Theorem fmtno5faclem2 48150

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 48152. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12496	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12497	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12697	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12490	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12697	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12697	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12494	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12697	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12491	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12697	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2761	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 12492	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12697	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12697	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12697	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12697	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12697	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 12493	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12800	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12752	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 12303	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 11366	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12751	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12751	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 12287	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addlidi 11365	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12747	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 12297	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12793	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 11185	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12752	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mullidi 11181	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12751	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 12357	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12747	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12749	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12752	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1559  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068   · cmul 11072  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  7c7 12271  ;cdc 12682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-sub 11410  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-dec 12683

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  48152