MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprnglem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprnglem6 21416
Description: Lemma 6 for pzriprng 21427: ๐ฝ has a ring unity. (Contributed by AV, 19-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pzriprng.r ๐‘… = (โ„คring ร—s โ„คring)
pzriprng.i ๐ผ = (โ„ค ร— {0})
pzriprng.j ๐ฝ = (๐‘… โ†พs ๐ผ)
Assertion
Ref Expression
pzriprnglem6 (๐‘‹ โˆˆ ๐ผ โ†’ ((โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)๐‘‹) = ๐‘‹ โˆง (๐‘‹(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ1, 0โŸฉ) = ๐‘‹))

Proof of Theorem pzriprnglem6
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pzriprng.r . . 3 ๐‘… = (โ„คring ร—s โ„คring)
2 pzriprng.i . . 3 ๐ผ = (โ„ค ร— {0})
31, 2pzriprnglem3 21413 . 2 (๐‘‹ โˆˆ ๐ผ โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ๐‘‹ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ)
41, 2pzriprnglem5 21415 . . . . . . . . 9 ๐ผ โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…)
5 pzriprng.j . . . . . . . . . . 11 ๐ฝ = (๐‘… โ†พs ๐ผ)
6 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
75, 6ressmulr 17287 . . . . . . . . . 10 (๐ผ โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†’ (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐ฝ))
87eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 (๐ผ โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†’ (.rโ€˜๐ฝ) = (.rโ€˜๐‘…))
94, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 (.rโ€˜๐ฝ) = (.rโ€˜๐‘…)
109oveqi 7429 . . . . . . 7 (โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ) = (โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐‘…)โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ)
1110a1i 11 . . . . . 6 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ) = (โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐‘…)โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ))
12 zringbas 21383 . . . . . . 7 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
13 zringring 21379 . . . . . . . 8 โ„คring โˆˆ Ring
1413a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ โ„คring โˆˆ Ring)
15 1zzd 12623 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
16 0z 12599 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„ค
1716a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
18 id 22 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
19 zringmulr 21387 . . . . . . . . 9 ยท = (.rโ€˜โ„คring)
2019oveqi 7429 . . . . . . . 8 (1 ยท ๐‘Ž) = (1(.rโ€˜โ„คring)๐‘Ž)
2115, 18zmulcld 12702 . . . . . . . 8 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (1 ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ค)
2220, 21eqeltrrid 2830 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (1(.rโ€˜โ„คring)๐‘Ž) โˆˆ โ„ค)
2319eqcomi 2734 . . . . . . . . . 10 (.rโ€˜โ„คring) = ยท
2423oveqi 7429 . . . . . . . . 9 (0(.rโ€˜โ„คring)0) = (0 ยท 0)
25 id 22 . . . . . . . . . . 11 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
2625, 25zmulcld 12702 . . . . . . . . . 10 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ (0 ยท 0) โˆˆ โ„ค)
2716, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 ยท 0) โˆˆ โ„ค
2824, 27eqeltri 2821 . . . . . . . 8 (0(.rโ€˜โ„คring)0) โˆˆ โ„ค
2928a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (0(.rโ€˜โ„คring)0) โˆˆ โ„ค)
30 eqid 2725 . . . . . . 7 (.rโ€˜โ„คring) = (.rโ€˜โ„คring)
311, 12, 12, 14, 14, 15, 17, 18, 17, 22, 29, 30, 30, 6xpsmul 17556 . . . . . 6 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐‘…)โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ) = โŸจ(1(.rโ€˜โ„คring)๐‘Ž), (0(.rโ€˜โ„คring)0)โŸฉ)
32 zcn 12593 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
3332mullidd 11262 . . . . . . . 8 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (1 ยท ๐‘Ž) = ๐‘Ž)
3420, 33eqtr3id 2779 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (1(.rโ€˜โ„คring)๐‘Ž) = ๐‘Ž)
35 0cn 11236 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„‚
3635mul02i 11433 . . . . . . . . 9 (0 ยท 0) = 0
3724, 36eqtri 2753 . . . . . . . 8 (0(.rโ€˜โ„คring)0) = 0
3837a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (0(.rโ€˜โ„คring)0) = 0)
3934, 38opeq12d 4877 . . . . . 6 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ โŸจ(1(.rโ€˜โ„คring)๐‘Ž), (0(.rโ€˜โ„คring)0)โŸฉ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ)
4011, 31, 393eqtrd 2769 . . . . 5 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ) = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ)
