Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnofac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnofac1 45752
Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result), see ProofWiki "Divisor of Fermat Number/Euler's Result", 24-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Divisor_of_Fermat_Number/Euler's_Result): "Let Fn be a Fermat number. Let m be divisor of Fn. Then m is in the form: k*2^(n+1)+1 where k is a positive integer." Here, however, k must be a nonnegative integer, because k must be 0 to represent 1 (which is a divisor of Fn ).

Historical Note: In 1747, Leonhard Paul Euler proved that a divisor of a Fermat number Fn is always in the form kx2^(n+1)+1. This was later refined to k*2^(n+2)+1 by François Édouard Anatole Lucas, see fmtnofac2 45751. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion
Ref Expression
fmtnofac1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 12850 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 5prm 16981 . . . . . . 7 5 ∈ ℙ
3 dvdsprime 16563 . . . . . . 7 ((5 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
42, 3mpan 688 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
5 1nn0 12429 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 5 → 1 ∈ ℕ0)
7 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → 𝑀 = 5)
8 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 4) = (1 · 4))
98oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
109adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
117, 10eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 5 = ((1 · 4) + 1)))
12 df-5 12219 . . . . . . . . . 10 5 = (4 + 1)
13 4cn 12238 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
1413mulid2i 11160 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
1514eqcomi 2745 . . . . . . . . . . 11 4 = (1 · 4)
1615oveq1i 7367 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = ((1 · 4) + 1)
1712, 16eqtri 2764 . . . . . . . . 9 5 = ((1 · 4) + 1)
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 5 → 5 = ((1 · 4) + 1))
196, 11, 18rspcedvd 3583 . . . . . . 7 (𝑀 = 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
20 0nn0 12428 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 1 → 0 ∈ ℕ0)
22 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑀 = 1)
23 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝑘 · 4) = (0 · 4))
2423oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
2524adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
2622, 25eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 1 = ((0 · 4) + 1)))
2713mul02i 11344 . . . . . . . . . . . 12 (0 · 4) = 0
2827oveq1i 7367 . . . . . . . . . . 11 ((0 · 4) + 1) = (0 + 1)
29 0p1e1 12275 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
3028, 29eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 ((0 · 4) + 1) = 1
3130eqcomi 2745 . . . . . . . . 9 1 = ((0 · 4) + 1)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 1 → 1 = ((0 · 4) + 1))
3321, 26, 32rspcedvd 3583 . . . . . . 7 (𝑀 = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
3419, 33jaoi 855 . . . . . 6 ((𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
354, 34syl6bi 252 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
36 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
37 fmtno1 45723 . . . . . . . 8 (FermatNo‘1) = 5
3836, 37eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = 5)
3938breq2d 5117 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 5))
40 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = (1 + 1))
41 1p1e2 12278 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
4240, 41eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = 2)
4342oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = (2↑2))
44 sq2 14101 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = 4
4543, 44eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = 4)
4645oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑘 · 4))
4746oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((𝑘 · 4) + 1))
4847eqeq2d 2747 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
4948rexbidv 3175 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
5039, 49imbi12d 344 . . . . 5 (𝑁 = 1 → ((𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) ↔ (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))))
5135, 50syl5ibr 245 . . . 4 (𝑁 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
52 fmtnofac2 45751 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
53 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
54 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
5554a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
5653, 55nn0mulcld 12478 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
5756adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
5857adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
59 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
60 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 · 2) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
6160oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 · 2) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
6259, 61eqeqan12d 2750 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ 𝑘 = (𝑛 · 2)) → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
63 eluzge2nn0 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6463nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
65 add1p1 12404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
6766eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
6867oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2↑((𝑁 + 1) + 1)))
69 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
70 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7163, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7269, 71expp1d 14052 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 2))
7354a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
7473, 71nn0expcld 14149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
7574nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
7675, 69mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
7768, 72, 763eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
7877adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
7978oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
80 nn0cn 12423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
8180adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
82 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8375adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
8481, 82, 83mulassd 11178 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
8579, 84eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
86853ad2antl1 1185 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
8786adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
8887oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
8958, 62, 88rspcedvd 3583 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
9089rexlimdva2 3154 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
9152, 90mpd 15 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
92913exp 1119 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
9351, 92jaoi 855 . . 3 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
941, 93sylbi 216 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
95943imp 1111 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cn 12153  2c2 12208  4c4 12210  5c5 12211  0cn0 12413  cuz 12763  cexp 13967  cdvds 16136  cprime 16547  FermatNocfmtno 45709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-prod 15789  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-odz 16637  df-phi 16638  df-pc 16709  df-lgs 26643  df-fmtno 45710
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator