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Theorem fmtnofac1 45836
Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result), see ProofWiki "Divisor of Fermat Number/Euler's Result", 24-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Divisor_of_Fermat_Number/Euler's_Result): "Let Fn be a Fermat number. Let m be divisor of Fn. Then m is in the form: k*2^(n+1)+1 where k is a positive integer." Here, however, k must be a nonnegative integer, because k must be 0 to represent 1 (which is a divisor of Fn ).

Historical Note: In 1747, Leonhard Paul Euler proved that a divisor of a Fermat number Fn is always in the form kx2^(n+1)+1. This was later refined to k*2^(n+2)+1 by FranΓ§ois Γ‰douard Anatole Lucas, see fmtnofac2 45835. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion
Ref Expression
fmtnofac1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 12857 . . 3 (𝑁 ∈ β„• ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
2 5prm 16988 . . . . . . 7 5 ∈ β„™
3 dvdsprime 16570 . . . . . . 7 ((5 ∈ β„™ ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑀 βˆ₯ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
42, 3mpan 689 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ₯ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
5 1nn0 12436 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•0
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 5 β†’ 1 ∈ β„•0)
7 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 5 ∧ π‘˜ = 1) β†’ 𝑀 = 5)
8 oveq1 7369 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘˜ Β· 4) = (1 Β· 4))
98oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 1 β†’ ((π‘˜ Β· 4) + 1) = ((1 Β· 4) + 1))
109adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 5 ∧ π‘˜ = 1) β†’ ((π‘˜ Β· 4) + 1) = ((1 Β· 4) + 1))
117, 10eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 5 ∧ π‘˜ = 1) β†’ (𝑀 = ((π‘˜ Β· 4) + 1) ↔ 5 = ((1 Β· 4) + 1)))
12 df-5 12226 . . . . . . . . . 10 5 = (4 + 1)
13 4cn 12245 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ β„‚
1413mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . 12 (1 Β· 4) = 4
1514eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 4 = (1 Β· 4)
1615oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = ((1 Β· 4) + 1)
1712, 16eqtri 2765 . . . . . . . . 9 5 = ((1 Β· 4) + 1)
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 5 β†’ 5 = ((1 Β· 4) + 1))
196, 11, 18rspcedvd 3586 . . . . . . 7 (𝑀 = 5 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· 4) + 1))
20 0nn0 12435 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„•0
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 1 β†’ 0 ∈ β„•0)
22 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 1 ∧ π‘˜ = 0) β†’ 𝑀 = 1)
23 oveq1 7369 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜ Β· 4) = (0 Β· 4))
2423oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘˜ Β· 4) + 1) = ((0 Β· 4) + 1))
2524adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 1 ∧ π‘˜ = 0) β†’ ((π‘˜ Β· 4) + 1) = ((0 Β· 4) + 1))
2622, 25eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 1 ∧ π‘˜ = 0) β†’ (𝑀 = ((π‘˜ Β· 4) + 1) ↔ 1 = ((0 Β· 4) + 1)))
2713mul02i 11351 . . . . . . . . . . . 12 (0 Β· 4) = 0
2827oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 ((0 Β· 4) + 1) = (0 + 1)
29 0p1e1 12282 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
3028, 29eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((0 Β· 4) + 1) = 1
3130eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 1 = ((0 Β· 4) + 1)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 1 β†’ 1 = ((0 Β· 4) + 1))
3321, 26, 32rspcedvd 3586 . . . . . . 7 (𝑀 = 1 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· 4) + 1))
3419, 33jaoi 856 . . . . . 6 ((𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· 4) + 1))
354, 34syl6bi 253 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ₯ 5 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· 4) + 1)))
36 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = (FermatNoβ€˜1))
37 fmtno1 45807 . . . . . . . 8 (FermatNoβ€˜1) = 5
3836, 37eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = 5)
3938breq2d 5122 . . . . . 6 (𝑁 = 1 β†’ (𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 𝑀 βˆ₯ 5))
40 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 β†’ (𝑁 + 1) = (1 + 1))
41 1p1e2 12285 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
4240, 41eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 β†’ (𝑁 + 1) = 2)
4342oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = (2↑2))
44 sq2 14108 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = 4
4543, 44eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = 4)
4645oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 β†’ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = (π‘˜ Β· 4))
4746oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((π‘˜ Β· 4) + 1))
4847eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 β†’ (𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑀 = ((π‘˜ Β· 4) + 1)))
4948rexbidv 3176 . . . . . 6 (𝑁 = 1 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· 4) + 1)))
5039, 49imbi12d 345 . . . . 5 (𝑁 = 1 β†’ ((𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) ↔ (𝑀 βˆ₯ 5 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· 4) + 1))))
5135, 50syl5ibr 246 . . . 4 (𝑁 = 1 β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
52 fmtnofac2 45835 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑀 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
53 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
54 2nn0 12437 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
5554a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•0)
5653, 55nn0mulcld 12485 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 Β· 2) ∈ β„•0)
5756adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 Β· 2) ∈ β„•0)
5857adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ (𝑛 Β· 2) ∈ β„•0)
59 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ 𝑀 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
60 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑛 Β· 2) β†’ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑛 Β· 2) Β· (2↑(𝑁 + 1))))
6160oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑛 Β· 2) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((𝑛 Β· 2) Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
6259, 61eqeqan12d 2751 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ π‘˜ = (𝑛 Β· 2)) β†’ (𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 Β· 2) Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
63 eluzge2nn0 12819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6463nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
65 add1p1 12411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
6766eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
6867oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) = (2↑((𝑁 + 1) + 1)))
69 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„‚)
70 peano2nn0 12460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
7163, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
7269, 71expp1d 14059 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 2))
7354a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•0)
7473, 71nn0expcld 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•0)
7574nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
7675, 69mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 2) = (2 Β· (2↑(𝑁 + 1))))
7768, 72, 763eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) = (2 Β· (2↑(𝑁 + 1))))
7877adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) = (2 Β· (2↑(𝑁 + 1))))
7978oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 Β· (2 Β· (2↑(𝑁 + 1)))))
80 nn0cn 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
8180adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
82 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„‚)
8375adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
8481, 82, 83mulassd 11185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 Β· 2) Β· (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑛 Β· (2 Β· (2↑(𝑁 + 1)))))
8579, 84eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 Β· 2) Β· (2↑(𝑁 + 1))))
86853ad2antl1 1186 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 Β· 2) Β· (2↑(𝑁 + 1))))
8786adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 Β· 2) Β· (2↑(𝑁 + 1))))
8887oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 Β· 2) Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
8958, 62, 88rspcedvd 3586 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
9089rexlimdva2 3155 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑀 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
9152, 90mpd 15 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
92913exp 1120 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
9351, 92jaoi 856 . . 3 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
941, 93sylbi 216 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
95943imp 1112 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„•cn 12160  2c2 12215  4c4 12217  5c5 12218  β„•0cn0 12420  β„€β‰₯cuz 12770  β†‘cexp 13974   βˆ₯ cdvds 16143  β„™cprime 16554  FermatNocfmtno 45793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-prod 15796  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-odz 16644  df-phi 16645  df-pc 16716  df-lgs 26659  df-fmtno 45794
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