419oveqi 7429 . . . . . . 7 (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ1, 0โŸฉ) = (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐‘…)โŸจ1, 0โŸฉ)
4241a1i 11 . . . . . 6 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ1, 0โŸฉ) = (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐‘…)โŸจ1, 0โŸฉ))
4319oveqi 7429 . . . . . . . 8 (๐‘Ž ยท 1) = (๐‘Ž(.rโ€˜โ„คring)1)
4418, 15zmulcld 12702 . . . . . . . 8 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘Ž ยท 1) โˆˆ โ„ค)
4543, 44eqeltrrid 2830 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘Ž(.rโ€˜โ„คring)1) โˆˆ โ„ค)
461, 12, 12, 14, 14, 18, 17, 15, 17, 45, 29, 30, 30, 6xpsmul 17556 . . . . . 6 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐‘…)โŸจ1, 0โŸฉ) = โŸจ(๐‘Ž(.rโ€˜โ„คring)1), (0(.rโ€˜โ„คring)0)โŸฉ)
4723oveqi 7429 . . . . . . . 8 (๐‘Ž(.rโ€˜โ„คring)1) = (๐‘Ž ยท 1)
4832mulridd 11261 . . . . . . . 8 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘Ž ยท 1) = ๐‘Ž)
4947, 48eqtrid 2777 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘Ž(.rโ€˜โ„คring)1) = ๐‘Ž)
5049, 38opeq12d 4877 . . . . . 6 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ โŸจ(๐‘Ž(.rโ€˜โ„คring)1), (0(.rโ€˜โ„คring)0)โŸฉ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ)
5142, 46, 503eqtrd 2769 . . . . 5 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ1, 0โŸฉ) = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ)
5240, 51jca 510 . . . 4 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ((โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ) = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โˆง (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ1, 0โŸฉ) = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ))
53 oveq2 7424 . . . . . 6 (๐‘‹ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โ†’ (โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)๐‘‹) = (โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ))
54 id 22 . . . . . 6 (๐‘‹ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โ†’ ๐‘‹ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ)
5553, 54eqeq12d 2741 . . . . 5 (๐‘‹ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โ†’ ((โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)๐‘‹) = ๐‘‹ โ†” (โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ) = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ))
56 oveq1 7423 . . . . . 6 (๐‘‹ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ1, 0โŸฉ) = (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ1, 0โŸฉ))
5756, 54eqeq12d 2741 . . . . 5 (๐‘‹ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โ†’ ((๐‘‹(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ1, 0โŸฉ) = ๐‘‹ โ†” (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ1, 0โŸฉ) = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ))
5855, 57anbi12d 630 . . . 4 (๐‘‹ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โ†’ (((โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)๐‘‹) = ๐‘‹ โˆง (๐‘‹(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ1, 0โŸฉ) = ๐‘‹) โ†” ((โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ) = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โˆง (โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ1, 0โŸฉ) = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ)))
5952, 58syl5ibrcom 246 . . 3 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘‹ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โ†’ ((โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)๐‘‹) = ๐‘‹ โˆง (๐‘‹(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ1, 0โŸฉ) = ๐‘‹)))
6059rexlimiv 3138 . 2 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ๐‘‹ = โŸจ๐‘Ž, 0โŸฉ โ†’ ((โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)๐‘‹) = ๐‘‹ โˆง (๐‘‹(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ1, 0โŸฉ) = ๐‘‹))
613, 60sylbi 216 1 (๐‘‹ โˆˆ ๐ผ โ†’ ((โŸจ1, 0โŸฉ(.rโ€˜๐ฝ)๐‘‹) = ๐‘‹ โˆง (๐‘‹(.rโ€˜๐ฝ)โŸจ1, 0โŸฉ) = ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060  {csn 4624  โŸจcop 4630   ร— cxp 5670  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   ยท cmul 11143  โ„คcz 12588   โ†พs cress 17208  .rcmulr 17233   ร—s cxps 17487  Ringcrg 20177  SubRngcsubrng 20486  โ„คringczring 21376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-cnfld 21284  df-zring 21377
This theorem is referenced by:  pzriprnglem7  21417  pzriprnglem9  21419
  Copyright terms: Public domain W3C validator