Theorem pzriprng1ALT 21530

Description: The ring unity of the ring (ℤ_ring ×_s ℤ_ring) constructed from the ring unity of the two-sided ideal (ℤ × {0}) and the ring unity of the quotient of the ring and the ideal (using ring2idlqus1 21352). (Contributed by AV, 24-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pzriprng1ALT	⊢ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ⟨1, 1⟩

Proof of Theorem pzriprng1ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (ℤring ×s ℤring) = (ℤring ×s ℤring)
2	1	pzriprnglem1 21515	. . . 4 ⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Rng
3		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (ℤ × {0}) = (ℤ × {0})
4		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))
5	1, 3, 4	pzriprnglem8 21522	. . . 4 ⊢ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))
6	2, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring)))
7	1, 3, 4	pzriprnglem7 21521	. . . 4 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))) = (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))
9		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))
10		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) = ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))
11	1, 3, 4, 8, 9, 10	pzriprnglem13 21527	. . . 4 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring
12	7, 11	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring)
13		1z 12673	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		1ex 11286	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15	14	snid 4684	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {1}
16	13, 15	opelxpii 5738	. . . 4 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × {1})
17	1, 3, 4, 8, 9, 10	pzriprnglem14 21528	. . . 4 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))) = (ℤ × {1})
18	16, 17	eleqtrri 2843	. . 3 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))
19		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (.r‘(ℤring ×s ℤring)) = (.r‘(ℤring ×s ℤring))
20		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (-g‘(ℤring ×s ℤring)) = (-g‘(ℤring ×s ℤring))
21		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (+g‘(ℤring ×s ℤring)) = (+g‘(ℤring ×s ℤring))
22	19, 8, 20, 21	ring2idlqus1 21352	. . . 4 ⊢ ((((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))) ∧ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))) → ((ℤring ×s ℤring) ∈ Ring ∧ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))))))
23	22	simprd 495	. . 3 ⊢ ((((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))) ∧ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))) → (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))))
24	6, 12, 18, 23	mp3an 1461	. 2 ⊢ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))))
25	1, 3, 4, 8	pzriprnglem9 21523	. . . . 5 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))) = ⟨1, 0⟩
26	25	oveq1i 7458	. . . 4 ⊢ ((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)
27	26	oveq2i 7459	. . 3 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))
28	27, 25	oveq12i 7460	. 2 ⊢ ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
29		zringring 21483	. . . . . . 7 ⊢ ℤring ∈ Ring
30		zringbas 21487	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
31		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ Ring)
32	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
33		0zd 12651	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → 0 ∈ ℤ)
34		zmulcl 12692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 · 1) ∈ ℤ)
35	13, 13, 34	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) ∈ ℤ
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (1 · 1) ∈ ℤ)
37		zringmulr 21491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℤring)
38	37	eqcomi 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
39	38	oveqi 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(.r‘ℤring)1) = (0 · 1)
40		0z 12650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
41		zmulcl 12692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 · 1) ∈ ℤ)
42	40, 13, 41	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 · 1) ∈ ℤ
43	39, 42	eqeltri 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ)
45		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
46	1, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 32, 32, 36, 44, 37, 45, 19	xpsmul 17635	. . . . . . 7 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
47	29, 46	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩
48	47	oveq2i 7459	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
49		1t1e1 12455	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
50		ax-1cn 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
51	50	mul02i 11479	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 1) = 0
52	39, 51	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ (0(.r‘ℤring)1) = 0
53	49, 52	opeq12i 4902	. . . . . 6 ⊢ ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩ = ⟨1, 0⟩
54	53	oveq2i 7459	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
55		zringgrp 21486	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∈ Grp
56	55	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
57		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
58		0zd 12651	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
59		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
60	1, 30, 30, 56, 56, 57, 57, 57, 58, 59, 59, 20	xpsgrpsub 19101	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩)
61	13, 60	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
62	48, 54, 61	3eqtri 2772	. . . 4 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
63	62	oveq1i 7458	. . 3 ⊢ ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
64	59	zringsub 21489	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1))
65	13, 13, 64	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1)
66		1m1e0 12365	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
67	65, 66	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (1(-g‘ℤring)1) = 0
68	59	zringsub 21489	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0))
69	13, 40, 68	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0)
70	67, 69	opeq12i 4902	. . . 4 ⊢ ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩ = ⟨0, (1 − 0)⟩
71	70	oveq1i 7458	. . 3 ⊢ (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
72		1m0e1 12414	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
73	72	opeq2i 4901	. . . . 5 ⊢ ⟨0, (1 − 0)⟩ = ⟨0, 1⟩
74	73	oveq1i 7458	. . . 4 ⊢ (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
75	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
76	58, 57	zaddcld 12751	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (0 + 1) ∈ ℤ)
77	57, 58	zaddcld 12751	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 0) ∈ ℤ)
78		zringplusg 21488	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℤring)
79	1, 30, 30, 75, 75, 58, 57, 57, 58, 76, 77, 78, 78, 21	xpsadd 17634	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩)
80	13, 79	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩
81		0p1e1 12415	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
82		1p0e1 12417	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
83	81, 82	opeq12i 4902	. . . 4 ⊢ ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩ = ⟨1, 1⟩
84	74, 80, 83	3eqtri 2772	. . 3 ⊢ (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
85	63, 71, 84	3eqtri 2772	. 2 ⊢ ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
86	24, 28, 85	3eqtri 2772	1 ⊢ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ⟨1, 1⟩

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648  ⟨cop 4654   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520  ℤcz 12639   ↾_s cress 17287  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312   /_s cqus 17565   ×_s cxps 17566  Grpcgrp 18973  -_gcsg 18975   ~_QG cqg 19162  Rngcrng 20179  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  2Idealc2idl 21282  ℤ_ringczring 21480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-imas 17568  df-qus 17569  df-xps 17570  df-mgm 18678  df-mgmhm 18730  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-rnghm 20462  df-rngim 20463  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-2idl 21283  df-cnfld 21388  df-zring 21481

This theorem is referenced by: (None)