Theorem pzriprng1ALT 21655

Description: The ring unity of the ring (ℤ_ring ×_s ℤ_ring) constructed from the ring unity of the two-sided ideal (ℤ × {0}) and the ring unity of the quotient of the ring and the ideal (using ring2idlqus1 21468). (Contributed by AV, 24-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pzriprng1ALT	⊢ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ⟨1, 1⟩

Proof of Theorem pzriprng1ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (ℤring ×s ℤring) = (ℤring ×s ℤring)
2	1	pzriprnglem1 21640	. . . 4 ⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Rng
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (ℤ × {0}) = (ℤ × {0})
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))
5	1, 3, 4	pzriprnglem8 21647	. . . 4 ⊢ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))
6	2, 5	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring)))
7	1, 3, 4	pzriprnglem7 21646	. . . 4 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))) = (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) = ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))
11	1, 3, 4, 8, 9, 10	pzriprnglem13 21652	. . . 4 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring
12	7, 11	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring)
13		1z 12628	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		1ex 11207	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15	14	snid 4628	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {1}
16	13, 15	opelxpii 5699	. . . 4 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × {1})
17	1, 3, 4, 8, 9, 10	pzriprnglem14 21653	. . . 4 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))) = (ℤ × {1})
18	16, 17	eleqtrri 2862	. . 3 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))
19		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (.r‘(ℤring ×s ℤring)) = (.r‘(ℤring ×s ℤring))
20		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (-g‘(ℤring ×s ℤring)) = (-g‘(ℤring ×s ℤring))
21		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘(ℤring ×s ℤring)) = (+g‘(ℤring ×s ℤring))
22	19, 8, 20, 21	ring2idlqus1 21468	. . . 4 ⊢ ((((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))) ∧ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))) → ((ℤring ×s ℤring) ∈ Ring ∧ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))))))
23	22	simprd 500	. . 3 ⊢ ((((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))) ∧ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))) → (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))))
24	6, 12, 18, 23	mp3an 1490	. 2 ⊢ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))))
25	1, 3, 4, 8	pzriprnglem9 21648	. . . . 5 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))) = ⟨1, 0⟩
26	25	oveq1i 7420	. . . 4 ⊢ ((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)
27	26	oveq2i 7421	. . 3 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))
28	27, 25	oveq12i 7422	. 2 ⊢ ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
29		zringring 21608	. . . . . . 7 ⊢ ℤring ∈ Ring
30		zringbas 21612	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
31		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ Ring)
32	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
33		0zd 12607	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → 0 ∈ ℤ)
34		zmulcl 12647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 · 1) ∈ ℤ)
35	13, 13, 34	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) ∈ ℤ
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (1 · 1) ∈ ℤ)
37		zringmulr 21616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℤring)
38	37	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
39	38	oveqi 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(.r‘ℤring)1) = (0 · 1)
40		0z 12606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
41		zmulcl 12647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 · 1) ∈ ℤ)
42	40, 13, 41	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 · 1) ∈ ℤ
43	39, 42	eqeltri 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ)
45		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
46	1, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 32, 32, 36, 44, 37, 45, 19	xpsmul 17633	. . . . . . 7 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
47	29, 46	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩
48	47	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
49		1t1e1 12406	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
50		ax-1cn 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
51	50	mul02i 11403	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 1) = 0
52	39, 51	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (0(.r‘ℤring)1) = 0
53	49, 52	opeq12i 4843	. . . . . 6 ⊢ ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩ = ⟨1, 0⟩
54	53	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
55		zringgrp 21611	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∈ Grp
56	55	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
57		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
58		0zd 12607	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
59		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
60	1, 30, 30, 56, 56, 57, 57, 57, 58, 59, 59, 20	xpsgrpsub 19131	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩)
61	13, 60	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
62	48, 54, 61	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
63	62	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
64	59	zringsub 21614	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1))
65	13, 13, 64	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1)
66		1m1e0 12317	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
67	65, 66	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (1(-g‘ℤring)1) = 0
68	59	zringsub 21614	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0))
69	13, 40, 68	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0)
70	67, 69	opeq12i 4843	. . . 4 ⊢ ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩ = ⟨0, (1 − 0)⟩
71	70	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
72		1m0e1 12364	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
73	72	opeq2i 4842	. . . . 5 ⊢ ⟨0, (1 − 0)⟩ = ⟨0, 1⟩
74	73	oveq1i 7420	. . . 4 ⊢ (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
75	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
76	58, 57	zaddcld 12708	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (0 + 1) ∈ ℤ)
77	57, 58	zaddcld 12708	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 0) ∈ ℤ)
78		zringplusg 21613	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℤring)
79	1, 30, 30, 75, 75, 58, 57, 57, 58, 76, 77, 78, 78, 21	xpsadd 17632	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩)
80	13, 79	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩
81		0p1e1 12365	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
82		1p0e1 12367	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
83	81, 82	opeq12i 4843	. . . 4 ⊢ ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩ = ⟨1, 1⟩
84	74, 80, 83	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
85	63, 71, 84	3eqtri 2790	. 2 ⊢ ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
86	24, 28, 85	3eqtri 2790	1 ⊢ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ⟨1, 1⟩

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589  ⟨cop 4595   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   · cmul 11109   − cmin 11445  ℤcz 12595   ↾_s cress 17294  +_gcplusg 17314  ._rcmulr 17315   /_s cqus 17563   ×_s cxps 17564  Grpcgrp 19004  -_gcsg 19006   ~_QG cqg 19192  Rngcrng 20234  1_rcur 20267  Ringcrg 20319  2Idealc2idl 21397  ℤ_ringczring 21605

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-addf 11183  ax-mulf 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-0g 17498  df-prds 17504  df-imas 17566  df-qus 17567  df-xps 17568  df-mgm 18702  df-mgmhm 18754  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-subg 19193  df-nsg 19194  df-eqg 19195  df-ghm 19288  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-rnghm 20523  df-rngim 20524  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-lss 21062  df-sra 21303  df-rgmod 21304  df-lidl 21341  df-2idl 21398  df-cnfld 21532  df-zring 21606

This theorem is used by: (None)