Theorem fmtno5faclem2 43749

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 43751. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 11921	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 11922	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12116	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 11915	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12116	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12116	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 11919	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12116	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 11916	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12116	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2824	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 11917	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12116	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12116	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12116	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12116	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12116	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2824	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 11918	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 11785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12214	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12166	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 11731	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 10832	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12165	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12165	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 11715	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addid2i 10831	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12161	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 11725	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12207	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 10653	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12166	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mulid2i 10649	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12165	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2824	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 11786	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12161	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12163	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12166	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1536  (class class class)co 7159  0cc0 10540  1c1 10541   · cmul 10545  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  5c5 11698  6c6 11699  7c7 11700  ;cdc 12101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683  df-sub 10875  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-dec 12102

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  43751