Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nfermltl8rev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfermltl8rev 43389
Description: Fermat's little theorem with base 8 reversed is not generally true: There is an integer 𝑝 (for example 9, see 9fppr8 43384) so that "𝑝 is prime" does not follow from 8↑𝑝≡8 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
nfermltl8rev 𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Proof of Theorem nfermltl8rev
StepHypRef Expression
1 9nn 11583 . . . 4 9 ∈ ℕ
21elexi 3456 . . 3 9 ∈ V
3 eleq1 2870 . . . 4 (𝑝 = 9 → (𝑝 ∈ (ℤ‘3) ↔ 9 ∈ (ℤ‘3)))
4 oveq2 7024 . . . . . . . 8 (𝑝 = 9 → (8↑𝑝) = (8↑9))
5 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝 = 9 → 𝑝 = 9)
64, 5oveq12d 7034 . . . . . . 7 (𝑝 = 9 → ((8↑𝑝) mod 𝑝) = ((8↑9) mod 9))
7 oveq2 7024 . . . . . . 7 (𝑝 = 9 → (8 mod 𝑝) = (8 mod 9))
86, 7eqeq12d 2810 . . . . . 6 (𝑝 = 9 → (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) ↔ ((8↑9) mod 9) = (8 mod 9)))
9 eleq1 2870 . . . . . 6 (𝑝 = 9 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 9 ∈ ℙ))
108, 9imbi12d 346 . . . . 5 (𝑝 = 9 → ((((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ)))
1110notbid 319 . . . 4 (𝑝 = 9 → (¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ)))
123, 11anbi12d 630 . . 3 (𝑝 = 9 → ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (9 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ))))
13 3z 11864 . . . . 5 3 ∈ ℤ
141nnzi 11855 . . . . 5 9 ∈ ℤ
15 3re 11565 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
16 9re 11584 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
17 3lt9 11689 . . . . . 6 3 < 9
1815, 16, 17ltleii 10610 . . . . 5 3 ≤ 9
19 eluz2 12099 . . . . 5 (9 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 9))
2013, 14, 18, 19mpbir3an 1334 . . . 4 9 ∈ (ℤ‘3)
21 8nn 11580 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ
22 8nn0 11768 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
23 0z 11840 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
24 1nn0 11761 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
25 8exp8mod9 43383 . . . . . . . 8 ((8↑8) mod 9) = 1
26 1re 10487 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
27 nnrp 12250 . . . . . . . . . 10 (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
281, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℝ+
29 0le1 11011 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
30 1lt9 11691 . . . . . . . . 9 1 < 9
31 modid 13114 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
3226, 28, 29, 30, 31mp4an 689 . . . . . . . 8 (1 mod 9) = 1
3325, 32eqtr4i 2822 . . . . . . 7 ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
34 8p1e9 11635 . . . . . . 7 (8 + 1) = 9
35 8cn 11582 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
3635addid2i 10675 . . . . . . . 8 (0 + 8) = 8
37 9cn 11585 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℂ
3837mul02i 10676 . . . . . . . . 9 (0 · 9) = 0
3938oveq1i 7026 . . . . . . . 8 ((0 · 9) + 8) = (0 + 8)
4035mulid2i 10492 . . . . . . . 8 (1 · 8) = 8
4136, 39, 403eqtr4i 2829 . . . . . . 7 ((0 · 9) + 8) = (1 · 8)
421, 21, 22, 23, 24, 22, 33, 34, 41modxp1i 16235 . . . . . 6 ((8↑9) mod 9) = (8 mod 9)
43 9nprm 16275 . . . . . 6 ¬ 9 ∈ ℙ
4442, 43pm3.2i 471 . . . . 5 (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) ∧ ¬ 9 ∈ ℙ)
45 annim 404 . . . . 5 ((((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) ∧ ¬ 9 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ))
4644, 45mpbi 231 . . . 4 ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ)
4720, 46pm3.2i 471 . . 3 (9 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ))
482, 12, 47ceqsexv2d 3485 . 2 𝑝(𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
49 df-rex 3111 . 2 (∃𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
5048, 49mpbir 232 1 𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wex 1761  wcel 2081  wrex 3106   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   < clt 10521  cle 10522  cn 11486  3c3 11541  8c8 11546  9c9 11547  cz 11829  cuz 12093  +crp 12239   mod cmo 13087  cexp 13279  cprime 15844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-prm 15845
This theorem is referenced by:  nfermltlrev  43391
  Copyright terms: Public domain W3C validator