Theorem pzriprnglem6 21423

Description: Lemma 6 for pzriprng 21434: 𝐽 has a ring unity. (Contributed by AV, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem6	⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋))

Proof of Theorem pzriprnglem6

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3	1, 2	pzriprnglem3 21420	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩)
4	1, 2	pzriprnglem5 21422	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
5		pzriprng.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
6		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7	5, 6	ressmulr 17211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐽))
8	7	eqcomd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → (.r‘𝐽) = (.r‘𝑅))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝑅)
10	9	oveqi 7359	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑎, 0⟩)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑎, 0⟩))
12		zringbas 21390	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
13		zringring 21386	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∈ Ring
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
15		1zzd 12503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
16		0z 12479	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
18		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℤ)
19		zringmulr 21394	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℤring)
20	19	oveqi 7359	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝑎) = (1(.r‘ℤring)𝑎)
21	15, 18	zmulcld 12583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1 · 𝑎) ∈ ℤ)
22	20, 21	eqeltrrid 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1(.r‘ℤring)𝑎) ∈ ℤ)
23	19	eqcomi 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
24	23	oveqi 7359	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = (0 · 0)
25		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
26	25, 25	zmulcld 12583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 · 0) ∈ ℤ)
27	16, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · 0) ∈ ℤ
28	24, 27	eqeltri 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ)
30		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
31	1, 12, 12, 14, 14, 15, 17, 18, 17, 22, 29, 30, 30, 6	xpsmul 17479	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨(1(.r‘ℤring)𝑎), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
32		zcn 12473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
33	32	mullidd 11130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1 · 𝑎) = 𝑎)
34	20, 33	eqtr3id 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1(.r‘ℤring)𝑎) = 𝑎)
35		0cn 11104	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
36	35	mul02i 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · 0) = 0
37	24, 36	eqtri 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = 0
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (0(.r‘ℤring)0) = 0)
39	34, 38	opeq12d 4830	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ⟨(1(.r‘ℤring)𝑎), (0(.r‘ℤring)0)⟩ = ⟨𝑎, 0⟩)
40	11, 31, 39	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩)
41	9	oveqi 7359	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨1, 0⟩)
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨1, 0⟩))
43	19	oveqi 7359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 · 1) = (𝑎(.r‘ℤring)1)
44	18, 15	zmulcld 12583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 · 1) ∈ ℤ)
45	43, 44	eqeltrrid 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ)
46	1, 12, 12, 14, 14, 18, 17, 15, 17, 45, 29, 30, 30, 6	xpsmul 17479	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨1, 0⟩) = ⟨(𝑎(.r‘ℤring)1), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
47	23	oveqi 7359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎(.r‘ℤring)1) = (𝑎 · 1)
48	32	mulridd 11129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 · 1) = 𝑎)
49	47, 48	eqtrid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎(.r‘ℤring)1) = 𝑎)
50	49, 38	opeq12d 4830	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ⟨(𝑎(.r‘ℤring)1), (0(.r‘ℤring)0)⟩ = ⟨𝑎, 0⟩)
51	42, 46, 50	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩)
52	40, 51	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩))
53		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩))
54		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → 𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩)
55	53, 54	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ↔ (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩))
56		oveq1 7353	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩))
57	56, 54	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋 ↔ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩))
58	55, 57	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → (((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋) ↔ ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩)))
59	52, 58	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋)))
60	59	rexlimiv 3126	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋))
61	3, 60	sylbi 217	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  {csn 4573  ⟨cop 4579   × cxp 5612  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011  ℤcz 12468   ↾_s cress 17141  ._rcmulr 17162   ×_s cxps 17410  Ringcrg 20151  SubRngcsubrng 20460  ℤ_ringczring 21383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-cnfld 21292  df-zring 21384

This theorem is referenced by:  pzriprnglem7  21424  pzriprnglem9  21426