Theorem fmtno5faclem2 47581

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 47583. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12463	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12464	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12664	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12457	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12664	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12461	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12458	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12664	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2729	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 12459	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12664	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12664	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12664	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 12460	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 12326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12762	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12714	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 12277	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 11363	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12713	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12713	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 12261	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addlidi 11362	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12709	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 12271	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12755	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 11183	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12714	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mullidi 11179	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12713	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 12327	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12709	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12711	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12714	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  7c7 12246  ;cdc 12649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-dec 12650

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  47583