Theorem 8exp8mod9 48652

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12363	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12360	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12547	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12626	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12544	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12545	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12357	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12642	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12551	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12362	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14131	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12427	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12549	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12546	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12409	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12772	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12365	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12359	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12868	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11242	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12862	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2793	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17161	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12428	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12385	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11423	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12426	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2793	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17161	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		2t4e8 12434	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
36	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 35, 33	mod2xi 17161	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
37		1re 11232	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		nnrp 13054	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
39	1, 38	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
40		0le1 11761	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
41		1lt9 12473	. . 3 ⊢ 1 < 9
42		modid 13957	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
43	37, 39, 40, 41, 42	mp4an 706	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
44	36, 43	eqtri 2783	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℕcn 12257  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12736  ℝ⁺crp 13042   mod cmo 13930  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  9fppr8  48653  nfermltl8rev  48658