MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprng1ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprng1ALT 21524
Description: The ring unity of the ring (ℤring ×sring) constructed from the ring unity of the two-sided ideal (ℤ × {0}) and the ring unity of the quotient of the ring and the ideal (using ring2idlqus1 21346). (Contributed by AV, 24-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pzriprng1ALT (1r‘(ℤring ×sring)) = ⟨1, 1⟩

Proof of Theorem pzriprng1ALT
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . . 5 (ℤring ×sring) = (ℤring ×sring)
21pzriprnglem1 21509 . . . 4 (ℤring ×sring) ∈ Rng
3 eqid 2734 . . . . 5 (ℤ × {0}) = (ℤ × {0})
4 eqid 2734 . . . . 5 ((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) = ((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))
51, 3, 4pzriprnglem8 21516 . . . 4 (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring))
62, 5pm3.2i 470 . . 3 ((ℤring ×sring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring)))
71, 3, 4pzriprnglem7 21515 . . . 4 ((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring
8 eqid 2734 . . . . 5 (1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))) = (1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))
9 eqid 2734 . . . . 5 ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0})) = ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))
10 eqid 2734 . . . . 5 ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) = ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0})))
111, 3, 4, 8, 9, 10pzriprnglem13 21521 . . . 4 ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring
127, 11pm3.2i 470 . . 3 (((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring)
13 1z 12644 . . . . 5 1 ∈ ℤ
14 1ex 11254 . . . . . 6 1 ∈ V
1514snid 4666 . . . . 5 1 ∈ {1}
1613, 15opelxpii 5726 . . . 4 ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × {1})
171, 3, 4, 8, 9, 10pzriprnglem14 21522 . . . 4 (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0})))) = (ℤ × {1})
1816, 17eleqtrri 2837 . . 3 ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))))
19 eqid 2734 . . . . 5 (.r‘(ℤring ×sring)) = (.r‘(ℤring ×sring))
20 eqid 2734 . . . . 5 (-g‘(ℤring ×sring)) = (-g‘(ℤring ×sring))
21 eqid 2734 . . . . 5 (+g‘(ℤring ×sring)) = (+g‘(ℤring ×sring))
2219, 8, 20, 21ring2idlqus1 21346 . . . 4 ((((ℤring ×sring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring))) ∧ (((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))))) → ((ℤring ×sring) ∈ Ring ∧ (1r‘(ℤring ×sring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))))))
2322simprd 495 . . 3 ((((ℤring ×sring) ∈ Rng ∧ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×sring))) ∧ (((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (1r‘((ℤring ×sring) /s ((ℤring ×sring) ~QG (ℤ × {0}))))) → (1r‘(ℤring ×sring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))))
246, 12, 18, 23mp3an 1460 . 2 (1r‘(ℤring ×sring)) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))))
251, 3, 4, 8pzriprnglem9 21517 . . . . 5 (1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0}))) = ⟨1, 0⟩
2625oveq1i 7440 . . . 4 ((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)
2726oveq2i 7441 . . 3 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))
2827, 25oveq12i 7442 . 2 ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))((1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))(1r‘((ℤring ×sring) ↾s (ℤ × {0})))) = ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
29 zringring 21477 . . . . . . 7 ring ∈ Ring
30 zringbas 21481 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
31 id 22 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ Ring)
3213a1i 11 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
33 0zd 12622 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → 0 ∈ ℤ)
34 zmulcl 12663 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 · 1) ∈ ℤ)
3513, 13, 34mp2an 692 . . . . . . . . 9 (1 · 1) ∈ ℤ
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → (1 · 1) ∈ ℤ)
37 zringmulr 21485 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℤring)
3837eqcomi 2743 . . . . . . . . . . 11 (.r‘ℤring) = ·
3938oveqi 7443 . . . . . . . . . 10 (0(.r‘ℤring)1) = (0 · 1)
40 0z 12621 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
41 zmulcl 12663 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 · 1) ∈ ℤ)
4240, 13, 41mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (0 · 1) ∈ ℤ
