Theorem 8exp8mod9 47741

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12291	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 12288	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 12468	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 12547	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 12465	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12466	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 12285	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12564	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 12472	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 12290	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 14039	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 12351	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 12470	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 12467	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 12333	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12687	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 12293	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 12287	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12783	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 11190	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7400	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12777	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 17047	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 12352	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 12310	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 11370	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 12350	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 17047	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 12278	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 12268	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 12356	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 11190	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 17047	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 11181	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12970	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11708	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 12394	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13865	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 693	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2753	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  6c6 12252  7c7 12253  8c8 12254  9c9 12255  ;cdc 12656  ℝ⁺crp 12958   mod cmo 13838  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  9fppr8  47742  nfermltl8rev  47747