Theorem fmtno5faclem2 48072

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 48074. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12453	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12454	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12654	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12447	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12654	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12654	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12451	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12654	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12448	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12654	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2741	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 12449	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12654	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12654	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12654	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12654	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12654	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2741	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 12450	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 12316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12752	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12704	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12703	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12703	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 12251	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addlidi 11329	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12699	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 12261	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12745	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 11149	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12704	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mullidi 11145	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12703	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2741	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 12317	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12699	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12701	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12704	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1548  (class class class)co 7360  0cc0 11033  1c1 11034   · cmul 11038  2c2 12231  3c3 12232  4c4 12233  5c5 12234  6c6 12235  7c7 12236  ;cdc 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-sub 11374  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-dec 12640

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  48074