Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnofac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnofac1 42305
 Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result), see ProofWiki "Divisor of Fermat Number/Euler's Result", 24-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Divisor_of_Fermat_Number/Euler's_Result): "Let Fn be a Fermat number. Let m be divisor of Fn. Then m is in the form: k*2^(n+1)+1 where k is a positive integer." Here, however, k must be a nonnegative integer, because k must be 0 to represent 1 (which is a divisor of Fn ). Historical Note: In 1747, Leonhard Paul Euler proved that a divisor of a Fermat number Fn is always in the form kx2^(n+1)+1. This was later refined to k*2^(n+2)+1 by François Édouard Anatole Lucas, see fmtnofac2 42304. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnofac1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 12048 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 5prm 16181 . . . . . . 7 5 ∈ ℙ
3 dvdsprime 15772 . . . . . . 7 ((5 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
42, 3mpan 681 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
5 1nn0 11636 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 5 → 1 ∈ ℕ0)
7 simpl 476 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → 𝑀 = 5)
8 oveq1 6912 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 4) = (1 · 4))
98oveq1d 6920 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
109adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
117, 10eqeq12d 2840 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 5 = ((1 · 4) + 1)))
12 df-5 11417 . . . . . . . . . 10 5 = (4 + 1)
13 4cn 11437 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
1413mulid2i 10362 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
1514eqcomi 2834 . . . . . . . . . . 11 4 = (1 · 4)
1615oveq1i 6915 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = ((1 · 4) + 1)
1712, 16eqtri 2849 . . . . . . . . 9 5 = ((1 · 4) + 1)
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 5 → 5 = ((1 · 4) + 1))
196, 11, 18rspcedvd 3533 . . . . . . 7 (𝑀 = 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
20 0nn0 11635 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 1 → 0 ∈ ℕ0)
22 simpl 476 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑀 = 1)
23 oveq1 6912 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝑘 · 4) = (0 · 4))
2423oveq1d 6920 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
2524adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
2622, 25eqeq12d 2840 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 1 = ((0 · 4) + 1)))
2713mul02i 10544 . . . . . . . . . . . 12 (0 · 4) = 0
2827oveq1i 6915 . . . . . . . . . . 11 ((0 · 4) + 1) = (0 + 1)
29 0p1e1 11480 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
3028, 29eqtri 2849 . . . . . . . . . 10 ((0 · 4) + 1) = 1
3130eqcomi 2834 . . . . . . . . 9 1 = ((0 · 4) + 1)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 1 → 1 = ((0 · 4) + 1))
3321, 26, 32rspcedvd 3533 . . . . . . 7 (𝑀 = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
3419, 33jaoi 888 . . . . . 6 ((𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
354, 34syl6bi 245 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
36 fveq2 6433 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
37 fmtno1 42276 . . . . . . . 8 (FermatNo‘1) = 5
3836, 37syl6eq 2877 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = 5)
3938breq2d 4885 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 5))
40 oveq1 6912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = (1 + 1))
41 1p1e2 11483 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
4240, 41syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = 2)
4342oveq2d 6921 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = (2↑2))
44 sq2 13254 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = 4
4543, 44syl6eq 2877 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = 4)
4645oveq2d 6921 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑘 · 4))
4746oveq1d 6920 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((𝑘 · 4) + 1))
4847eqeq2d 2835 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
4948rexbidv 3262 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
5039, 49imbi12d 336 . . . . 5 (𝑁 = 1 → ((𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) ↔ (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))))
5135, 50syl5ibr 238 . . . 4 (𝑁 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
52 fmtnofac2 42304 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
53 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
54 2nn0 11637 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
5554a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
5653, 55nn0mulcld 11683 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
5756adantl 475 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
5857adantr 474 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
59 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
60 oveq1 6912 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 · 2) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
6160oveq1d 6920 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 · 2) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
6259, 61eqeqan12d 2841 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ 𝑘 = (𝑛 · 2)) → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
63 eluzge2nn0 12009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6463nn0cnd 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
65 add1p1 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
6766eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
6867oveq2d 6921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2↑((𝑁 + 1) + 1)))
69 2cnd 11429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
70 peano2nn0 11660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7163, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7269, 71expp1d 13303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 2))
7354a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
7473, 71nn0expcld 13327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
7574nn0cnd 11680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
7675, 69mulcomd 10378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
7768, 72, 763eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
7877adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
7978oveq2d 6921 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
80 nn0cn 11629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
8180adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
82 2cnd 11429 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8375adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
8481, 82, 83mulassd 10380 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
8579, 84eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
86853ad2antl1 1240 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
8786adantr 474 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
8887oveq1d 6920 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
8958, 62, 88rspcedvd 3533 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
9089rexlimdva2 3243 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
9152, 90mpd 15 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
92913exp 1152 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
9351, 92jaoi 888 . . 3 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
941, 93sylbi 209 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
95943imp 1141 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 878   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∃wrex 3118   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257  ℕcn 11350  2c2 11406  4c4 11408  5c5 11409  ℕ0cn0 11618  ℤ≥cuz 11968  ↑cexp 13154   ∥ cdvds 15357  ℙcprime 15757  FermatNocfmtno 42262 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-ioo 12467  df-ico 12469  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-prod 15009  df-dvds 15358  df-gcd 15590  df-prm 15758  df-odz 15841  df-phi 15842  df-pc 15913  df-lgs 25433  df-fmtno 42263 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator