Theorem 8exp8mod9 48096

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12255	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12252	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12432	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12511	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12429	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12430	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12249	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12527	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12436	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12254	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14002	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7378	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12315	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12434	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12431	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12297	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12650	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12257	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12251	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12746	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11153	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7378	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12740	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2770	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17009	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12316	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12274	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11334	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7378	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12314	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2770	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17009	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12242	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12232	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12320	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11153	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17009	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11144	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12929	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11672	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12358	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13828	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 694	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2760	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  6c6 12216  7c7 12217  8c8 12218  9c9 12219  ;cdc 12619  ℝ⁺crp 12917   mod cmo 13801  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by:  9fppr8  48097  nfermltl8rev  48102