Theorem pzriprnglem6 21497

Description: Lemma 6 for pzriprng 21508: 𝐽 has a ring unity. (Contributed by AV, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem6	⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋))

Proof of Theorem pzriprnglem6

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3	1, 2	pzriprnglem3 21494	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩)
4	1, 2	pzriprnglem5 21496	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
5		pzriprng.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
6		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7	5, 6	ressmulr 17351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐽))
8	7	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → (.r‘𝐽) = (.r‘𝑅))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝑅)
10	9	oveqi 7444	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑎, 0⟩)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑎, 0⟩))
12		zringbas 21464	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
13		zringring 21460	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∈ Ring
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
15		1zzd 12648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
16		0z 12624	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
18		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℤ)
19		zringmulr 21468	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℤring)
20	19	oveqi 7444	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝑎) = (1(.r‘ℤring)𝑎)
21	15, 18	zmulcld 12728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1 · 𝑎) ∈ ℤ)
22	20, 21	eqeltrrid 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1(.r‘ℤring)𝑎) ∈ ℤ)
23	19	eqcomi 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
24	23	oveqi 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = (0 · 0)
25		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
26	25, 25	zmulcld 12728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 · 0) ∈ ℤ)
27	16, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · 0) ∈ ℤ
28	24, 27	eqeltri 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (0(.r‘ℤring)0) ∈ ℤ)
30		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
31	1, 12, 12, 14, 14, 15, 17, 18, 17, 22, 29, 30, 30, 6	xpsmul 17620	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝑅)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨(1(.r‘ℤring)𝑎), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
32		zcn 12618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
33	32	mullidd 11279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1 · 𝑎) = 𝑎)
34	20, 33	eqtr3id 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (1(.r‘ℤring)𝑎) = 𝑎)
35		0cn 11253	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
36	35	mul02i 11450	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · 0) = 0
37	24, 36	eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (0(.r‘ℤring)0) = 0
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (0(.r‘ℤring)0) = 0)
39	34, 38	opeq12d 4881	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ⟨(1(.r‘ℤring)𝑎), (0(.r‘ℤring)0)⟩ = ⟨𝑎, 0⟩)
40	11, 31, 39	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩)
41	9	oveqi 7444	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨1, 0⟩)
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨1, 0⟩))
43	19	oveqi 7444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 · 1) = (𝑎(.r‘ℤring)1)
44	18, 15	zmulcld 12728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 · 1) ∈ ℤ)
45	43, 44	eqeltrrid 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎(.r‘ℤring)1) ∈ ℤ)
46	1, 12, 12, 14, 14, 18, 17, 15, 17, 45, 29, 30, 30, 6	xpsmul 17620	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝑅)⟨1, 0⟩) = ⟨(𝑎(.r‘ℤring)1), (0(.r‘ℤring)0)⟩)
47	23	oveqi 7444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎(.r‘ℤring)1) = (𝑎 · 1)
48	32	mulridd 11278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 · 1) = 𝑎)
49	47, 48	eqtrid 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎(.r‘ℤring)1) = 𝑎)
50	49, 38	opeq12d 4881	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ⟨(𝑎(.r‘ℤring)1), (0(.r‘ℤring)0)⟩ = ⟨𝑎, 0⟩)
51	42, 46, 50	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩)
52	40, 51	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩))
53		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩))
54		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → 𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩)
55	53, 54	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ↔ (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩))
56		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩))
57	56, 54	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋 ↔ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩))
58	55, 57	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → (((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋) ↔ ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩ ∧ (⟨𝑎, 0⟩(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = ⟨𝑎, 0⟩)))
59	52, 58	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋)))
60	59	rexlimiv 3148	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑋 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋))
61	3, 60	sylbi 217	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  {csn 4626  ⟨cop 4632   × cxp 5683  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  ℤcz 12613   ↾_s cress 17274  ._rcmulr 17298   ×_s cxps 17551  Ringcrg 20230  SubRngcsubrng 20545  ℤ_ringczring 21457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-cnfld 21365  df-zring 21458

This theorem is referenced by:  pzriprnglem7  21498  pzriprnglem9  21500