Theorem fmtno5faclem2 45448

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 45450. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12360	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12361	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12558	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12354	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12558	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12558	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12358	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12558	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12355	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12558	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2737	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 12356	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12558	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12558	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12558	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12558	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12558	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 12357	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 12224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12656	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12608	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 12170	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12607	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12607	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 12154	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addid2i 11269	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12603	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 12164	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12649	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 11090	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12608	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mulid2i 11086	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12607	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 12225	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12603	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12605	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12608	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7342  0cc0 10977  1c1 10978   · cmul 10982  2c2 12134  3c3 12135  4c4 12136  5c5 12137  6c6 12138  7c7 12139  ;cdc 12543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-ltxr 11120  df-sub 11313  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-dec 12544

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  45450