Theorem 8exp8mod9 47740

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12245	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12242	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12422	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12501	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12419	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12420	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12239	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12518	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12426	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12244	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 13993	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7363	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12305	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12424	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12421	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12287	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12641	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12247	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12241	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12737	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11143	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7363	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12731	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17000	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12306	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12264	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11324	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7363	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12304	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17000	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12232	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12222	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12310	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11143	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17000	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11134	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12924	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11662	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12348	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13819	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 693	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2752	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕcn 12147  2c2 12202  3c3 12203  4c4 12204  6c6 12206  7c7 12207  8c8 12208  9c9 12209  ;cdc 12610  ℝ⁺crp 12912   mod cmo 13792  ↑cexp 13987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-rp 12913  df-fl 13715  df-mod 13793  df-seq 13928  df-exp 13988

This theorem is referenced by:  9fppr8  47741  nfermltl8rev  47746