Theorem nfermltl8rev 48762

Description: Fermat's little theorem with base 8 reversed is not generally true: There is an integer 𝑝 (for example 9, see 9fppr8 48757) so that "𝑝 is prime" does not follow from 8↑𝑝≡8 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nfermltl8rev	⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Proof of Theorem nfermltl8rev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 12410	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
2	1	elexi 3472	. . 3 ⊢ 9 ∈ V
3		eleq1 2848	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 9 → (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 9 ∈ (ℤ≥‘3)))
4		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 9 → (8↑𝑝) = (8↑9))
5		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 9 → 𝑝 = 9)
6	4, 5	oveq12d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 9 → ((8↑𝑝) mod 𝑝) = ((8↑9) mod 9))
7		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 9 → (8 mod 𝑝) = (8 mod 9))
8	6, 7	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 9 → (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) ↔ ((8↑9) mod 9) = (8 mod 9)))
9		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 9 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 9 ∈ ℙ))
10	8, 9	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 9 → ((((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ)))
11	10	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 9 → (¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ)))
12	3, 11	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑝 = 9 → ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (9 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ))))
13		3z 12698	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
14	1	nnzi 12689	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
15		3re 12392	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
16		9re 12411	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
17		3lt9 12518	. . . . . 6 ⊢ 3 < 9
18	15, 16, 17	ltleii 11404	. . . . 5 ⊢ 3 ≤ 9
19		eluz2 12940	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 9))
20	13, 14, 18, 19	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘3)
21		8nn 12407	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ
22		8nn0 12598	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
23		0z 12673	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		1nn0 12591	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25		8exp8mod9 48756	. . . . . . . 8 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1
26		1re 11279	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		nnrp 13101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
28	1, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ+
29		0le1 11808	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
30		1lt9 12520	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 9
31		modid 14004	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
32	26, 28, 29, 30, 31	mp4an 706	. . . . . . . 8 ⊢ (1 mod 9) = 1
33	25, 32	eqtr4i 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
34		8p1e9 12461	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
35		8cn 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
36	35	addlidi 11469	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 8) = 8
37		9cn 12412	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℂ
38	37	mul02i 11470	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · 9) = 0
39	38	oveq1i 7418	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 · 9) + 8) = (0 + 8)
40	35	mullidi 11285	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 8) = 8
41	36, 39, 40	3eqtr4i 2793	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 9) + 8) = (1 · 8)
42	1, 21, 22, 23, 24, 22, 33, 34, 41	modxp1i 17209	. . . . . 6 ⊢ ((8↑9) mod 9) = (8 mod 9)
43		9nprm 17251	. . . . . 6 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
44	42, 43	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) ∧ ¬ 9 ∈ ℙ)
45		annim 409	. . . . 5 ⊢ ((((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) ∧ ¬ 9 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ))
46	44, 45	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ)
47	20, 46	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ))
48	2, 12, 47	ceqsexv2d 3499	. 2 ⊢ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
49		df-rex 3087	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
50	48, 49	mpbir 234	1 ⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℝcr 11170  0cc0 11171  1c1 11172   + caddc 11174   · cmul 11176   < clt 11314   ≤ cle 11315  ℕcn 12304  3c3 12367  8c8 12372  9c9 12373  ℤcz 12662  ℤ_≥cuz 12934  ℝ⁺crp 13089   mod cmo 13977  ↑cexp 14172  ℙcprime 16808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-rp 13090  df-fl 13900  df-mod 13978  df-seq 14113  df-exp 14173  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-dvds 16390  df-prm 16809

This theorem is used by:  nfermltlrev  48764