Theorem fmtno5faclem2 47567

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 47569. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12547	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12548	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12748	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12748	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12748	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12545	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12748	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12542	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12748	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2737	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 12543	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12748	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12748	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12748	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12748	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12748	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 12544	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 12411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12846	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12798	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 12357	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 11450	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12797	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12797	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 12341	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addlidi 11449	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12793	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 12351	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12839	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 11270	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12798	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mullidi 11266	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12797	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 12412	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12793	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12795	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12798	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  ;cdc 12733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-dec 12734

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  47569