Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nfermltl8rev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfermltl8rev 46396
Description: Fermat's little theorem with base 8 reversed is not generally true: There is an integer ๐‘ (for example 9, see 9fppr8 46391) so that "๐‘ is prime" does not follow from 8โ†‘๐‘โ‰ก8 (mod ๐‘). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
nfermltl8rev โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem nfermltl8rev
StepHypRef Expression
1 9nn 12306 . . . 4 9 โˆˆ โ„•
21elexi 3493 . . 3 9 โˆˆ V
3 eleq1 2821 . . . 4 (๐‘ = 9 โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” 9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)))
4 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐‘ = 9 โ†’ (8โ†‘๐‘) = (8โ†‘9))
5 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ = 9 โ†’ ๐‘ = 9)
64, 5oveq12d 7423 . . . . . . 7 (๐‘ = 9 โ†’ ((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = ((8โ†‘9) mod 9))
7 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘ = 9 โ†’ (8 mod ๐‘) = (8 mod 9))
86, 7eqeq12d 2748 . . . . . 6 (๐‘ = 9 โ†’ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†” ((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9)))
9 eleq1 2821 . . . . . 6 (๐‘ = 9 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†” 9 โˆˆ โ„™))
108, 9imbi12d 344 . . . . 5 (๐‘ = 9 โ†’ ((((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†” (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™)))
1110notbid 317 . . . 4 (๐‘ = 9 โ†’ (ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†” ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™)))
123, 11anbi12d 631 . . 3 (๐‘ = 9 โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)) โ†” (9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™))))
13 3z 12591 . . . . 5 3 โˆˆ โ„ค
141nnzi 12582 . . . . 5 9 โˆˆ โ„ค
15 3re 12288 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„
16 9re 12307 . . . . . 6 9 โˆˆ โ„
17 3lt9 12412 . . . . . 6 3 < 9
1815, 16, 17ltleii 11333 . . . . 5 3 โ‰ค 9
19 eluz2 12824 . . . . 5 (9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” (3 โˆˆ โ„ค โˆง 9 โˆˆ โ„ค โˆง 3 โ‰ค 9))
2013, 14, 18, 19mpbir3an 1341 . . . 4 9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)
21 8nn 12303 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„•
22 8nn0 12491 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„•0
23 0z 12565 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„ค
24 1nn0 12484 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
25 8exp8mod9 46390 . . . . . . . 8 ((8โ†‘8) mod 9) = 1
26 1re 11210 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
27 nnrp 12981 . . . . . . . . . 10 (9 โˆˆ โ„• โ†’ 9 โˆˆ โ„+)
281, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 9 โˆˆ โ„+
29 0le1 11733 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 1
30 1lt9 12414 . . . . . . . . 9 1 < 9
31 modid 13857 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 9 โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < 9)) โ†’ (1 mod 9) = 1)
3226, 28, 29, 30, 31mp4an 691 . . . . . . . 8 (1 mod 9) = 1
3325, 32eqtr4i 2763 . . . . . . 7 ((8โ†‘8) mod 9) = (1 mod 9)
34 8p1e9 12358 . . . . . . 7 (8 + 1) = 9
35 8cn 12305 . . . . . . . . 9 8 โˆˆ โ„‚
3635addlidi 11398 . . . . . . . 8 (0 + 8) = 8
37 9cn 12308 . . . . . . . . . 10 9 โˆˆ โ„‚
3837mul02i 11399 . . . . . . . . 9 (0 ยท 9) = 0
3938oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((0 ยท 9) + 8) = (0 + 8)
4035mullidi 11215 . . . . . . . 8 (1 ยท 8) = 8
4136, 39, 403eqtr4i 2770 . . . . . . 7 ((0 ยท 9) + 8) = (1 ยท 8)
421, 21, 22, 23, 24, 22, 33, 34, 41modxp1i 16999 . . . . . 6 ((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9)
43 9nprm 17042 . . . . . 6 ยฌ 9 โˆˆ โ„™
4442, 43pm3.2i 471 . . . . 5 (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โˆง ยฌ 9 โˆˆ โ„™)
45 annim 404 . . . . 5 ((((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โˆง ยฌ 9 โˆˆ โ„™) โ†” ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™))
4644, 45mpbi 229 . . . 4 ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™)
4720, 46pm3.2i 471 . . 3 (9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™))
482, 12, 47ceqsexv2d 3528 . 2 โˆƒ๐‘(๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™))
49 df-rex 3071 . 2 (โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†” โˆƒ๐‘(๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)))
5048, 49mpbir 230 1 โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245  โ„•cn 12208  3c3 12264  8c8 12269  9c9 12270  โ„คcz 12554  โ„คโ‰ฅcuz 12818  โ„+crp 12970   mod cmo 13830  โ†‘cexp 14023  โ„™cprime 16604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-prm 16605
This theorem is referenced by:  nfermltlrev  46398
  Copyright terms: Public domain W3C validator