Theorem fmtno5faclem2 48315

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 48317. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12526	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12527	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12727	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12727	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12727	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12524	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12727	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12521	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12727	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2763	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 12522	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12727	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12727	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12727	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12727	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12727	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 12523	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 12386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12830	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12782	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 12333	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 11400	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12781	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12781	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 12317	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addlidi 11399	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12777	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 12327	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12823	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 11219	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12782	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mullidi 11215	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12781	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 12387	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12777	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12779	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12782	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1570  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  5c5 12299  6c6 12300  7c7 12301  ;cdc 12712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-dec 12713

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  48317