Theorem nfermltl8rev 49043

Description: Fermat's little theorem with base 8 reversed is not generally true: There is an integer 𝑝 (for example 9, see 9fppr8 49038) so that "𝑝 is prime" does not follow from 8↑𝑝≡8 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nfermltl8rev	⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Proof of Theorem nfermltl8rev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12465	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
2	1	elexi 3476	. . 3 ⊢ 9 ∈ V
3		eleq1 2852	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 9 → (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 9 ∈ (ℤ≥‘3)))
4		oveq2 7448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 9 → (8↑𝑝) = (8↑9))
5		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 9 → 𝑝 = 9)
6	4, 5	oveq12d 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 9 → ((8↑𝑝) mod 𝑝) = ((8↑9) mod 9))
7		oveq2 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 9 → (8 mod 𝑝) = (8 mod 9))
8	6, 7	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 9 → (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) ↔ ((8↑9) mod 9) = (8 mod 9)))
9		eleq1 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 9 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 9 ∈ ℙ))
10	8, 9	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 9 → ((((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ)))
11	10	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 9 → (¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ)))
12	3, 11	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑝 = 9 → ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (9 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ))))
13		3z 12753	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
14	1	nnzi 12744	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
15		3re 12447	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
16		9re 12466	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
17		3lt9 12573	. . . . . 6 ⊢ 3 < 9
18	15, 16, 17	ltleii 11457	. . . . 5 ⊢ 3 ≤ 9
19		eluz2 12995	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 9))
20	13, 14, 18, 19	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘3)
21		8nn 12462	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ
22		8nn0 12653	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
23		0z 12728	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		1nn0 12646	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25		8exp8mod9 49037	. . . . . . . 8 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1
26		1re 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		nnrp 13156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
28	1, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ+
29		0le1 11863	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
30		1lt9 12575	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 9
31		modid 14060	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
32	26, 28, 29, 30, 31	mp4an 706	. . . . . . . 8 ⊢ (1 mod 9) = 1
33	25, 32	eqtr4i 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
34		8p1e9 12516	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
35		8cn 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
36	35	addlidi 11522	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 8) = 8
37		9cn 12467	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℂ
38	37	mul02i 11523	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · 9) = 0
39	38	oveq1i 7450	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 · 9) + 8) = (0 + 8)
40	35	mullidi 11338	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 8) = 8
41	36, 39, 40	3eqtr4i 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 9) + 8) = (1 · 8)
42	1, 21, 22, 23, 24, 22, 33, 34, 41	modxp1i 17274	. . . . . 6 ⊢ ((8↑9) mod 9) = (8 mod 9)
43		9nprm 17316	. . . . . 6 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
44	42, 43	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) ∧ ¬ 9 ∈ ℙ)
45		annim 409	. . . . 5 ⊢ ((((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) ∧ ¬ 9 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ))
46	44, 45	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ)
47	20, 46	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ))
48	2, 12, 47	ceqsexv2d 3503	. 2 ⊢ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
49		df-rex 3091	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
50	48, 49	mpbir 234	1 ⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229   < clt 11367   ≤ cle 11368  ℕcn 12359  3c3 12422  8c8 12427  9c9 12428  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989  ℝ⁺crp 13144   mod cmo 14033  ↑cexp 14228  ℙcprime 16872

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-dvds 16449  df-prm 16873

This theorem is used by:  nfermltlrev  49045