Theorem pzriprnglem6 21479

Description: Lemma 6 for pzriprng 21490: 𝐽 has a ring unity. (Contributed by AV, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem6	⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋))

Proof of Theorem pzriprnglem6

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3	1, 2	pzriprnglem3 21476	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩)
4	1, 2	pzriprnglem5 21478	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
5		pzriprng.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
6		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7	5, 6	ressmulr 17264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐽))
8	7	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → (.r‘𝐽) = (.r‘𝑅))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝑅)
10	9	oveqi 7374	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑎, 0⟩)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑎, 0⟩))
12		zringbas 21446	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
13		zringring 21442	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∈ Ring
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
15		1zzd 12552	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
16		0z 12529	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
18		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℤ)
19		zringmulr 21450	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℤring)
20	19	oveqi 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝑎) = (1(.r‘ℤring)𝑎)
21	15, 18	zmulcld 12633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1 · 𝑎) ∈ ℤ)
22	20, 21	eqeltrrid 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1(.r‘ℤring)𝑎) ∈ ℤ)
23	19	eqcomi 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
24	23	oveqi 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = (0 · 0)
25		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
26	25, 25	zmulcld 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 · 0) ∈ ℤ)
27	16, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · 0) ∈ ℤ
28	24, 27	eqeltri 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ)
30		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
31	1, 12, 12, 14, 14, 15, 17, 18, 17, 22, 29, 30, 30, 6	xpsmul 17533	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨(1(.r‘ℤring)𝑎), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
32		zcn 12523	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
33	32	mullidd 11157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1 · 𝑎) = 𝑎)
34	20, 33	eqtr3id 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1(.r‘ℤring)𝑎) = 𝑎)
35		0cn 11130	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
36	35	mul02i 11329	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · 0) = 0
37	24, 36	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = 0
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (0(.r‘ℤring)0) = 0)
39	34, 38	opeq12d 4825	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ⟨(1(.r‘ℤring)𝑎), (0(.r‘ℤring)0)⟩ = ⟨𝑎, 0⟩)
40	11, 31, 39	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩)
41	9	oveqi 7374	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨1, 0⟩)
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨1, 0⟩))
43	19	oveqi 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 · 1) = (𝑎(.r‘ℤring)1)
44	18, 15	zmulcld 12633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 · 1) ∈ ℤ)
45	43, 44	eqeltrrid 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ)
46	1, 12, 12, 14, 14, 18, 17, 15, 17, 45, 29, 30, 30, 6	xpsmul 17533	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨1, 0⟩) = ⟨(𝑎(.r‘ℤring)1), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
47	23	oveqi 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎(.r‘ℤring)1) = (𝑎 · 1)
48	32	mulridd 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 · 1) = 𝑎)
49	47, 48	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎(.r‘ℤring)1) = 𝑎)
50	49, 38	opeq12d 4825	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ⟨(𝑎(.r‘ℤring)1), (0(.r‘ℤring)0)⟩ = ⟨𝑎, 0⟩)
51	42, 46, 50	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩)
52	40, 51	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩))
53		oveq2 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩))
54		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → 𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩)
55	53, 54	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ↔ (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩))
56		oveq1 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩))
57	56, 54	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋 ↔ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩))
58	55, 57	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → (((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋) ↔ ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩)))
59	52, 58	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋)))
60	59	rexlimiv 3132	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋))
61	3, 60	sylbi 217	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {csn 4568  ⟨cop 4574   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032  1c1 11033   · cmul 11037  ℤcz 12518   ↾_s cress 17194  ._rcmulr 17215   ×_s cxps 17464  Ringcrg 20208  SubRngcsubrng 20516  ℤ_ringczring 21439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-prds 17404  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-subg 19093  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-cnfld 21348  df-zring 21440

This theorem is referenced by:  pzriprnglem7  21480  pzriprnglem9  21482