MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3d1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3d1 26754
Description: Lemma 4 for 2lgslem3 26755. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n ๐‘ = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3d1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ mod 8) = 7) โ†’ (๐‘ mod 2) = 0)

Proof of Theorem 2lgslem3d1
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12421 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
2 8nn 12249 . . . . 5 8 โˆˆ โ„•
3 nnrp 12927 . . . . 5 (8 โˆˆ โ„• โ†’ 8 โˆˆ โ„+)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 8 โˆˆ โ„+
5 modmuladdnn0 13821 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง 8 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ƒ mod 8) = 7 โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 7)))
61, 4, 5sylancl 587 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ mod 8) = 7 โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 7)))
7 simpr 486 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
8 nn0cn 12424 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
9 8cn 12251 . . . . . . . . . . . 12 8 โˆˆ โ„‚
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โˆˆ โ„‚)
118, 10mulcomd 11177 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ ยท 8) = (8 ยท ๐‘˜))
1211adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ ยท 8) = (8 ยท ๐‘˜))
1312oveq1d 7373 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ ยท 8) + 7) = ((8 ยท ๐‘˜) + 7))
1413eqeq2d 2748 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 7) โ†” ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐‘˜) + 7)))
1514biimpa 478 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 7)) โ†’ ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐‘˜) + 7))
16 2lgslem2.n . . . . . . 7 ๐‘ = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
17162lgslem3d 26750 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐‘˜) + 7)) โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ๐‘˜) + 2))
187, 15, 17syl2an2r 684 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 7)) โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ๐‘˜) + 2))
19 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘˜) + 2) โ†’ (๐‘ mod 2) = (((2 ยท ๐‘˜) + 2) mod 2))
20 2t1e2 12317 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท 1) = 2
2120eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 2 = (2 ยท 1)
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 = (2 ยท 1))
2322oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 2) = ((2 ยท ๐‘˜) + (2 ยท 1)))
24 2cnd 12232 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
25 1cnd 11151 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
26 adddi 11141 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = ((2 ยท ๐‘˜) + (2 ยท 1)))
2726eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + (2 ยท 1)) = (2 ยท (๐‘˜ + 1)))
2824, 8, 25, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + (2 ยท 1)) = (2 ยท (๐‘˜ + 1)))
298, 25addcld 11175 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
3024, 29mulcomd 11177 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท 2))
3123, 28, 303eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 2) = ((๐‘˜ + 1) ยท 2))
3231oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 2) mod 2) = (((๐‘˜ + 1) ยท 2) mod 2))
33 peano2nn0 12454 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
3433nn0zd 12526 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค)
35 2rp 12921 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
36 mulmod0 13783 . . . . . . . 8 (((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐‘˜ + 1) ยท 2) mod 2) = 0)
3734, 35, 36sylancl 587 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘˜ + 1) ยท 2) mod 2) = 0)
3832, 37eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 2) mod 2) = 0)
3919, 38sylan9eqr 2799 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ = ((2 ยท ๐‘˜) + 2)) โ†’ (๐‘ mod 2) = 0)
407, 18, 39syl2an2r 684 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 7)) โ†’ (๐‘ mod 2) = 0)
4140rexlimdva2 3155 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 7) โ†’ (๐‘ mod 2) = 0))
426, 41syld 47 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ mod 8) = 7 โ†’ (๐‘ mod 2) = 0))
4342imp 408 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ mod 8) = 7) โ†’ (๐‘ mod 2) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  4c4 12211  7c7 12214  8c8 12215  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500  โ„+crp 12916  โŒŠcfl 13696   mod cmo 13775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-ico 13271  df-fl 13698  df-mod 13776
This theorem is referenced by:  2lgslem3  26755
  Copyright terms: Public domain W3C validator