Theorem fmtno5faclem2 48043

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 48045. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12458	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12459	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12659	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12452	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12659	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12659	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12456	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12659	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12453	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12659	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2736	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 12454	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12659	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12659	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12659	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12659	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12659	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 12455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 12321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12757	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12709	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 12272	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 11335	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12708	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12708	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 12256	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addlidi 11334	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12704	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 12266	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12750	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 11154	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12709	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mullidi 11150	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12708	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 12322	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12704	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12706	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12709	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  7c7 12241  ;cdc 12644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-dec 12645

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  48045