Theorem pzriprng1ALT 21413

Description: The ring unity of the ring (ℤ_ring ×_s ℤ_ring) constructed from the ring unity of the two-sided ideal (ℤ × {0}) and the ring unity of the quotient of the ring and the ideal (using ring2idlqus1 21236). (Contributed by AV, 24-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pzriprng1ALT	⊢ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ⟨1, 1⟩

Proof of Theorem pzriprng1ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (ℤring ×s ℤring) = (ℤring ×s ℤring)
2	1	pzriprnglem1 21398	. . . 4 ⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Rng
3		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (ℤ × {0}) = (ℤ × {0})
4		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))
5	1, 3, 4	pzriprnglem8 21405	. . . 4 ⊢ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))
6	2, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring)))
7	1, 3, 4	pzriprnglem7 21404	. . . 4 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring
8		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))) = (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))
10		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) = ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))
11	1, 3, 4, 8, 9, 10	pzriprnglem13 21410	. . . 4 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring
12	7, 11	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring)
13		1z 12570	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		1ex 11177	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15	14	snid 4629	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {1}
16	13, 15	opelxpii 5679	. . . 4 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × {1})
17	1, 3, 4, 8, 9, 10	pzriprnglem14 21411	. . . 4 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))) = (ℤ × {1})
18	16, 17	eleqtrri 2828	. . 3 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))
19		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (.r‘(ℤring ×s ℤring)) = (.r‘(ℤring ×s ℤring))
20		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (-g‘(ℤring ×s ℤring)) = (-g‘(ℤring ×s ℤring))
21		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (+g‘(ℤring ×s ℤring)) = (+g‘(ℤring ×s ℤring))
22	19, 8, 20, 21	ring2idlqus1 21236	. . . 4 ⊢ ((((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))) ∧ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))) → ((ℤring ×s ℤring) ∈ Ring ∧ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))))))
23	22	simprd 495	. . 3 ⊢ ((((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))) ∧ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))) → (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))))
24	6, 12, 18, 23	mp3an 1463	. 2 ⊢ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))))
25	1, 3, 4, 8	pzriprnglem9 21406	. . . . 5 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))) = ⟨1, 0⟩
26	25	oveq1i 7400	. . . 4 ⊢ ((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)
27	26	oveq2i 7401	. . 3 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))
28	27, 25	oveq12i 7402	. 2 ⊢ ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))((1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))(1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
29		zringring 21366	. . . . . . 7 ⊢ ℤring ∈ Ring
30		zringbas 21370	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
31		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ Ring)
32	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
33		0zd 12548	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → 0 ∈ ℤ)
34		zmulcl 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 · 1) ∈ ℤ)
35	13, 13, 34	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) ∈ ℤ
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (1 · 1) ∈ ℤ)
37		zringmulr 21374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℤring)
38	37	eqcomi 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
39	38	oveqi 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(.r‘ℤring)1) = (0 · 1)
40		0z 12547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
41		zmulcl 12589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 · 1) ∈ ℤ)
42	40, 13, 41	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 · 1) ∈ ℤ
43	39, 42	eqeltri 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ)
45		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
46	1, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 32, 32, 36, 44, 37, 45, 19	xpsmul 17545	. . . . . . 7 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
47	29, 46	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩
48	47	oveq2i 7401	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
49		1t1e1 12350	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
50		ax-1cn 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
51	50	mul02i 11370	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 1) = 0
52	39, 51	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ (0(.r‘ℤring)1) = 0
53	49, 52	opeq12i 4845	. . . . . 6 ⊢ ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩ = ⟨1, 0⟩
54	53	oveq2i 7401	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
55		zringgrp 21369	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∈ Grp
56	55	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
57		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
58		0zd 12548	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
59		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
60	1, 30, 30, 56, 56, 57, 57, 57, 58, 59, 59, 20	xpsgrpsub 19000	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩)
61	13, 60	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
62	48, 54, 61	3eqtri 2757	. . . 4 ⊢ (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩)) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
63	62	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
64	59	zringsub 21372	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1))
65	13, 13, 64	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1)
66		1m1e0 12265	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
67	65, 66	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ (1(-g‘ℤring)1) = 0
68	59	zringsub 21372	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0))
69	13, 40, 68	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0)
70	67, 69	opeq12i 4845	. . . 4 ⊢ ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩ = ⟨0, (1 − 0)⟩
71	70	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
72		1m0e1 12309	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
73	72	opeq2i 4844	. . . . 5 ⊢ ⟨0, (1 − 0)⟩ = ⟨0, 1⟩
74	73	oveq1i 7400	. . . 4 ⊢ (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩)
75	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
76	58, 57	zaddcld 12649	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (0 + 1) ∈ ℤ)
77	57, 58	zaddcld 12649	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 0) ∈ ℤ)
78		zringplusg 21371	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℤring)
79	1, 30, 30, 75, 75, 58, 57, 57, 58, 76, 77, 78, 78, 21	xpsadd 17544	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩)
80	13, 79	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩
81		0p1e1 12310	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
82		1p0e1 12312	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
83	81, 82	opeq12i 4845	. . . 4 ⊢ ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩ = ⟨1, 1⟩
84	74, 80, 83	3eqtri 2757	. . 3 ⊢ (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
85	63, 71, 84	3eqtri 2757	. 2 ⊢ ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×s ℤring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×s ℤring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
86	24, 28, 85	3eqtri 2757	1 ⊢ (1r‘(ℤring ×s ℤring)) = ⟨1, 1⟩

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4592  ⟨cop 4598   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412  ℤcz 12536   ↾_s cress 17207  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228   /_s cqus 17475   ×_s cxps 17476  Grpcgrp 18872  -_gcsg 18874   ~_QG cqg 19061  Rngcrng 20068  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  2Idealc2idl 21166  ℤ_ringczring 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-prds 17417  df-imas 17478  df-qus 17479  df-xps 17480  df-mgm 18574  df-mgmhm 18626  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064  df-ghm 19152  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-rnghm 20352  df-rngim 20353  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125  df-2idl 21167  df-cnfld 21272  df-zring 21364

This theorem is referenced by: (None)