Theorem 8exp8mod9 45076

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12001	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 11998	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12182	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12260	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12179	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12180	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 11995	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12274	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12186	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12000	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 13716	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12066	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12184	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12181	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12048	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12397	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12003	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 11997	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12493	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 10915	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7265	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12487	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2776	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 16698	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12067	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12025	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11094	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12065	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2776	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 16698	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 11988	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 11978	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12071	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 10915	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 16698	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 10906	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12670	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11428	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12109	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13544	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 689	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2766	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  6c6 11962  7c7 11963  8c8 11964  9c9 11965  ;cdc 12366  ℝ⁺crp 12659   mod cmo 13517  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  9fppr8  45077  nfermltl8rev  45082