Theorem pzriprng1ALT 21700

Description: The ring unity of the ring (ℤ_ring ×_s ℤ_ring) constructed from the ring unity of the two-sided ideal (ℤ × {0}) and the ring unity of the quotient of the ring and the ideal (using ring2idlqus1 21513). (Contributed by AV, 24-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pzriprng1ALT	⊢ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ⟨1, 1⟩

Proof of Theorem pzriprng1ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (ℤring ×s ℤring) = (ℤring ×s ℤring)
2	1	pzriprnglem1 21685	. . . 4 ⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Rng
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (ℤ × {0}) = (ℤ × {0})
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))
5	1, 3, 4	pzriprnglem8 21692	. . . 4 ⊢ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))
6	2, 5	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring)))
7	1, 3, 4	pzriprnglem7 21691	. . . 4 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring
8		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))) = (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))
9		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))
10		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) = ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))
11	1, 3, 4, 8, 9, 10	pzriprnglem13 21697	. . . 4 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring
12	7, 11	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring)
13		1z 12643	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		1ex 11222	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15	14	snid 4630	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {1}
16	13, 15	opelxpii 5701	. . . 4 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × {1})
17	1, 3, 4, 8, 9, 10	pzriprnglem14 21698	. . . 4 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))) = (ℤ × {1})
18	16, 17	eleqtrri 2864	. . 3 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))
19		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (.r‘(ℤring ×s ℤring)) = (.r‘(ℤring ×s ℤring))
20		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (-g‘(ℤring ×s ℤring)) = (-g‘(ℤring ×s ℤring))
21		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘(ℤring ×s ℤring)) = (+g‘(ℤring ×s ℤring))
22	19, 8, 20, 21	ring2idlqus1 21513	. . . 4 ⊢ ((((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))) ∧ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))) → ((ℤring ×s ℤring) ∈ Ring ∧ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))))))
23	22	simprd 501	. . 3 ⊢ ((((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))) ∧ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))) → (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))))
24	6, 12, 18, 23	mp3an 1490	. 2 ⊢ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))))
25	1, 3, 4, 8	pzriprnglem9 21693	. . . . 5 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))) = ⟨1, 0⟩
26	25	oveq1i 7429	. . . 4 ⊢ ((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)
27	26	oveq2i 7430	. . 3 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))
28	27, 25	oveq12i 7431	. 2 ⊢ ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
29		zringring 21653	. . . . . . 7 ⊢ ℤring ∈ Ring
30		zringbas 21657	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
31		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ Ring)
32	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
33		0zd 12622	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → 0 ∈ ℤ)
34		zmulcl 12662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 · 1) ∈ ℤ)
35	13, 13, 34	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) ∈ ℤ
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (1 · 1) ∈ ℤ)
37		zringmulr 21661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℤring)
38	37	eqcomi 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
39	38	oveqi 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(.r‘ℤring)1) = (0 · 1)
40		0z 12621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
41		zmulcl 12662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 · 1) ∈ ℤ)
42	40, 13, 41	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 · 1) ∈ ℤ
43	39, 42	eqeltri 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ)
45		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
46	1, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 32, 32, 36, 44, 37, 45, 19	xpsmul 17655	. . . . . . 7 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
47	29, 46	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩
48	47	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
49		1t1e1 12421	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
50		ax-1cn 11177	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
51	50	mul02i 11418	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 1) = 0
52	39, 51	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ (0(.r‘ℤring)1) = 0
53	49, 52	opeq12i 4845	. . . . . 6 ⊢ ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩ = ⟨1, 0⟩
54	53	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
55		zringgrp 21656	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∈ Grp
56	55	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
57		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
58		0zd 12622	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
59		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
60	1, 30, 30, 56, 56, 57, 57, 57, 58, 59, 59, 20	xpsgrpsub 19175	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩)
61	13, 60	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
62	48, 54, 61	3eqtri 2792	. . . 4 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
63	62	oveq1i 7429	. . 3 ⊢ ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
64	59	zringsub 21659	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1))
65	13, 13, 64	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1)
66		1m1e0 12332	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
67	65, 66	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ (1(-g‘ℤring)1) = 0
68	59	zringsub 21659	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0))
69	13, 40, 68	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0)
70	67, 69	opeq12i 4845	. . . 4 ⊢ ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩ = ⟨0, (1 − 0)⟩
71	70	oveq1i 7429	. . 3 ⊢ (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
72		1m0e1 12379	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
73	72	opeq2i 4844	. . . . 5 ⊢ ⟨0, (1 − 0)⟩ = ⟨0, 1⟩
74	73	oveq1i 7429	. . . 4 ⊢ (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
75	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
76	58, 57	zaddcld 12724	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (0 + 1) ∈ ℤ)
77	57, 58	zaddcld 12724	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 0) ∈ ℤ)
78		zringplusg 21658	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℤring)
79	1, 30, 30, 75, 75, 58, 57, 57, 58, 76, 77, 78, 78, 21	xpsadd 17654	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩)
80	13, 79	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩
81		0p1e1 12380	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
82		1p0e1 12382	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
83	81, 82	opeq12i 4845	. . . 4 ⊢ ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩ = ⟨1, 1⟩
84	74, 80, 83	3eqtri 2792	. . 3 ⊢ (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
85	63, 71, 84	3eqtri 2792	. 2 ⊢ ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
86	24, 28, 85	3eqtri 2792	1 ⊢ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ⟨1, 1⟩

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591  ⟨cop 4597   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11119  1c1 11120   + caddc 11122   · cmul 11124   − cmin 11460  ℤcz 12610   ↾_s cress 17316  +_gcplusg 17336  ._rcmulr 17337   /_s cqus 17585   ×_s cxps 17586  Grpcgrp 19048  -_gcsg 19050   ~_QG cqg 19236  Rngcrng 20278  1_rcur 20311  Ringcrg 20363  2Idealc2idl 21442  ℤ_ringczring 21650

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-addf 11198  ax-mulf 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-starv 17351  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-unif 17359  df-hom 17360  df-cco 17361  df-0g 17520  df-prds 17526  df-imas 17588  df-qus 17589  df-xps 17590  df-mgm 18724  df-mgmhm 18786  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-subg 19237  df-nsg 19238  df-eqg 19239  df-ghm 19332  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-cring 20366  df-oppr 20469  df-dvdsr 20489  df-unit 20490  df-invr 20520  df-rnghm 20568  df-rngim 20569  df-subrng 20699  df-subrg 20723  df-lss 21107  df-sra 21348  df-rgmod 21349  df-lidl 21386  df-2idl 21443  df-cnfld 21577  df-zring 21651

This theorem is used by: (None)