MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprng1ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprng1ALT 21269
Description: The ring unity of the ring (ℤring ×sring) constructed from the ring unity of the two-sided ideal (ℤ × {0}) and the ring unity of the quotient of the ring and the ideal (using ring2idlqus1 21082). (Contributed by AV, 24-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pzriprng1ALT (1r‘(ℤring ×sring)) = ⟨1, 1⟩

Proof of Theorem pzriprng1ALT
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . . 5 (ℤring ×sring) = (ℤring ×sring)
21pzriprnglem1 21254 . . . 4 (ℤring ×sring) ∈ Rng
3 eqid 2731 . . . . 5 (ℤ × {0}) = (ℤ × {0})
4 eqid 2731 . . . . 5 ((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) = ((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))
51, 3, 4pzriprnglem8 21261 . . . 4 (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring))
62, 5pm3.2i 470 . . 3 ((ℤring ×sring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring)))
71, 3, 4pzriprnglem7 21260 . . . 4 ((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring
8 eqid 2731 . . . . 5 (1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))) = (1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))
9 eqid 2731 . . . . 5 ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0})) = ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))
10 eqid 2731 . . . . 5 ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) = ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0})))
111, 3, 4, 8, 9, 10pzriprnglem13 21266 . . . 4 ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring
127, 11pm3.2i 470 . . 3 (((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring)
13 1z 12599 . . . . 5 1 ∈ ℤ
14 1ex 11217 . . . . . 6 1 ∈ V
1514snid 4664 . . . . 5 1 ∈ {1}
1613, 15opelxpii 5714 . . . 4 ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × {1})
171, 3, 4, 8, 9, 10pzriprnglem14 21267 . . . 4 (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0})))) = (ℤ × {1})
1816, 17eleqtrri 2831 . . 3 ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))))
19 eqid 2731 . . . . 5 (.r‘(ℤring ×sring)) = (.r‘(ℤring ×sring))
20 eqid 2731 . . . . 5 (-g‘(ℤring ×sring)) = (-g‘(ℤring ×sring))
21 eqid 2731 . . . . 5 (+g‘(ℤring ×sring)) = (+g‘(ℤring ×sring))
2219, 8, 20, 21ring2idlqus1 21082 . . . 4 ((((ℤring ×sring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring))) ∧ (((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))))) → ((ℤring ×sring) ∈ Ring ∧ (1r‘(ℤring ×sring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))))))
2322simprd 495 . . 3 ((((ℤring ×sring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring))) ∧ (((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))))) → (1r‘(ℤring ×sring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))))
246, 12, 18, 23mp3an 1460 . 2 (1r‘(ℤring ×sring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))))
251, 3, 4, 8pzriprnglem9 21262 . . . . 5 (1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))) = ⟨1, 0⟩
2625oveq1i 7422 . . . 4 ((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)
2726oveq2i 7423 . . 3 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))
2827, 25oveq12i 7424 . 2 ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
29 zringring 21224 . . . . . . 7 ring ∈ Ring
30 zringbas 21228 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
31 id 22 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ Ring)
3213a1i 11 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
33 0zd 12577 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → 0 ∈ ℤ)
34 zmulcl 12618 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 · 1) ∈ ℤ)
3513, 13, 34mp2an 689 . . . . . . . . 9 (1 · 1) ∈ ℤ
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → (1 · 1) ∈ ℤ)
37 zringmulr 21232 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℤring)
3837eqcomi 2740 . . . . . . . . . . 11 (.r‘ℤring) = ·
3938oveqi 7425 . . . . . . . . . 10 (0(.r‘ℤring)1) = (0 · 1)
40 0z 12576 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
41 zmulcl 12618 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 · 1) ∈ ℤ)
4240, 13, 41mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (0 · 1) ∈ ℤ
4339, 42eqeltri 2828 . . . . . . . . 9 (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ)
45 eqid 2731 . . . . . . . 8 (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
461, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 32, 32, 36, 44, 37, 45, 19xpsmul 17528 . . . . . . 7 (ℤring ∈ Ring → (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
4729, 46ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩
4847oveq2i 7423 . . . . 5 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
49 1t1e1 12381 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
50 ax-1cn 11174 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
5150mul02i 11410 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
5239, 51eqtri 2759 . . . . . . 7 (0(.r‘ℤring)1) = 0
5349, 52opeq12i 4878 . . . . . 6 ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩ = ⟨1, 0⟩
5453oveq2i 7423 . . . . 5 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
55 zringgrp 21227 . . . . . . . 8 ring ∈ Grp
5655a1i 11 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
57 id 22 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
58 0zd 12577 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
59 eqid 2731 . . . . . . 7 (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
601, 30, 30, 56, 56, 57, 57, 57, 58, 59, 59, 20xpsgrpsub 18984 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩)
6113, 60ax-mp 5 . . . . 5 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
6248, 54, 613eqtri 2763 . . . 4 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
6362oveq1i 7422 . . 3 ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
6459zringsub 21230 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1))
6513, 13, 64mp2an 689 . . . . . 6 (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1)
66 1m1e0 12291 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
6765, 66eqtri 2759 . . . . 5 (1(-g‘ℤring)1) = 0
6859zringsub 21230 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0))
6913, 40, 68mp2an 689 . . . . 5 (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0)
7067, 69opeq12i 4878 . . . 4 ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩ = ⟨0, (1 − 0)⟩
7170oveq1i 7422 . . 3 (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
72 1m0e1 12340 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
7372opeq2i 4877 . . . . 5 ⟨0, (1 − 0)⟩ = ⟨0, 1⟩
7473oveq1i 7422 . . . 4 (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
7529a1i 11 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
7658, 57zaddcld 12677 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (0 + 1) ∈ ℤ)
7757, 58zaddcld 12677 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1 + 0) ∈ ℤ)
78 zringplusg 21229 . . . . . 6 + = (+g‘ℤring)
791, 30, 30, 75, 75, 58, 57, 57, 58, 76, 77, 78, 78, 21xpsadd 17527 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩)
8013, 79ax-mp 5 . . . 4 (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩
81 0p1e1 12341 . . . . 5 (0 + 1) = 1
82 1p0e1 12343 . . . . 5 (1 + 0) = 1
8381, 82opeq12i 4878 . . . 4 ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩ = ⟨1, 1⟩
8474, 80, 833eqtri 2763 . . 3 (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
8563, 71, 843eqtri 2763 . 2 ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
8624, 28, 853eqtri 2763 1 (1r‘(ℤring ×sring)) = ⟨1, 1⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  {csn 4628  cop 4634   × cxp 5674  cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  cmin 11451  cz 12565  s cress 17180  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205   /s cqus 17458   ×s cxps 17459  Grpcgrp 18858  -gcsg 18860   ~QG cqg 19042  Rngcrng 20050  1rcur 20079  Ringcrg 20131  2Idealc2idl 21009  ringczring 21221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-imas 17461  df-qus 17462  df-xps 17463  df-mgm 18568  df-mgmhm 18620  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-subg 19043  df-nsg 19044  df-eqg 19045  df-ghm 19132  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-cring 20134  df-oppr 20229  df-dvdsr 20252  df-unit 20253  df-invr 20283  df-rnghm 20331  df-rngim 20332  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-lss 20691  df-sra 20934  df-rgmod 20935  df-lidl 20936  df-2idl 21010  df-cnfld 21149  df-zring 21222
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator