MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprng1ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprng1ALT 21507
Description: The ring unity of the ring (ℤring ×sring) constructed from the ring unity of the two-sided ideal (ℤ × {0}) and the ring unity of the quotient of the ring and the ideal (using ring2idlqus1 21329). (Contributed by AV, 24-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pzriprng1ALT (1r‘(ℤring ×sring)) = ⟨1, 1⟩

Proof of Theorem pzriprng1ALT
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 (ℤring ×sring) = (ℤring ×sring)
21pzriprnglem1 21492 . . . 4 (ℤring ×sring) ∈ Rng
3 eqid 2737 . . . . 5 (ℤ × {0}) = (ℤ × {0})
4 eqid 2737 . . . . 5 ((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) = ((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))
51, 3, 4pzriprnglem8 21499 . . . 4 (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring))
62, 5pm3.2i 470 . . 3 ((ℤring ×sring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring)))
71, 3, 4pzriprnglem7 21498 . . . 4 ((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring
8 eqid 2737 . . . . 5 (1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))) = (1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))
9 eqid 2737 . . . . 5 ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0})) = ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))
10 eqid 2737 . . . . 5 ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) = ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0})))
111, 3, 4, 8, 9, 10pzriprnglem13 21504 . . . 4 ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring
127, 11pm3.2i 470 . . 3 (((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring)
13 1z 12647 . . . . 5 1 ∈ ℤ
14 1ex 11257 . . . . . 6 1 ∈ V
1514snid 4662 . . . . 5 1 ∈ {1}
1613, 15opelxpii 5723 . . . 4 ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × {1})
171, 3, 4, 8, 9, 10pzriprnglem14 21505 . . . 4 (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0})))) = (ℤ × {1})
1816, 17eleqtrri 2840 . . 3 ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))))
19 eqid 2737 . . . . 5 (.r‘(ℤring ×sring)) = (.r‘(ℤring ×sring))
20 eqid 2737 . . . . 5 (-g‘(ℤring ×sring)) = (-g‘(ℤring ×sring))
21 eqid 2737 . . . . 5 (+g‘(ℤring ×sring)) = (+g‘(ℤring ×sring))
2219, 8, 20, 21ring2idlqus1 21329 . . . 4 ((((ℤring ×sring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring))) ∧ (((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))))) → ((ℤring ×sring) ∈ Ring ∧ (1r‘(ℤring ×sring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))))))
2322simprd 495 . . 3 ((((ℤring ×sring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring))) ∧ (((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))))) → (1r‘(ℤring ×sring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))))
246, 12, 18, 23mp3an 1463 . 2 (1r‘(ℤring ×sring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))))
251, 3, 4, 8pzriprnglem9 21500 . . . . 5 (1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))) = ⟨1, 0⟩
2625oveq1i 7441 . . . 4 ((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)
2726oveq2i 7442 . . 3 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))
2827, 25oveq12i 7443 . 2 ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
29 zringring 21460 . . . . . . 7 ring ∈ Ring
30 zringbas 21464 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
31 id 22 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ Ring)
3213a1i 11 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
33 0zd 12625 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → 0 ∈ ℤ)
34 zmulcl 12666 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 · 1) ∈ ℤ)
3513, 13, 34mp2an 692 . . . . . . . . 9 (1 · 1) ∈ ℤ
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → (1 · 1) ∈ ℤ)
37 zringmulr 21468 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℤring)
3837eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 (.r‘ℤring) = ·
3938oveqi 7444 . . . . . . . . . 10 (0(.r‘ℤring)1) = (0 · 1)
40 0z 12624 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
41 zmulcl 12666 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 · 1) ∈ ℤ)
4240, 13, 41mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (0 · 1) ∈ ℤ
4339, 42eqeltri 2837 . . . . . . . . 9 (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ)
45 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
461, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 32, 32, 36, 44, 37, 45, 19xpsmul 17620 . . . . . . 7 (ℤring ∈ Ring → (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
4729, 46ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩
4847oveq2i 7442 . . . . 5 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
49 1t1e1 12428 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
50 ax-1cn 11213 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
5150mul02i 11450 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
5239, 51eqtri 2765 . . . . . . 7 (0(.r‘ℤring)1) = 0
5349, 52opeq12i 4878 . . . . . 6 ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩ = ⟨1, 0⟩
5453oveq2i 7442 . . . . 5 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
55 zringgrp 21463 . . . . . . . 8 ring ∈ Grp
5655a1i 11 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
57 id 22 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
58 0zd 12625 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
59 eqid 2737 . . . . . . 7 (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
601, 30, 30, 56, 56, 57, 57, 57, 58, 59, 59, 20xpsgrpsub 19079 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩)
6113, 60ax-mp 5 . . . . 5 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
6248, 54, 613eqtri 2769 . . . 4 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
6362oveq1i 7441 . . 3 ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
6459zringsub 21466 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1))
6513, 13, 64mp2an 692 . . . . . 6 (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1)
66 1m1e0 12338 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
6765, 66eqtri 2765 . . . . 5 (1(-g‘ℤring)1) = 0
6859zringsub 21466 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0))
6913, 40, 68mp2an 692 . . . . 5 (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0)
7067, 69opeq12i 4878 . . . 4 ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩ = ⟨0, (1 − 0)⟩
7170oveq1i 7441 . . 3 (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
72 1m0e1 12387 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
7372opeq2i 4877 . . . . 5 ⟨0, (1 − 0)⟩ = ⟨0, 1⟩
7473oveq1i 7441 . . . 4 (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
7529a1i 11 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
7658, 57zaddcld 12726 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (0 + 1) ∈ ℤ)
7757, 58zaddcld 12726 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1 + 0) ∈ ℤ)
78 zringplusg 21465 . . . . . 6 + = (+g‘ℤring)
791, 30, 30, 75, 75, 58, 57, 57, 58, 76, 77, 78, 78, 21xpsadd 17619 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩)
8013, 79ax-mp 5 . . . 4 (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩
81 0p1e1 12388 . . . . 5 (0 + 1) = 1
82 1p0e1 12390 . . . . 5 (1 + 0) = 1
8381, 82opeq12i 4878 . . . 4 ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩ = ⟨1, 1⟩
8474, 80, 833eqtri 2769 . . 3 (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
8563, 71, 843eqtri 2769 . 2 ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
8624, 28, 853eqtri 2769 1 (1r‘(ℤring ×sring)) = ⟨1, 1⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {csn 4626  cop 4632   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  cz 12613  s cress 17274  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298   /s cqus 17550   ×s cxps 17551  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953   ~QG cqg 19140  Rngcrng 20149  1rcur 20178  Ringcrg 20230  2Idealc2idl 21259  ringczring 21457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mgm 18653  df-mgmhm 18705  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-rnghm 20436  df-rngim 20437  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-2idl 21260  df-cnfld 21365  df-zring 21458
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator