MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprng1ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprng1ALT 21424
Description: The ring unity of the ring (ℤring ×sring) constructed from the ring unity of the two-sided ideal (ℤ × {0}) and the ring unity of the quotient of the ring and the ideal (using ring2idlqus1 21211). (Contributed by AV, 24-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pzriprng1ALT (1r‘(ℤring ×sring)) = ⟨1, 1⟩

Proof of Theorem pzriprng1ALT
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . 5 (ℤring ×sring) = (ℤring ×sring)
21pzriprnglem1 21409 . . . 4 (ℤring ×sring) ∈ Rng
3 eqid 2725 . . . . 5 (ℤ × {0}) = (ℤ × {0})
4 eqid 2725 . . . . 5 ((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) = ((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))
51, 3, 4pzriprnglem8 21416 . . . 4 (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring))
62, 5pm3.2i 469 . . 3 ((ℤring ×sring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring)))
71, 3, 4pzriprnglem7 21415 . . . 4 ((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring
8 eqid 2725 . . . . 5 (1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))) = (1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))
9 eqid 2725 . . . . 5 ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0})) = ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))
10 eqid 2725 . . . . 5 ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) = ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0})))
111, 3, 4, 8, 9, 10pzriprnglem13 21421 . . . 4 ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring
127, 11pm3.2i 469 . . 3 (((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring)
13 1z 12620 . . . . 5 1 ∈ ℤ
14 1ex 11238 . . . . . 6 1 ∈ V
1514snid 4660 . . . . 5 1 ∈ {1}
1613, 15opelxpii 5710 . . . 4 ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × {1})
171, 3, 4, 8, 9, 10pzriprnglem14 21422 . . . 4 (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0})))) = (ℤ × {1})
1816, 17eleqtrri 2824 . . 3 ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))))
19 eqid 2725 . . . . 5 (.r‘(ℤring ×sring)) = (.r‘(ℤring ×sring))
20 eqid 2725 . . . . 5 (-g‘(ℤring ×sring)) = (-g‘(ℤring ×sring))
21 eqid 2725 . . . . 5 (+g‘(ℤring ×sring)) = (+g‘(ℤring ×sring))
2219, 8, 20, 21ring2idlqus1 21211 . . . 4 ((((ℤring ×sring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring))) ∧ (((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))))) → ((ℤring ×sring) ∈ Ring ∧ (1r‘(ℤring ×sring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))))))
2322simprd 494 . . 3 ((((ℤring ×sring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring))) ∧ (((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))))) → (1r‘(ℤring ×sring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))))
246, 12, 18, 23mp3an 1457 . 2 (1r‘(ℤring ×sring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))))
251, 3, 4, 8pzriprnglem9 21417 . . . . 5 (1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))) = ⟨1, 0⟩
2625oveq1i 7425 . . . 4 ((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)
2726oveq2i 7426 . . 3 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))
2827, 25oveq12i 7427 . 2 ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
29 zringring 21377 . . . . . . 7 ring ∈ Ring
30 zringbas 21381 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
31 id 22 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ Ring)
3213a1i 11 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
33 0zd 12598 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → 0 ∈ ℤ)
34 zmulcl 12639 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 · 1) ∈ ℤ)
3513, 13, 34mp2an 690 . . . . . . . . 9 (1 · 1) ∈ ℤ
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → (1 · 1) ∈ ℤ)
37 zringmulr 21385 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℤring)
3837eqcomi 2734 . . . . . . . . . . 11 (.r‘ℤring) = ·
3938oveqi 7428 . . . . . . . . . 10 (0(.r‘ℤring)1) = (0 · 1)
40 0z 12597 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
41 zmulcl 12639 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 · 1) ∈ ℤ)
4240, 13, 41mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (0 · 1) ∈ ℤ
4339, 42eqeltri 2821 . . . . . . . . 9 (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ)
45 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
461, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 32, 32, 36, 44, 37, 45, 19xpsmul 17554 . . . . . . 7 (ℤring ∈ Ring → (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
4729, 46ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩
4847oveq2i 7426 . . . . 5 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
49 1t1e1 12402 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
50 ax-1cn 11194 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
5150mul02i 11431 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
5239, 51eqtri 2753 . . . . . . 7 (0(.r‘ℤring)1) = 0
5349, 52opeq12i 4874 . . . . . 6 ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩ = ⟨1, 0⟩
5453oveq2i 7426 . . . . 5 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
55 zringgrp 21380 . . . . . . . 8 ring ∈ Grp
5655a1i 11 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
57 id 22 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
58 0zd 12598 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
59 eqid 2725 . . . . . . 7 (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
601, 30, 30, 56, 56, 57, 57, 57, 58, 59, 59, 20xpsgrpsub 19019 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩)
6113, 60ax-mp 5 . . . . 5 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
6248, 54, 613eqtri 2757 . . . 4 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
6362oveq1i 7425 . . 3 ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
6459zringsub 21383 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1))
6513, 13, 64mp2an 690 . . . . . 6 (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1)
66 1m1e0 12312 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
6765, 66eqtri 2753 . . . . 5 (1(-g‘ℤring)1) = 0
6859zringsub 21383 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0))
6913, 40, 68mp2an 690 . . . . 5 (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0)
7067, 69opeq12i 4874 . . . 4 ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩ = ⟨0, (1 − 0)⟩
7170oveq1i 7425 . . 3 (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
72 1m0e1 12361 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
7372opeq2i 4873 . . . . 5 ⟨0, (1 − 0)⟩ = ⟨0, 1⟩
7473oveq1i 7425 . . . 4 (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
7529a1i 11 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
7658, 57zaddcld 12698 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (0 + 1) ∈ ℤ)
7757, 58zaddcld 12698 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1 + 0) ∈ ℤ)
78 zringplusg 21382 . . . . . 6 + = (+g‘ℤring)
791, 30, 30, 75, 75, 58, 57, 57, 58, 76, 77, 78, 78, 21xpsadd 17553 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩)
8013, 79ax-mp 5 . . . 4 (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩
81 0p1e1 12362 . . . . 5 (0 + 1) = 1
82 1p0e1 12364 . . . . 5 (1 + 0) = 1
8381, 82opeq12i 4874 . . . 4 ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩ = ⟨1, 1⟩
8474, 80, 833eqtri 2757 . . 3 (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
8563, 71, 843eqtri 2757 . 2 ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
8624, 28, 853eqtri 2757 1 (1r‘(ℤring ×sring)) = ⟨1, 1⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4624  cop 4630   × cxp 5670  cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   · cmul 11141  cmin 11472  cz 12586  s cress 17206  +gcplusg 17230  .rcmulr 17231   /s cqus 17484   ×s cxps 17485  Grpcgrp 18892  -gcsg 18894   ~QG cqg 19079  Rngcrng 20094  1rcur 20123  Ringcrg 20175  2Idealc2idl 21145  ringczring 21374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-prds 17426  df-imas 17487  df-qus 17488  df-xps 17489  df-mgm 18597  df-mgmhm 18649  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-nsg 19081  df-eqg 19082  df-ghm 19170  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-rnghm 20377  df-rngim 20378  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-lss 20818  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106  df-2idl 21146  df-cnfld 21282  df-zring 21375
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator