Theorem fmtno5faclem2 48365

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 48367. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12536	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12537	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12737	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12530	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12737	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12737	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12534	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12737	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12531	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12737	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2765	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 12532	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12737	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12737	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12737	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12737	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12737	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 12533	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 12396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12840	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12792	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 11410	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12791	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12791	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 12327	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addlidi 11409	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12787	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 12337	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12833	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 11229	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12792	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mullidi 11225	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12791	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 12397	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12787	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12789	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12792	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   · cmul 11116  2c2 12306  3c3 12307  4c4 12308  5c5 12309  6c6 12310  7c7 12311  ;cdc 12722

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11454  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-dec 12723

This theorem is used by:  fmtno5fac  48367