Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnofac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnofac1 47495
Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result), see ProofWiki "Divisor of Fermat Number/Euler's Result", 24-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Divisor_of_Fermat_Number/Euler's_Result): "Let Fn be a Fermat number. Let m be divisor of Fn. Then m is in the form: k*2^(n+1)+1 where k is a positive integer." Here, however, k must be a nonnegative integer, because k must be 0 to represent 1 (which is a divisor of Fn ).

Historical Note: In 1747, Leonhard Paul Euler proved that a divisor of a Fermat number Fn is always in the form kx2^(n+1)+1. This was later refined to k*2^(n+2)+1 by François Édouard Anatole Lucas, see fmtnofac2 47494. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion
Ref Expression
fmtnofac1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 12965 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 5prm 17143 . . . . . . 7 5 ∈ ℙ
3 dvdsprime 16721 . . . . . . 7 ((5 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
42, 3mpan 690 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
5 1nn0 12540 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 5 → 1 ∈ ℕ0)
7 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → 𝑀 = 5)
8 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 4) = (1 · 4))
98oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
109adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
117, 10eqeq12d 2751 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 5 = ((1 · 4) + 1)))
12 df-5 12330 . . . . . . . . . 10 5 = (4 + 1)
13 4cn 12349 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
1413mullidi 11264 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
1514eqcomi 2744 . . . . . . . . . . 11 4 = (1 · 4)
1615oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = ((1 · 4) + 1)
1712, 16eqtri 2763 . . . . . . . . 9 5 = ((1 · 4) + 1)
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 5 → 5 = ((1 · 4) + 1))
196, 11, 18rspcedvd 3624 . . . . . . 7 (𝑀 = 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
20 0nn0 12539 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 1 → 0 ∈ ℕ0)
22 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑀 = 1)
23 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝑘 · 4) = (0 · 4))
2423oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
2524adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
2622, 25eqeq12d 2751 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 1 = ((0 · 4) + 1)))
2713mul02i 11448 . . . . . . . . . . . 12 (0 · 4) = 0
2827oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((0 · 4) + 1) = (0 + 1)
29 0p1e1 12386 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
3028, 29eqtri 2763 . . . . . . . . . 10 ((0 · 4) + 1) = 1
3130eqcomi 2744 . . . . . . . . 9 1 = ((0 · 4) + 1)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 1 → 1 = ((0 · 4) + 1))
3321, 26, 32rspcedvd 3624 . . . . . . 7 (𝑀 = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
3419, 33jaoi 857 . . . . . 6 ((𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
354, 34biimtrdi 253 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
36 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
37 fmtno1 47466 . . . . . . . 8 (FermatNo‘1) = 5
3836, 37eqtrdi 2791 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = 5)
3938breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 5))
40 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = (1 + 1))
41 1p1e2 12389 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
4240, 41eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = 2)
4342oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = (2↑2))
44 sq2 14233 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = 4
4543, 44eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = 4)
4645oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑘 · 4))
4746oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((𝑘 · 4) + 1))
4847eqeq2d 2746 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
4948rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
5039, 49imbi12d 344 . . . . 5 (𝑁 = 1 → ((𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) ↔ (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))))
5135, 50imbitrrid 246 . . . 4 (𝑁 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
52 fmtnofac2 47494 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
53 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
54 2nn0 12541 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
5554a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
5653, 55nn0mulcld 12590 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
5756adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
5857adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
59 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
60 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 · 2) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
6160oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 · 2) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
6259, 61eqeqan12d 2749 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ 𝑘 = (𝑛 · 2)) → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
63 eluzge2nn0 12927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6463nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
65 add1p1 12515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
6766eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
6867oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2↑((𝑁 + 1) + 1)))
69 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
70 peano2nn0 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7163, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7269, 71expp1d 14184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 2))
7354a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
7473, 71nn0expcld 14282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
7574nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
7675, 69mulcomd 11280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
7768, 72, 763eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
7978oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
80 nn0cn 12534 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
82 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8375adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
8481, 82, 83mulassd 11282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
8579, 84eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
86853ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
8786adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
8887oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
8958, 62, 88rspcedvd 3624 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
9089rexlimdva2 3155 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
9152, 90mpd 15 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
92913exp 1118 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
9351, 92jaoi 857 . . 3 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
941, 93sylbi 217 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
95943imp 1110 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cn 12264  2c2 12319  4c4 12321  5c5 12322  0cn0 12524  cuz 12876  cexp 14099  cdvds 16287  cprime 16705  FermatNocfmtno 47452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-odz 16799  df-phi 16800  df-pc 16871  df-lgs 27354  df-fmtno 47453
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator