Theorem nfermltl8rev 48131

Description: Fermat's little theorem with base 8 reversed is not generally true: There is an integer 𝑝 (for example 9, see 9fppr8 48126) so that "𝑝 is prime" does not follow from 8↑𝑝≡8 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nfermltl8rev	⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Proof of Theorem nfermltl8rev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12257	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
2	1	elexi 3465	. . 3 ⊢ 9 ∈ V
3		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 9 → (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 9 ∈ (ℤ≥‘3)))
4		oveq2 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 9 → (8↑𝑝) = (8↑9))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 9 → 𝑝 = 9)
6	4, 5	oveq12d 7388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 9 → ((8↑𝑝) mod 𝑝) = ((8↑9) mod 9))
7		oveq2 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 9 → (8 mod 𝑝) = (8 mod 9))
8	6, 7	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 9 → (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) ↔ ((8↑9) mod 9) = (8 mod 9)))
9		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 9 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 9 ∈ ℙ))
10	8, 9	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 9 → ((((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ)))
11	10	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 9 → (¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ)))
12	3, 11	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑝 = 9 → ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (9 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ))))
13		3z 12538	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
14	1	nnzi 12529	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
15		3re 12239	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
16		9re 12258	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
17		3lt9 12358	. . . . . 6 ⊢ 3 < 9
18	15, 16, 17	ltleii 11270	. . . . 5 ⊢ 3 ≤ 9
19		eluz2 12771	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 9))
20	13, 14, 18, 19	mpbir3an 1343	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘3)
21		8nn 12254	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ
22		8nn0 12438	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
23		0z 12513	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		1nn0 12431	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25		8exp8mod9 48125	. . . . . . . 8 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1
26		1re 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		nnrp 12931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
28	1, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ+
29		0le1 11674	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
30		1lt9 12360	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 9
31		modid 13830	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
32	26, 28, 29, 30, 31	mp4an 694	. . . . . . . 8 ⊢ (1 mod 9) = 1
33	25, 32	eqtr4i 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
34		8p1e9 12304	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
35		8cn 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
36	35	addlidi 11335	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 8) = 8
37		9cn 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℂ
38	37	mul02i 11336	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · 9) = 0
39	38	oveq1i 7380	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 · 9) + 8) = (0 + 8)
40	35	mullidi 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 8) = 8
41	36, 39, 40	3eqtr4i 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 9) + 8) = (1 · 8)
42	1, 21, 22, 23, 24, 22, 33, 34, 41	modxp1i 17012	. . . . . 6 ⊢ ((8↑9) mod 9) = (8 mod 9)
43		9nprm 17054	. . . . . 6 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
44	42, 43	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) ∧ ¬ 9 ∈ ℙ)
45		annim 403	. . . . 5 ⊢ ((((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) ∧ ¬ 9 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ))
46	44, 45	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ)
47	20, 46	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ))
48	2, 12, 47	ceqsexv2d 3493	. 2 ⊢ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
49		df-rex 3063	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
50	48, 49	mpbir 231	1 ⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045   < clt 11180   ≤ cle 11181  ℕcn 12159  3c3 12215  8c8 12220  9c9 12221  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765  ℝ⁺crp 12919   mod cmo 13803  ↑cexp 13998  ℙcprime 16612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-rp 12920  df-fl 13726  df-mod 13804  df-seq 13939  df-exp 13999  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-dvds 16194  df-prm 16613

This theorem is referenced by:  nfermltlrev  48133