Theorem fmtno5faclem2 45032

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 45034. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12254	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12255	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12452	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12248	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12452	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12252	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12249	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12452	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2738	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 12250	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12452	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12452	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12452	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 12251	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 12118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12550	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12502	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 12064	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12501	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12501	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 12048	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addid2i 11163	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12497	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 12058	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12543	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 10984	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12502	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mulid2i 10980	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12501	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 12119	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12497	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12499	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12502	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  ;cdc 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-dec 12438

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  45034