Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nfermltl8rev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfermltl8rev 47141
Description: Fermat's little theorem with base 8 reversed is not generally true: There is an integer ๐‘ (for example 9, see 9fppr8 47136) so that "๐‘ is prime" does not follow from 8โ†‘๐‘โ‰ก8 (mod ๐‘). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
nfermltl8rev โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem nfermltl8rev
StepHypRef Expression
1 9nn 12335 . . . 4 9 โˆˆ โ„•
21elexi 3484 . . 3 9 โˆˆ V
3 eleq1 2813 . . . 4 (๐‘ = 9 โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” 9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)))
4 oveq2 7421 . . . . . . . 8 (๐‘ = 9 โ†’ (8โ†‘๐‘) = (8โ†‘9))
5 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ = 9 โ†’ ๐‘ = 9)
64, 5oveq12d 7431 . . . . . . 7 (๐‘ = 9 โ†’ ((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = ((8โ†‘9) mod 9))
7 oveq2 7421 . . . . . . 7 (๐‘ = 9 โ†’ (8 mod ๐‘) = (8 mod 9))
86, 7eqeq12d 2741 . . . . . 6 (๐‘ = 9 โ†’ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†” ((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9)))
9 eleq1 2813 . . . . . 6 (๐‘ = 9 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†” 9 โˆˆ โ„™))
108, 9imbi12d 343 . . . . 5 (๐‘ = 9 โ†’ ((((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†” (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™)))
1110notbid 317 . . . 4 (๐‘ = 9 โ†’ (ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†” ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™)))
123, 11anbi12d 630 . . 3 (๐‘ = 9 โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)) โ†” (9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™))))
13 3z 12620 . . . . 5 3 โˆˆ โ„ค
141nnzi 12611 . . . . 5 9 โˆˆ โ„ค
15 3re 12317 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„
16 9re 12336 . . . . . 6 9 โˆˆ โ„
17 3lt9 12441 . . . . . 6 3 < 9
1815, 16, 17ltleii 11362 . . . . 5 3 โ‰ค 9
19 eluz2 12853 . . . . 5 (9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” (3 โˆˆ โ„ค โˆง 9 โˆˆ โ„ค โˆง 3 โ‰ค 9))
2013, 14, 18, 19mpbir3an 1338 . . . 4 9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)
21 8nn 12332 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„•
22 8nn0 12520 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„•0
23 0z 12594 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„ค
24 1nn0 12513 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
25 8exp8mod9 47135 . . . . . . . 8 ((8โ†‘8) mod 9) = 1
26 1re 11239 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
27 nnrp 13012 . . . . . . . . . 10 (9 โˆˆ โ„• โ†’ 9 โˆˆ โ„+)
281, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 9 โˆˆ โ„+
29 0le1 11762 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 1
30 1lt9 12443 . . . . . . . . 9 1 < 9
31 modid 13888 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 9 โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < 9)) โ†’ (1 mod 9) = 1)
3226, 28, 29, 30, 31mp4an 691 . . . . . . . 8 (1 mod 9) = 1
3325, 32eqtr4i 2756 . . . . . . 7 ((8โ†‘8) mod 9) = (1 mod 9)
34 8p1e9 12387 . . . . . . 7 (8 + 1) = 9
35 8cn 12334 . . . . . . . . 9 8 โˆˆ โ„‚
3635addlidi 11427 . . . . . . . 8 (0 + 8) = 8
37 9cn 12337 . . . . . . . . . 10 9 โˆˆ โ„‚
3837mul02i 11428 . . . . . . . . 9 (0 ยท 9) = 0
3938oveq1i 7423 . . . . . . . 8 ((0 ยท 9) + 8) = (0 + 8)
4035mullidi 11244 . . . . . . . 8 (1 ยท 8) = 8
4136, 39, 403eqtr4i 2763 . . . . . . 7 ((0 ยท 9) + 8) = (1 ยท 8)
421, 21, 22, 23, 24, 22, 33, 34, 41modxp1i 17033 . . . . . 6 ((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9)
43 9nprm 17076 . . . . . 6 ยฌ 9 โˆˆ โ„™
4442, 43pm3.2i 469 . . . . 5 (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โˆง ยฌ 9 โˆˆ โ„™)
45 annim 402 . . . . 5 ((((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โˆง ยฌ 9 โˆˆ โ„™) โ†” ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™))
4644, 45mpbi 229 . . . 4 ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™)
4720, 46pm3.2i 469 . . 3 (9 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘9) mod 9) = (8 mod 9) โ†’ 9 โˆˆ โ„™))
482, 12, 47ceqsexv2d 3519 . 2 โˆƒ๐‘(๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™))
49 df-rex 3061 . 2 (โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†” โˆƒ๐‘(๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)))
5048, 49mpbir 230 1 โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) ยฌ (((8โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (8 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060   class class class wbr 5144  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   < clt 11273   โ‰ค cle 11274  โ„•cn 12237  3c3 12293  8c8 12298  9c9 12299  โ„คcz 12583  โ„คโ‰ฅcuz 12847  โ„+crp 13001   mod cmo 13861  โ†‘cexp 14053  โ„™cprime 16636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-dvds 16226  df-prm 16637
This theorem is referenced by:  nfermltlrev  47143
  Copyright terms: Public domain W3C validator