Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnofac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnofac1 43880
Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result), see ProofWiki "Divisor of Fermat Number/Euler's Result", 24-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Divisor_of_Fermat_Number/Euler's_Result): "Let Fn be a Fermat number. Let m be divisor of Fn. Then m is in the form: k*2^(n+1)+1 where k is a positive integer." Here, however, k must be a nonnegative integer, because k must be 0 to represent 1 (which is a divisor of Fn ).

Historical Note: In 1747, Leonhard Paul Euler proved that a divisor of a Fermat number Fn is always in the form kx2^(n+1)+1. This was later refined to k*2^(n+2)+1 by François Édouard Anatole Lucas, see fmtnofac2 43879. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion
Ref Expression
fmtnofac1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 12303 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 5prm 16420 . . . . . . 7 5 ∈ ℙ
3 dvdsprime 16008 . . . . . . 7 ((5 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
42, 3mpan 689 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
5 1nn0 11891 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 5 → 1 ∈ ℕ0)
7 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → 𝑀 = 5)
8 oveq1 7137 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 4) = (1 · 4))
98oveq1d 7145 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
109adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
117, 10eqeq12d 2837 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 5 = ((1 · 4) + 1)))
12 df-5 11681 . . . . . . . . . 10 5 = (4 + 1)
13 4cn 11700 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
1413mulid2i 10623 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
1514eqcomi 2830 . . . . . . . . . . 11 4 = (1 · 4)
1615oveq1i 7140 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = ((1 · 4) + 1)
1712, 16eqtri 2844 . . . . . . . . 9 5 = ((1 · 4) + 1)
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 5 → 5 = ((1 · 4) + 1))
196, 11, 18rspcedvd 3603 . . . . . . 7 (𝑀 = 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
20 0nn0 11890 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 1 → 0 ∈ ℕ0)
22 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑀 = 1)
23 oveq1 7137 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝑘 · 4) = (0 · 4))
2423oveq1d 7145 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
2524adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
2622, 25eqeq12d 2837 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 1 = ((0 · 4) + 1)))
2713mul02i 10806 . . . . . . . . . . . 12 (0 · 4) = 0
2827oveq1i 7140 . . . . . . . . . . 11 ((0 · 4) + 1) = (0 + 1)
29 0p1e1 11737 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
3028, 29eqtri 2844 . . . . . . . . . 10 ((0 · 4) + 1) = 1
3130eqcomi 2830 . . . . . . . . 9 1 = ((0 · 4) + 1)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 1 → 1 = ((0 · 4) + 1))
3321, 26, 32rspcedvd 3603 . . . . . . 7 (𝑀 = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
3419, 33jaoi 854 . . . . . 6 ((𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
354, 34syl6bi 256 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
36 fveq2 6643 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
37 fmtno1 43851 . . . . . . . 8 (FermatNo‘1) = 5
3836, 37syl6eq 2872 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = 5)
3938breq2d 5051 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 5))
40 oveq1 7137 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = (1 + 1))
41 1p1e2 11740 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
4240, 41syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = 2)
4342oveq2d 7146 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = (2↑2))
44 sq2 13544 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = 4
4543, 44syl6eq 2872 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = 4)
4645oveq2d 7146 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑘 · 4))
4746oveq1d 7145 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((𝑘 · 4) + 1))
4847eqeq2d 2832 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
4948rexbidv 3283 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
5039, 49imbi12d 348 . . . . 5 (𝑁 = 1 → ((𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) ↔ (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))))
5135, 50syl5ibr 249 . . . 4 (𝑁 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
52 fmtnofac2 43879 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
53 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
54 2nn0 11892 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
5554a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
5653, 55nn0mulcld 11938 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
5756adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
5857adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
59 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
60 oveq1 7137 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 · 2) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
6160oveq1d 7145 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 · 2) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
6259, 61eqeqan12d 2838 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ 𝑘 = (𝑛 · 2)) → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
63 eluzge2nn0 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6463nn0cnd 11935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
65 add1p1 11866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
6766eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
6867oveq2d 7146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2↑((𝑁 + 1) + 1)))
69 2cnd 11693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
70 peano2nn0 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7163, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7269, 71expp1d 13495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 2))
7354a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
7473, 71nn0expcld 13591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
7574nn0cnd 11935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
7675, 69mulcomd 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
7768, 72, 763eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
7877adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
7978oveq2d 7146 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
80 nn0cn 11885 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
8180adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
82 2cnd 11693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8375adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
8481, 82, 83mulassd 10641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
8579, 84eqtr4d 2859 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
86853ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
8786adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
8887oveq1d 7145 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
8958, 62, 88rspcedvd 3603 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
9089rexlimdva2 3273 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
9152, 90mpd 15 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
92913exp 1116 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
9351, 92jaoi 854 . . 3 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
941, 93sylbi 220 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
95943imp 1108 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3127   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519  cn 11615  2c2 11670  4c4 11672  5c5 11673  0cn0 11875  cuz 12221  cexp 13413  cdvds 15586  cprime 15992  FermatNocfmtno 43837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-xnn0 11946  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-mod 13221  df-seq 13353  df-exp 13414  df-fac 13618  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-prod 15239  df-dvds 15587  df-gcd 15821  df-prm 15993  df-odz 16079  df-phi 16080  df-pc 16151  df-lgs 25857  df-fmtno 43838
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator