Theorem 8exp8mod9 48319

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12310	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12307	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12494	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12573	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12491	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12492	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12304	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12589	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12498	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12309	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14074	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7401	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12374	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12496	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12493	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12356	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12718	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12312	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12306	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12814	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11185	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7401	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12808	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2794	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17096	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12375	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12332	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11366	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7401	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12373	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2794	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17096	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12297	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12287	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12380	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11185	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17096	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11175	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12999	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11704	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12420	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13900	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 703	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2784	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072   < clt 11210   ≤ cle 11211  ℕcn 12204  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  6c6 12270  7c7 12271  8c8 12272  9c9 12273  ;cdc 12682  ℝ⁺crp 12987   mod cmo 13873  ↑cexp 14068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069

This theorem is referenced by:  9fppr8  48320  nfermltl8rev  48325