Theorem pzriprng1ALT 21269

Description: The ring unity of the ring (ℤ_ring ×_s ℤ_ring) constructed from the ring unity of the two-sided ideal (ℤ × {0}) and the ring unity of the quotient of the ring and the ideal (using ring2idlqus1 21082). (Contributed by AV, 24-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pzriprng1ALT	⊢ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ⟨1, 1⟩

Proof of Theorem pzriprng1ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (ℤring ×s ℤring) = (ℤring ×s ℤring)
2	1	pzriprnglem1 21254	. . . 4 ⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Rng
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (ℤ × {0}) = (ℤ × {0})
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))
5	1, 3, 4	pzriprnglem8 21261	. . . 4 ⊢ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))
6	2, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring)))
7	1, 3, 4	pzriprnglem7 21260	. . . 4 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))) = (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))
9		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))
10		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) = ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))
11	1, 3, 4, 8, 9, 10	pzriprnglem13 21266	. . . 4 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring
12	7, 11	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring)
13		1z 12599	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		1ex 11217	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15	14	snid 4664	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {1}
16	13, 15	opelxpii 5714	. . . 4 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × {1})
17	1, 3, 4, 8, 9, 10	pzriprnglem14 21267	. . . 4 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))) = (ℤ × {1})
18	16, 17	eleqtrri 2831	. . 3 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))
19		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.r‘(ℤring ×s ℤring)) = (.r‘(ℤring ×s ℤring))
20		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (-g‘(ℤring ×s ℤring)) = (-g‘(ℤring ×s ℤring))
21		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘(ℤring ×s ℤring)) = (+g‘(ℤring ×s ℤring))
22	19, 8, 20, 21	ring2idlqus1 21082	. . . 4 ⊢ ((((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))) ∧ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))) → ((ℤring ×s ℤring) ∈ Ring ∧ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))))))
23	22	simprd 495	. . 3 ⊢ ((((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))) ∧ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))) → (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))))
24	6, 12, 18, 23	mp3an 1460	. 2 ⊢ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))))
25	1, 3, 4, 8	pzriprnglem9 21262	. . . . 5 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))) = ⟨1, 0⟩
26	25	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ ((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)
27	26	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))
28	27, 25	oveq12i 7424	. 2 ⊢ ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
29		zringring 21224	. . . . . . 7 ⊢ ℤring ∈ Ring
30		zringbas 21228	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
31		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ Ring)
32	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
33		0zd 12577	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → 0 ∈ ℤ)
34		zmulcl 12618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 · 1) ∈ ℤ)
35	13, 13, 34	mp2an 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) ∈ ℤ
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (1 · 1) ∈ ℤ)
37		zringmulr 21232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℤring)
38	37	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
39	38	oveqi 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(.r‘ℤring)1) = (0 · 1)
40		0z 12576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
41		zmulcl 12618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 · 1) ∈ ℤ)
42	40, 13, 41	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 · 1) ∈ ℤ
43	39, 42	eqeltri 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ)
45		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
46	1, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 32, 32, 36, 44, 37, 45, 19	xpsmul 17528	. . . . . . 7 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
47	29, 46	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩
48	47	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
49		1t1e1 12381	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
50		ax-1cn 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
51	50	mul02i 11410	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 1) = 0
52	39, 51	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (0(.r‘ℤring)1) = 0
53	49, 52	opeq12i 4878	. . . . . 6 ⊢ ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩ = ⟨1, 0⟩
54	53	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
55		zringgrp 21227	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∈ Grp
56	55	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
57		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
58		0zd 12577	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
59		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
60	1, 30, 30, 56, 56, 57, 57, 57, 58, 59, 59, 20	xpsgrpsub 18984	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩)
61	13, 60	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
62	48, 54, 61	3eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
63	62	oveq1i 7422	. . 3 ⊢ ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
64	59	zringsub 21230	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1))
65	13, 13, 64	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1)
66		1m1e0 12291	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
67	65, 66	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (1(-g‘ℤring)1) = 0
68	59	zringsub 21230	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0))
69	13, 40, 68	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0)
70	67, 69	opeq12i 4878	. . . 4 ⊢ ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩ = ⟨0, (1 − 0)⟩
71	70	oveq1i 7422	. . 3 ⊢ (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
72		1m0e1 12340	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
73	72	opeq2i 4877	. . . . 5 ⊢ ⟨0, (1 − 0)⟩ = ⟨0, 1⟩
74	73	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
75	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
76	58, 57	zaddcld 12677	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (0 + 1) ∈ ℤ)
77	57, 58	zaddcld 12677	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 0) ∈ ℤ)
78		zringplusg 21229	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℤring)
79	1, 30, 30, 75, 75, 58, 57, 57, 58, 76, 77, 78, 78, 21	xpsadd 17527	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩)
80	13, 79	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩
81		0p1e1 12341	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
82		1p0e1 12343	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
83	81, 82	opeq12i 4878	. . . 4 ⊢ ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩ = ⟨1, 1⟩
84	74, 80, 83	3eqtri 2763	. . 3 ⊢ (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
85	63, 71, 84	3eqtri 2763	. 2 ⊢ ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
86	24, 28, 85	3eqtri 2763	1 ⊢ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ⟨1, 1⟩

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {csn 4628  ⟨cop 4634   × cxp 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   − cmin 11451  ℤcz 12565   ↾_s cress 17180  +_gcplusg 17204  ._rcmulr 17205   /_s cqus 17458   ×_s cxps 17459  Grpcgrp 18858  -_gcsg 18860   ~_QG cqg 19042  Rngcrng 20050  1_rcur 20079  Ringcrg 20131  2Idealc2idl 21009  ℤ_ringczring 21221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-imas 17461  df-qus 17462  df-xps 17463  df-mgm 18568  df-mgmhm 18620  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-subg 19043  df-nsg 19044  df-eqg 19045  df-ghm 19132  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-cring 20134  df-oppr 20229  df-dvdsr 20252  df-unit 20253  df-invr 20283  df-rnghm 20331  df-rngim 20332  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-lss 20691  df-sra 20934  df-rgmod 20935  df-lidl 20936  df-2idl 21010  df-cnfld 21149  df-zring 21222

This theorem is referenced by: (None)