Theorem fmtnofac1 47575

Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result), see ProofWiki "Divisor of Fermat Number/Euler's Result", 24-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Divisor_of_Fermat_Number/Euler's_Result): "Let F_n be a Fermat number. Let m be divisor of F_n. Then m is in the form: k*2^(n+1)+1 where k is a positive integer." Here, however, k must be a nonnegative integer, because k must be 0 to represent 1 (which is a divisor of F_n ).

Historical Note: In 1747, Leonhard Paul Euler proved that a divisor of a Fermat number F_n is always in the form kx2^(n+1)+1. This was later refined to k*2^(n+2)+1 by François Édouard Anatole Lucas, see fmtnofac2 47574. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnofac1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12891	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		5prm 17086	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℙ
3		dvdsprime 16664	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
4	2, 3	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
5		1nn0 12465	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 5 → 1 ∈ ℕ0)
7		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → 𝑀 = 5)
8		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · 4) = (1 · 4))
9	8	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
10	9	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
11	7, 10	eqeq12d 2746	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 5 = ((1 · 4) + 1)))
12		df-5 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 = (4 + 1)
13		4cn 12278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
14	13	mullidi 11186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 4) = 4
15	14	eqcomi 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (1 · 4)
16	15	oveq1i 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = ((1 · 4) + 1)
17	12, 16	eqtri 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 = ((1 · 4) + 1)
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 5 → 5 = ((1 · 4) + 1))
19	6, 11, 18	rspcedvd 3593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
20		0nn0 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 1 → 0 ∈ ℕ0)
22		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑀 = 1)
23		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · 4) = (0 · 4))
24	23	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
26	22, 25	eqeq12d 2746	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 1 = ((0 · 4) + 1)))
27	13	mul02i 11370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 · 4) = 0
28	27	oveq1i 7400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 · 4) + 1) = (0 + 1)
29		0p1e1 12310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
30	28, 29	eqtri 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 · 4) + 1) = 1
31	30	eqcomi 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = ((0 · 4) + 1)
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 1 → 1 = ((0 · 4) + 1))
33	21, 26, 32	rspcedvd 3593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
34	19, 33	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
35	4, 34	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
36		fveq2 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
37		fmtno1 47546	. . . . . . . 8 ⊢ (FermatNo‘1) = 5
38	36, 37	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = 5)
39	38	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 5))
40		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = (1 + 1))
41		1p1e2 12313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
42	40, 41	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = 2)
43	42	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = (2↑2))
44		sq2 14169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = 4
45	43, 44	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = 4)
46	45	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑘 · 4))
47	46	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((𝑘 · 4) + 1))
48	47	eqeq2d 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
49	48	rexbidv 3158	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
50	39, 49	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) ↔ (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))))
51	35, 50	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
52		fmtnofac2 47574	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
53		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
54		2nn0 12466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
56	53, 55	nn0mulcld 12515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
58	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
59		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
60		oveq1 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 · 2) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
61	60	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 · 2) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
62	59, 61	eqeqan12d 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ 𝑘 = (𝑛 · 2)) → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
63		eluzge2nn0 12858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
64	63	nn0cnd 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
65		add1p1 12440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
67	66	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
68	67	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2↑((𝑁 + 1) + 1)))
69		2cnd 12271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
70		peano2nn0 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
71	63, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
72	69, 71	expp1d 14119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 2))
73	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
74	73, 71	nn0expcld 14218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
75	74	nn0cnd 12512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
76	75, 69	mulcomd 11202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
77	68, 72, 76	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
79	78	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
80		nn0cn 12459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
81	80	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
82		2cnd 12271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
83	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
84	81, 82, 83	mulassd 11204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
85	79, 84	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
86	85	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
87	86	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
88	87	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
89	58, 62, 88	rspcedvd 3593	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
90	89	rexlimdva2 3137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
91	52, 90	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
92	91	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
93	51, 92	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
94	1, 93	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
95	94	3imp 1110	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  ℕcn 12193  2c2 12248  4c4 12250  5c5 12251  ℕ₀cn0 12449  ℤ_≥cuz 12800  ↑cexp 14033   ∥ cdvds 16229  ℙcprime 16648  FermatNocfmtno 47532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-prod 15877  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649  df-odz 16742  df-phi 16743  df-pc 16815  df-lgs 27213  df-fmtno 47533

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