Theorem fmtno5faclem2 47505

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 47507. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12545	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12546	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12746	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12539	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12746	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12543	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12540	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12746	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2735	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 12541	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12746	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12746	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12746	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 12542	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 12409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12844	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12796	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 11448	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12795	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12795	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 12339	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addlidi 11447	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12791	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 12349	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12837	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 11268	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12796	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mullidi 11264	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12795	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 12410	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12791	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12793	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12796	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  ;cdc 12731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-dec 12732

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  47507