Theorem 8exp8mod9 48928

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12445	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12442	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12629	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12708	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12626	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12627	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12439	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12724	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12633	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12444	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14214	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7431	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12509	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12631	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12628	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12491	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12854	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12447	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12441	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12950	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11322	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12944	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2793	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17253	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12510	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12467	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11503	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7431	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12508	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2793	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17253	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		2t4e8 12516	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
36	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 35, 33	mod2xi 17253	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
37		1re 11312	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		nnrp 13136	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
39	1, 38	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
40		0le1 11843	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
41		1lt9 12555	. . 3 ⊢ 1 < 9
42		modid 14040	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
43	37, 39, 40, 41, 42	mp4an 706	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
44	36, 43	eqtri 2783	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   < clt 11347   ≤ cle 11348  ℕcn 12339  2c2 12401  3c3 12402  4c4 12403  6c6 12405  7c7 12406  8c8 12407  9c9 12408  ;cdc 12818  ℝ⁺crp 13124   mod cmo 14013  ↑cexp 14208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209

This theorem is used by:  9fppr8  48929  nfermltl8rev  48934