Theorem fmtno5faclem2 47561

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 47563. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12527	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12528	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12728	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12521	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12728	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12728	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12525	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12728	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12522	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12728	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2736	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 12523	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12728	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12728	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12728	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12728	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12728	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 12524	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 12390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12826	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12778	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 11429	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12777	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12777	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 12320	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addlidi 11428	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12773	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 12330	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12819	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 11249	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12778	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mullidi 11245	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12777	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 12391	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12773	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12775	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12778	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  6c6 12304  7c7 12305  ;cdc 12713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-dec 12714

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  47563