Theorem 8exp8mod9 47610

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12391	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12388	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12572	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12650	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12569	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12570	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12385	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12667	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12576	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12390	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14118	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12456	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12574	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12571	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12438	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12789	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12393	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12387	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12885	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11299	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7458	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12879	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2778	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17116	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12457	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12415	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11479	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12455	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2778	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17116	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12378	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12368	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12461	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11299	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17116	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11290	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 13068	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11813	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12499	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13947	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 692	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2768	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  6c6 12352  7c7 12353  8c8 12354  9c9 12355  ;cdc 12758  ℝ⁺crp 13057   mod cmo 13920  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  9fppr8  47611  nfermltl8rev  47616