Theorem fmtno5faclem2 44097

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 44099. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 11906	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 11907	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12101	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 11900	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12101	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12101	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 11904	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12101	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 11901	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12101	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2798	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 11902	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12101	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12101	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12101	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12101	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12101	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 11903	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 11770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12199	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12151	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 11716	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 10818	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12150	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12150	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 11700	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addid2i 10817	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12146	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 11710	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12192	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 10639	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12151	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mulid2i 10635	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12150	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 11771	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12146	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12148	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12151	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1538  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  ;cdc 12086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-dec 12087

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  44099