Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nfermltl8rev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfermltl8rev 46995
Description: Fermat's little theorem with base 8 reversed is not generally true: There is an integer ๐‘ (for example 9, see 9fppr8 46990) so that "๐‘ is prime" does not follow from 8โ†‘๐‘โ‰ก8 (mod ๐‘). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
nfermltl8rev โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem nfermltl8rev
StepHypRef Expression
1 9nn 12326 . . . 4 9 โˆˆ โ„•
21elexi 3489 . . 3 9 โˆˆ V
3 eleq1 2816 . . . 4 (๐‘ = 9 โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” 9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)))
4 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (๐‘ = 9 โ†’ (8โ†‘๐‘) = (8โ†‘9))
5 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ = 9 โ†’ ๐‘ = 9)
64, 5oveq12d 7432 . . . . . . 7 (๐‘ = 9 โ†’ ((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = ((8โ†‘9) mod 9))
7 oveq2 7422 . . . . . . 7 (๐‘ = 9 โ†’ (8 mod ๐‘) = (8 mod 9))
86, 7eqeq12d 2743 . . . . . 6 (๐‘ = 9 โ†’ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†” ((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9)))
9 eleq1 2816 . . . . . 6 (๐‘ = 9 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†” 9 โˆˆ โ„™))
108, 9imbi12d 344 . . . . 5 (๐‘ = 9 โ†’ ((((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†” (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™)))
1110notbid 318 . . . 4 (๐‘ = 9 โ†’ (ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†” ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™)))
123, 11anbi12d 630 . . 3 (๐‘ = 9 โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)) โ†” (9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™))))
13 3z 12611 . . . . 5 3 โˆˆ โ„ค
141nnzi 12602 . . . . 5 9 โˆˆ โ„ค
15 3re 12308 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„
16 9re 12327 . . . . . 6 9 โˆˆ โ„
17 3lt9 12432 . . . . . 6 3 < 9
1815, 16, 17ltleii 11353 . . . . 5 3 โ‰ค 9
19 eluz2 12844 . . . . 5 (9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” (3 โˆˆ โ„ค โˆง 9 โˆˆ โ„ค โˆง 3 โ‰ค 9))
2013, 14, 18, 19mpbir3an 1339 . . . 4 9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)
21 8nn 12323 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„•
22 8nn0 12511 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„•0
23 0z 12585 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„ค
24 1nn0 12504 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
25 8exp8mod9 46989 . . . . . . . 8 ((8โ†‘8) mod 9) = 1
26 1re 11230 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
27 nnrp 13003 . . . . . . . . . 10 (9 โˆˆ โ„• โ†’ 9 โˆˆ โ„+)
281, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 9 โˆˆ โ„+
29 0le1 11753 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 1
30 1lt9 12434 . . . . . . . . 9 1 < 9
31 modid 13879 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 9 โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < 9)) โ†’ (1 mod 9) = 1)
3226, 28, 29, 30, 31mp4an 692 . . . . . . . 8 (1 mod 9) = 1
3325, 32eqtr4i 2758 . . . . . . 7 ((8โ†‘8) mod 9) = (1 mod 9)
34 8p1e9 12378 . . . . . . 7 (8 + 1) = 9
35 8cn 12325 . . . . . . . . 9 8 โˆˆ โ„‚
3635addlidi 11418 . . . . . . . 8 (0 + 8) = 8
37 9cn 12328 . . . . . . . . . 10 9 โˆˆ โ„‚
3837mul02i 11419 . . . . . . . . 9 (0 ยท 9) = 0
3938oveq1i 7424 . . . . . . . 8 ((0 ยท 9) + 8) = (0 + 8)
4035mullidi 11235 . . . . . . . 8 (1 ยท 8) = 8
4136, 39, 403eqtr4i 2765 . . . . . . 7 ((0 ยท 9) + 8) = (1 ยท 8)
421, 21, 22, 23, 24, 22, 33, 34, 41modxp1i 17024 . . . . . 6 ((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9)
43 9nprm 17067 . . . . . 6 ยฌ 9 โˆˆ โ„™
4442, 43pm3.2i 470 . . . . 5 (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โˆง ยฌ 9 โˆˆ โ„™)
45 annim 403 . . . . 5 ((((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โˆง ยฌ 9 โˆˆ โ„™) โ†” ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™))
4644, 45mpbi 229 . . . 4 ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™)
4720, 46pm3.2i 470 . . 3 (9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™))
482, 12, 47ceqsexv2d 3524 . 2 โˆƒ๐‘(๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™))
49 df-rex 3066 . 2 (โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†” โˆƒ๐‘(๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)))
5048, 49mpbir 230 1 โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534  โˆƒwex 1774   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   < clt 11264   โ‰ค cle 11265  โ„•cn 12228  3c3 12284  8c8 12289  9c9 12290  โ„คcz 12574  โ„คโ‰ฅcuz 12838  โ„+crp 12992   mod cmo 13852  โ†‘cexp 14044  โ„™cprime 16627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217  df-prm 16628
This theorem is referenced by:  nfermltlrev  46997
  Copyright terms: Public domain W3C validator