp 14058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059
This theorem is referenced by:  9fppr8  47140  nfermltl8rev  47145
  Copyright terms: Public domain W3C validator