Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nfermltl8rev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfermltl8rev 44275
 Description: Fermat's little theorem with base 8 reversed is not generally true: There is an integer 𝑝 (for example 9, see 9fppr8 44270) so that "𝑝 is prime" does not follow from 8↑𝑝≡8 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
nfermltl8rev 𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Proof of Theorem nfermltl8rev
StepHypRef Expression
1 9nn 11725 . . . 4 9 ∈ ℕ
21elexi 3460 . . 3 9 ∈ V
3 eleq1 2877 . . . 4 (𝑝 = 9 → (𝑝 ∈ (ℤ‘3) ↔ 9 ∈ (ℤ‘3)))
4 oveq2 7143 . . . . . . . 8 (𝑝 = 9 → (8↑𝑝) = (8↑9))
5 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝 = 9 → 𝑝 = 9)
64, 5oveq12d 7153 . . . . . . 7 (𝑝 = 9 → ((8↑𝑝) mod 𝑝) = ((8↑9) mod 9))
7 oveq2 7143 . . . . . . 7 (𝑝 = 9 → (8 mod 𝑝) = (8 mod 9))
86, 7eqeq12d 2814 . . . . . 6 (𝑝 = 9 → (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) ↔ ((8↑9) mod 9) = (8 mod 9)))
9 eleq1 2877 . . . . . 6 (𝑝 = 9 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 9 ∈ ℙ))
108, 9imbi12d 348 . . . . 5 (𝑝 = 9 → ((((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ)))
1110notbid 321 . . . 4 (𝑝 = 9 → (¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ)))
123, 11anbi12d 633 . . 3 (𝑝 = 9 → ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (9 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ))))
13 3z 12005 . . . . 5 3 ∈ ℤ
141nnzi 11996 . . . . 5 9 ∈ ℤ
15 3re 11707 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
16 9re 11726 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
17 3lt9 11831 . . . . . 6 3 < 9
1815, 16, 17ltleii 10754 . . . . 5 3 ≤ 9
19 eluz2 12239 . . . . 5 (9 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 9))
2013, 14, 18, 19mpbir3an 1338 . . . 4 9 ∈ (ℤ‘3)
21 8nn 11722 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ
22 8nn0 11910 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
23 0z 11982 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
24 1nn0 11903 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
25 8exp8mod9 44269 . . . . . . . 8 ((8↑8) mod 9) = 1
26 1re 10632 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
27 nnrp 12390 . . . . . . . . . 10 (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
281, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℝ+
29 0le1 11154 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
30 1lt9 11833 . . . . . . . . 9 1 < 9
31 modid 13261 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
3226, 28, 29, 30, 31mp4an 692 . . . . . . . 8 (1 mod 9) = 1
3325, 32eqtr4i 2824 . . . . . . 7 ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
34 8p1e9 11777 . . . . . . 7 (8 + 1) = 9
35 8cn 11724 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
3635addid2i 10819 . . . . . . . 8 (0 + 8) = 8
37 9cn 11727 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℂ
3837mul02i 10820 . . . . . . . . 9 (0 · 9) = 0
3938oveq1i 7145 . . . . . . . 8 ((0 · 9) + 8) = (0 + 8)
4035mulid2i 10637 . . . . . . . 8 (1 · 8) = 8
4136, 39, 403eqtr4i 2831 . . . . . . 7 ((0 · 9) + 8) = (1 · 8)
421, 21, 22, 23, 24, 22, 33, 34, 41modxp1i 16398 . . . . . 6 ((8↑9) mod 9) = (8 mod 9)
43 9nprm 16440 . . . . . 6 ¬ 9 ∈ ℙ
4442, 43pm3.2i 474 . . . . 5 (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) ∧ ¬ 9 ∈ ℙ)
45 annim 407 . . . . 5 ((((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) ∧ ¬ 9 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ))
4644, 45mpbi 233 . . . 4 ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ)
4720, 46pm3.2i 474 . . 3 (9 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((8↑9) mod 9) = (8 mod 9) → 9 ∈ ℙ))
482, 12, 47ceqsexv2d 3490 . 2 𝑝(𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
49 df-rex 3112 . 2 (∃𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
5048, 49mpbir 234 1 𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10527  0cc0 10528  1c1 10529   + caddc 10531   · cmul 10533   < clt 10666   ≤ cle 10667  ℕcn 11627  3c3 11683  8c8 11688  9c9 11689  ℤcz 11971  ℤ≥cuz 12233  ℝ+crp 12379   mod cmo 13234  ↑cexp 13427  ℙcprime 16007 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-rp 12380  df-fl 13159  df-mod 13235  df-seq 13367  df-exp 13428  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-prm 16008 This theorem is referenced by:  nfermltlrev  44277
 Copyright terms: Public domain W3C validator