Theorem fmtnofac1 48363

Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result), see ProofWiki "Divisor of Fermat Number/Euler's Result", 24-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Divisor_of_Fermat_Number/Euler's_Result): "Let F_n be a Fermat number. Let m be divisor of F_n. Then m is in the form: k*2^(n+1)+1 where k is a positive integer." Here, however, k must be a nonnegative integer, because k must be 0 to represent 1 (which is a divisor of F_n ).

Historical Note: In 1747, Leonhard Paul Euler proved that a divisor of a Fermat number F_n is always in the form kx2^(n+1)+1. This was later refined to k*2^(n+2)+1 by François Édouard Anatole Lucas, see fmtnofac2 48362. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnofac1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12967	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		5prm 17193	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℙ
3		dvdsprime 16770	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
4	2, 3	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
5		1nn0 12538	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 5 → 1 ∈ ℕ0)
7		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → 𝑀 = 5)
8		oveq1 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · 4) = (1 · 4))
9	8	oveq1d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
10	9	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
11	7, 10	eqeq12d 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 5 = ((1 · 4) + 1)))
12		df-5 12324	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 = (4 + 1)
13		4cn 12344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
14	13	mullidi 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 4) = 4
15	14	eqcomi 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (1 · 4)
16	15	oveq1i 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = ((1 · 4) + 1)
17	12, 16	eqtri 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 = ((1 · 4) + 1)
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 5 → 5 = ((1 · 4) + 1))
19	6, 11, 18	rspcedvd 3586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
20		0nn0 12537	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 1 → 0 ∈ ℕ0)
22		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑀 = 1)
23		oveq1 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · 4) = (0 · 4))
24	23	oveq1d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
25	24	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
26	22, 25	eqeq12d 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 1 = ((0 · 4) + 1)))
27	13	mul02i 11417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 · 4) = 0
28	27	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 · 4) + 1) = (0 + 1)
29		0p1e1 12379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
30	28, 29	eqtri 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 · 4) + 1) = 1
31	30	eqcomi 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = ((0 · 4) + 1)
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 1 → 1 = ((0 · 4) + 1))
33	21, 26, 32	rspcedvd 3586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
34	19, 33	jaoi 871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
35	4, 34	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
36		fveq2 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
37		fmtno1 48334	. . . . . . . 8 ⊢ (FermatNo‘1) = 5
38	36, 37	eqtrdi 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = 5)
39	38	breq2d 5126	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 5))
40		oveq1 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = (1 + 1))
41		1p1e2 12382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
42	40, 41	eqtrdi 2817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = 2)
43	42	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = (2↑2))
44		sq2 14253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = 4
45	43, 44	eqtrdi 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = 4)
46	45	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑘 · 4))
47	46	oveq1d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((𝑘 · 4) + 1))
48	47	eqeq2d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
49	48	rexbidv 3192	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
50	39, 49	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) ↔ (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))))
51	35, 50	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
52		fmtnofac2 48362	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
53		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
54		2nn0 12539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
56	53, 55	nn0mulcld 12588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
57	56	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
58	57	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
59		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
60		oveq1 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 · 2) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
61	60	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 · 2) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
62	59, 61	eqeqan12d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ 𝑘 = (𝑛 · 2)) → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
63		eluzge2nn0 12934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
64	63	nn0cnd 12585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
65		add1p1 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
66	64, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
67	66	eqcomd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
68	67	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2↑((𝑁 + 1) + 1)))
69		2cnd 12337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
70		peano2nn0 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
71	63, 70	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
72	69, 71	expp1d 14203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 2))
73	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
74	73, 71	nn0expcld 14302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
75	74	nn0cnd 12585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
76	75, 69	mulcomd 11248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
77	68, 72, 76	3eqtrd 2805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
78	77	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
79	78	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
80		nn0cn 12532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
81	80	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
82		2cnd 12337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
83	75	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
84	81, 82, 83	mulassd 11250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
85	79, 84	eqtr4d 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
86	85	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
87	86	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
88	87	oveq1d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
89	58, 62, 88	rspcedvd 3586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
90	89	rexlimdva2 3171	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
91	52, 90	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
92	91	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
93	51, 92	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
94	1, 93	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
95	94	3imp 1128	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  ℕcn 12251  2c2 12313  4c4 12315  5c5 12316  ℕ₀cn0 12522  ℤ_≥cuz 12880  ↑cexp 14117   ∥ cdvds 16335  ℙcprime 16754  FermatNocfmtno 48320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-prod 15984  df-dvds 16336  df-gcd 16578  df-prm 16755  df-odz 16849  df-phi 16850  df-pc 16922  df-lgs 27496  df-fmtno 48321

This theorem is used by: (None)