Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nfermltl8rev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfermltl8rev 46020
Description: Fermat's little theorem with base 8 reversed is not generally true: There is an integer ๐‘ (for example 9, see 9fppr8 46015) so that "๐‘ is prime" does not follow from 8โ†‘๐‘โ‰ก8 (mod ๐‘). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
nfermltl8rev โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem nfermltl8rev
StepHypRef Expression
1 9nn 12256 . . . 4 9 โˆˆ โ„•
21elexi 3463 . . 3 9 โˆˆ V
3 eleq1 2822 . . . 4 (๐‘ = 9 โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” 9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)))
4 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘ = 9 โ†’ (8โ†‘๐‘) = (8โ†‘9))
5 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ = 9 โ†’ ๐‘ = 9)
64, 5oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐‘ = 9 โ†’ ((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = ((8โ†‘9) mod 9))
7 oveq2 7366 . . . . . . 7 (๐‘ = 9 โ†’ (8 mod ๐‘) = (8 mod 9))
86, 7eqeq12d 2749 . . . . . 6 (๐‘ = 9 โ†’ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†” ((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9)))
9 eleq1 2822 . . . . . 6 (๐‘ = 9 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†” 9 โˆˆ โ„™))
108, 9imbi12d 345 . . . . 5 (๐‘ = 9 โ†’ ((((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†” (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™)))
1110notbid 318 . . . 4 (๐‘ = 9 โ†’ (ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†” ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™)))
123, 11anbi12d 632 . . 3 (๐‘ = 9 โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)) โ†” (9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™))))
13 3z 12541 . . . . 5 3 โˆˆ โ„ค
141nnzi 12532 . . . . 5 9 โˆˆ โ„ค
15 3re 12238 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„
16 9re 12257 . . . . . 6 9 โˆˆ โ„
17 3lt9 12362 . . . . . 6 3 < 9
1815, 16, 17ltleii 11283 . . . . 5 3 โ‰ค 9
19 eluz2 12774 . . . . 5 (9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” (3 โˆˆ โ„ค โˆง 9 โˆˆ โ„ค โˆง 3 โ‰ค 9))
2013, 14, 18, 19mpbir3an 1342 . . . 4 9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)
21 8nn 12253 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„•
22 8nn0 12441 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„•0
23 0z 12515 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„ค
24 1nn0 12434 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
25 8exp8mod9 46014 . . . . . . . 8 ((8โ†‘8) mod 9) = 1
26 1re 11160 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
27 nnrp 12931 . . . . . . . . . 10 (9 โˆˆ โ„• โ†’ 9 โˆˆ โ„+)
281, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 9 โˆˆ โ„+
29 0le1 11683 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 1
30 1lt9 12364 . . . . . . . . 9 1 < 9
31 modid 13807 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 9 โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < 9)) โ†’ (1 mod 9) = 1)
3226, 28, 29, 30, 31mp4an 692 . . . . . . . 8 (1 mod 9) = 1
3325, 32eqtr4i 2764 . . . . . . 7 ((8โ†‘8) mod 9) = (1 mod 9)
34 8p1e9 12308 . . . . . . 7 (8 + 1) = 9
35 8cn 12255 . . . . . . . . 9 8 โˆˆ โ„‚
3635addid2i 11348 . . . . . . . 8 (0 + 8) = 8
37 9cn 12258 . . . . . . . . . 10 9 โˆˆ โ„‚
3837mul02i 11349 . . . . . . . . 9 (0 ยท 9) = 0
3938oveq1i 7368 . . . . . . . 8 ((0 ยท 9) + 8) = (0 + 8)
4035mulid2i 11165 . . . . . . . 8 (1 ยท 8) = 8
4136, 39, 403eqtr4i 2771 . . . . . . 7 ((0 ยท 9) + 8) = (1 ยท 8)
421, 21, 22, 23, 24, 22, 33, 34, 41modxp1i 16947 . . . . . 6 ((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9)
43 9nprm 16990 . . . . . 6 ยฌ 9 โˆˆ โ„™
4442, 43pm3.2i 472 . . . . 5 (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โˆง ยฌ 9 โˆˆ โ„™)
45 annim 405 . . . . 5 ((((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โˆง ยฌ 9 โˆˆ โ„™) โ†” ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™))
4644, 45mpbi 229 . . . 4 ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™)
4720, 46pm3.2i 472 . . 3 (9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™))
482, 12, 47ceqsexv2d 3496 . 2 โˆƒ๐‘(๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™))
49 df-rex 3071 . 2 (โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†” โˆƒ๐‘(๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)))
5048, 49mpbir 230 1 โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195  โ„•cn 12158  3c3 12214  8c8 12219  9c9 12220  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  โ„+crp 12920   mod cmo 13780  โ†‘cexp 13973  โ„™cprime 16552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-prm 16553
This theorem is referenced by:  nfermltlrev  46022
  Copyright terms: Public domain W3C validator