Theorem fmtno5faclem2 47826

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 47828. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12422	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12423	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12622	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12416	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12622	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12622	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12420	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12622	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12417	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12622	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2736	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 12418	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12622	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12622	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12622	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12622	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12622	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 12419	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 12285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12720	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12672	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 12236	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 11322	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12671	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12671	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 12220	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addlidi 11321	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12667	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 12230	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12713	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 11141	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12672	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mullidi 11137	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12671	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 12286	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12667	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12669	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12672	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  5c5 12203  6c6 12204  7c7 12205  ;cdc 12607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-dec 12608

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  47828