Theorem fmtno5faclem2 44920

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 44922. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12184	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12185	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12381	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12178	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12381	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12381	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12182	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12179	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12381	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2738	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 12180	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12381	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12381	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12381	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12381	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 12048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12479	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12431	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 11994	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 11094	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12430	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12430	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 11978	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addid2i 11093	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12426	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 11988	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12472	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 10915	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12431	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mulid2i 10911	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12430	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 12049	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12426	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12428	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12431	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  7c7 11963  ;cdc 12366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-dec 12367

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  44922