Theorem 8exp8mod9 43403

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 11583	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 11580	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 11764	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 11840	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 11761	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 11762	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 11577	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 11855	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 11768	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 11582	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 13285	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7026	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 11648	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 11766	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 11763	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 11630	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2795	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 11978	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 11585	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 11579	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12075	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 10496	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7026	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12069	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2829	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 16234	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 11649	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 11607	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 10676	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7026	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 11647	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2829	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 16234	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 11570	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 11560	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 11653	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 10496	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 16234	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 10487	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12250	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11011	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 11691	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13114	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 689	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2819	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  ℂcc 10381  ℝcr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   < clt 10521   ≤ cle 10522  ℕcn 11486  2c2 11540  3c3 11541  4c4 11542  6c6 11544  7c7 11545  8c8 11546  9c9 11547  ;cdc 11947  ℝ⁺crp 12239   mod cmo 13087  ↑cexp 13279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280

This theorem is referenced by:  9fppr8  43404  nfermltl8rev  43409