Theorem fmtno5faclem2 42517

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 42519. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 11665	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 11666	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11860	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 11659	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 11860	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 11860	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 11663	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 11860	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 11660	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 11860	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2778	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 11661	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 11860	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 11860	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 11860	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 11860	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 11860	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2778	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 11662	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 11955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 11527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 11919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 11908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 11960	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 11912	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 11469	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 10565	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 11910	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 11910	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 11450	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addid2i 10564	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 11906	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 11461	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 11953	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 10386	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 11912	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mulid2i 10382	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 11910	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2778	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 11528	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 11906	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 11908	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 11912	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1601  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277  2c2 11430  3c3 11431  4c4 11432  5c5 11433  6c6 11434  7c7 11435  ;cdc 11845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-dec 11846

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  42519