Theorem pzriprnglem6 21416

Description: Lemma 6 for pzriprng 21427: 𝐽 has a ring unity. (Contributed by AV, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem6	⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋))

Proof of Theorem pzriprnglem6

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3	1, 2	pzriprnglem3 21413	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩)
4	1, 2	pzriprnglem5 21415	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
5		pzriprng.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
6		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7	5, 6	ressmulr 17287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐽))
8	7	eqcomd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → (.r‘𝐽) = (.r‘𝑅))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝑅)
10	9	oveqi 7429	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑎, 0⟩)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑎, 0⟩))
12		zringbas 21383	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
13		zringring 21379	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∈ Ring
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
15		1zzd 12623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
16		0z 12599	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
18		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℤ)
19		zringmulr 21387	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℤring)
20	19	oveqi 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝑎) = (1(.r‘ℤring)𝑎)
21	15, 18	zmulcld 12702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1 · 𝑎) ∈ ℤ)
22	20, 21	eqeltrrid 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1(.r‘ℤring)𝑎) ∈ ℤ)
23	19	eqcomi 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
24	23	oveqi 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = (0 · 0)
25		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
26	25, 25	zmulcld 12702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 · 0) ∈ ℤ)
27	16, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · 0) ∈ ℤ
28	24, 27	eqeltri 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ)
30		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
31	1, 12, 12, 14, 14, 15, 17, 18, 17, 22, 29, 30, 30, 6	xpsmul 17556	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨(1(.r‘ℤring)𝑎), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
32		zcn 12593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
33	32	mullidd 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1 · 𝑎) = 𝑎)
34	20, 33	eqtr3id 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1(.r‘ℤring)𝑎) = 𝑎)
35		0cn 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
36	35	mul02i 11433	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · 0) = 0
37	24, 36	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = 0
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (0(.r‘ℤring)0) = 0)
39	34, 38	opeq12d 4877	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ⟨(1(.r‘ℤring)𝑎), (0(.r‘ℤring)0)⟩ = ⟨𝑎, 0⟩)
40	11, 31, 39	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩)
41	9	oveqi 7429	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨1, 0⟩)
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨1, 0⟩))
43	19	oveqi 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 · 1) = (𝑎(.r‘ℤring)1)
44	18, 15	zmulcld 12702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 · 1) ∈ ℤ)
45	43, 44	eqeltrrid 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ)
46	1, 12, 12, 14, 14, 18, 17, 15, 17, 45, 29, 30, 30, 6	xpsmul 17556	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨1, 0⟩) = ⟨(𝑎(.r‘ℤring)1), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
47	23	oveqi 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎(.r‘ℤring)1) = (𝑎 · 1)
48	32	mulridd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 · 1) = 𝑎)
49	47, 48	eqtrid 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎(.r‘ℤring)1) = 𝑎)
50	49, 38	opeq12d 4877	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ⟨(𝑎(.r‘ℤring)1), (0(.r‘ℤring)0)⟩ = ⟨𝑎, 0⟩)
51	42, 46, 50	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩)
52	40, 51	jca 510	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩))
53		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩))
54		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → 𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩)
55	53, 54	eqeq12d 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ↔ (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩))
56		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩))
57	56, 54	eqeq12d 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋 ↔ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩))
58	55, 57	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → (((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋) ↔ ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩)))
59	52, 58	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋)))
60	59	rexlimiv 3138	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋))
61	3, 60	sylbi 216	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060  {csn 4624  ⟨cop 4630   × cxp 5670  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   · cmul 11143  ℤcz 12588   ↾_s cress 17208  ._rcmulr 17233   ×_s cxps 17487  Ringcrg 20177  SubRngcsubrng 20486  ℤ_ringczring 21376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-cnfld 21284  df-zring 21377

This theorem is referenced by:  pzriprnglem7  21417  pzriprnglem9  21419