4339, 42eqeltri 2834 . . . . . . . . 9 (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → (0(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ)
45 eqid 2734 . . . . . . . 8 (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
461, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 32, 32, 36, 44, 37, 45, 19xpsmul 17621 . . . . . . 7 (ℤring ∈ Ring → (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
4729, 46ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩
4847oveq2i 7441 . . . . 5 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩)
49 1t1e1 12425 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
50 ax-1cn 11210 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
5150mul02i 11447 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
5239, 51eqtri 2762 . . . . . . 7 (0(.r‘ℤring)1) = 0
5349, 52opeq12i 4882 . . . . . 6 ⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩ = ⟨1, 0⟩
5453oveq2i 7441 . . . . 5 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨(1 · 1), (0(.r‘ℤring)1)⟩) = (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
55 zringgrp 21480 . . . . . . . 8 ring ∈ Grp
5655a1i 11 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
57 id 22 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
58 0zd 12622 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
59 eqid 2734 . . . . . . 7 (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
601, 30, 30, 56, 56, 57, 57, 57, 58, 59, 59, 20xpsgrpsub 19091 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩)
6113, 60ax-mp 5 . . . . 5 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
6248, 54, 613eqtri 2766 . . . 4 (⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩)) = ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩
6362oveq1i 7440 . . 3 ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
6459zringsub 21483 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1))
6513, 13, 64mp2an 692 . . . . . 6 (1(-g‘ℤring)1) = (1 − 1)
66 1m1e0 12335 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
6765, 66eqtri 2762 . . . . 5 (1(-g‘ℤring)1) = 0
6859zringsub 21483 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0))
6913, 40, 68mp2an 692 . . . . 5 (1(-g‘ℤring)0) = (1 − 0)
7067, 69opeq12i 4882 . . . 4 ⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩ = ⟨0, (1 − 0)⟩
7170oveq1i 7440 . . 3 (⟨(1(-g‘ℤring)1), (1(-g‘ℤring)0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
72 1m0e1 12384 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
7372opeq2i 4881 . . . . 5 ⟨0, (1 − 0)⟩ = ⟨0, 1⟩
7473oveq1i 7440 . . . 4 (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩)
7529a1i 11 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
7658, 57zaddcld 12723 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (0 + 1) ∈ ℤ)
7757, 58zaddcld 12723 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1 + 0) ∈ ℤ)
78 zringplusg 21482 . . . . . 6 + = (+g‘ℤring)
791, 30, 30, 75, 75, 58, 57, 57, 58, 76, 77, 78, 78, 21xpsadd 17620 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩)
8013, 79ax-mp 5 . . . 4 (⟨0, 1⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩
81 0p1e1 12385 . . . . 5 (0 + 1) = 1
82 1p0e1 12387 . . . . 5 (1 + 0) = 1
8381, 82opeq12i 4882 . . . 4 ⟨(0 + 1), (1 + 0)⟩ = ⟨1, 1⟩
8474, 80, 833eqtri 2766 . . 3 (⟨0, (1 − 0)⟩(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
8563, 71, 843eqtri 2766 . 2 ((⟨1, 1⟩(-g‘(ℤring ×sring))(⟨1, 0⟩(.r‘(ℤring ×sring))⟨1, 1⟩))(+g‘(ℤring ×sring))⟨1, 0⟩) = ⟨1, 1⟩
8624, 28, 853eqtri 2766 1 (1r‘(ℤring ×sring)) = ⟨1, 1⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  {csn 4630  cop 4636   × cxp 5686  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489  cz 12610  s cress 17273  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298   /s cqus 17551   ×s cxps 17552  Grpcgrp 18963  -gcsg 18965   ~QG cqg 19152  Rngcrng 20169  1rcur 20198  Ringcrg 20250  2Idealc2idl 21276  ringczring 21474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-prds 17493  df-imas 17554  df-qus 17555  df-xps 17556  df-mgm 18665  df-mgmhm 18717  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-rnghm 20452  df-rngim 20453  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-lss 20947  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-2idl 21277  df-cnfld 21382  df-zring 21475
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator