Theorem fmtno5faclem2 47454

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 47456. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12574	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12575	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12773	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12568	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12773	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12773	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12572	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12569	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12773	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2740	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 12570	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 12773	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 12773	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 12773	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 12773	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 12571	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 12866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 12438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 12830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 12820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 12871	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 12823	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 12384	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 11479	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 29, 31	decmul1 12822	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 32, 31	decmul1 12822	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 12368	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addlidi 11478	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 12818	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 12378	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 12864	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 11299	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 12823	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mullidi 11295	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 40, 41	decmul1 12822	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 12439	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 12818	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 12820	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 12823	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  7c7 12353  ;cdc 12758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-dec 12759

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  47456