Theorem pzriprnglem6 21406

Description: Lemma 6 for pzriprng 21417: 𝐽 has a ring unity. (Contributed by AV, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem6	⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋))

Proof of Theorem pzriprnglem6

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3	1, 2	pzriprnglem3 21403	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩)
4	1, 2	pzriprnglem5 21405	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
5		pzriprng.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
6		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7	5, 6	ressmulr 17282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐽))
8	7	eqcomd 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → (.r‘𝐽) = (.r‘𝑅))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝑅)
10	9	oveqi 7428	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑎, 0⟩)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑎, 0⟩))
12		zringbas 21373	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
13		zringring 21369	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∈ Ring
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
15		1zzd 12618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
16		0z 12594	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
18		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℤ)
19		zringmulr 21377	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℤring)
20	19	oveqi 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝑎) = (1(.r‘ℤring)𝑎)
21	15, 18	zmulcld 12697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1 · 𝑎) ∈ ℤ)
22	20, 21	eqeltrrid 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1(.r‘ℤring)𝑎) ∈ ℤ)
23	19	eqcomi 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
24	23	oveqi 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = (0 · 0)
25		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
26	25, 25	zmulcld 12697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 · 0) ∈ ℤ)
27	16, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · 0) ∈ ℤ
28	24, 27	eqeltri 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ)
30		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
31	1, 12, 12, 14, 14, 15, 17, 18, 17, 22, 29, 30, 30, 6	xpsmul 17551	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨(1(.r‘ℤring)𝑎), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
32		zcn 12588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
33	32	mullidd 11257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1 · 𝑎) = 𝑎)
34	20, 33	eqtr3id 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1(.r‘ℤring)𝑎) = 𝑎)
35		0cn 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
36	35	mul02i 11428	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · 0) = 0
37	24, 36	eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = 0
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (0(.r‘ℤring)0) = 0)
39	34, 38	opeq12d 4878	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ⟨(1(.r‘ℤring)𝑎), (0(.r‘ℤring)0)⟩ = ⟨𝑎, 0⟩)
40	11, 31, 39	3eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩)
41	9	oveqi 7428	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨1, 0⟩)
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨1, 0⟩))
43	19	oveqi 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 · 1) = (𝑎(.r‘ℤring)1)
44	18, 15	zmulcld 12697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 · 1) ∈ ℤ)
45	43, 44	eqeltrrid 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ)
46	1, 12, 12, 14, 14, 18, 17, 15, 17, 45, 29, 30, 30, 6	xpsmul 17551	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨1, 0⟩) = ⟨(𝑎(.r‘ℤring)1), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
47	23	oveqi 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎(.r‘ℤring)1) = (𝑎 · 1)
48	32	mulridd 11256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 · 1) = 𝑎)
49	47, 48	eqtrid 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎(.r‘ℤring)1) = 𝑎)
50	49, 38	opeq12d 4878	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ⟨(𝑎(.r‘ℤring)1), (0(.r‘ℤring)0)⟩ = ⟨𝑎, 0⟩)
51	42, 46, 50	3eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩)
52	40, 51	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩))
53		oveq2 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩))
54		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → 𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩)
55	53, 54	eqeq12d 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ↔ (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩))
56		oveq1 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩))
57	56, 54	eqeq12d 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋 ↔ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩))
58	55, 57	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → (((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋) ↔ ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩)))
59	52, 58	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋)))
60	59	rexlimiv 3144	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋))
61	3, 60	sylbi 216	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3066  {csn 4625  ⟨cop 4631   × cxp 5671  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  0cc0 11133  1c1 11134   · cmul 11138  ℤcz 12583   ↾_s cress 17203  ._rcmulr 17228   ×_s cxps 17482  Ringcrg 20167  SubRngcsubrng 20476  ℤ_ringczring 21366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-addf 11212  ax-mulf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8719  df-map 8841  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-prds 17423  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-subg 19072  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-cring 20170  df-subrng 20477  df-subrg 20502  df-cnfld 21274  df-zring 21367

This theorem is referenced by:  pzriprnglem7  21407  pzriprnglem9  21409