Theorem 8exp8mod9 47982

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12243	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12240	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12420	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12499	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12417	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12418	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12237	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12515	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12424	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12242	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 13990	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12303	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12422	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12419	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12285	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12638	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12245	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12239	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12734	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11141	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7368	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12728	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2769	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 16997	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12304	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12262	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11322	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12302	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 16997	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12230	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12220	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12308	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11141	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 16997	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11132	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12917	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11660	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12346	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13816	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 693	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2759	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  6c6 12204  7c7 12205  8c8 12206  9c9 12207  ;cdc 12607  ℝ⁺crp 12905   mod cmo 13789  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  9fppr8  47983  nfermltl8rev  47988