Theorem fmtno5faclem2 48214

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 48216. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12521	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12522	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12722	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12515	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12722	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12722	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12519	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12722	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12516	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12722	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2769	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 12517	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12722	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12722	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12722	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12722	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12722	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 12518	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12825	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12777	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 12328	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 11395	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12776	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12776	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 12312	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addlidi 11394	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12772	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 12322	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12818	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 11214	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12777	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mullidi 11210	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12776	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 12382	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12772	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12774	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12777	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1567  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   · cmul 11101  2c2 12291  3c3 12292  4c4 12293  5c5 12294  6c6 12295  7c7 12296  ;cdc 12707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-sub 11439  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-dec 12708

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  48216