MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3d1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3d1 27142
Description: Lemma 4 for 2lgslem3 27143. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n ๐‘ = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3d1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ mod 8) = 7) โ†’ (๐‘ mod 2) = 0)

Proof of Theorem 2lgslem3d1
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12483 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
2 8nn 12311 . . . . 5 8 โˆˆ โ„•
3 nnrp 12989 . . . . 5 (8 โˆˆ โ„• โ†’ 8 โˆˆ โ„+)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 8 โˆˆ โ„+
5 modmuladdnn0 13884 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง 8 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ƒ mod 8) = 7 โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 7)))
61, 4, 5sylancl 584 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ mod 8) = 7 โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 7)))
7 simpr 483 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
8 nn0cn 12486 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
9 8cn 12313 . . . . . . . . . . . 12 8 โˆˆ โ„‚
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โˆˆ โ„‚)
118, 10mulcomd 11239 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ ยท 8) = (8 ยท ๐‘˜))
1211adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ ยท 8) = (8 ยท ๐‘˜))
1312oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ ยท 8) + 7) = ((8 ยท ๐‘˜) + 7))
1413eqeq2d 2741 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 7) โ†” ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐‘˜) + 7)))
1514biimpa 475 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 7)) โ†’ ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐‘˜) + 7))
16 2lgslem2.n . . . . . . 7 ๐‘ = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
17162lgslem3d 27138 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐‘˜) + 7)) โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ๐‘˜) + 2))
187, 15, 17syl2an2r 681 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 7)) โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ๐‘˜) + 2))
19 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘˜) + 2) โ†’ (๐‘ mod 2) = (((2 ยท ๐‘˜) + 2) mod 2))
20 2t1e2 12379 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท 1) = 2
2120eqcomi 2739 . . . . . . . . . . 11 2 = (2 ยท 1)
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 = (2 ยท 1))
2322oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 2) = ((2 ยท ๐‘˜) + (2 ยท 1)))
24 2cnd 12294 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
25 1cnd 11213 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
26 adddi 11201 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = ((2 ยท ๐‘˜) + (2 ยท 1)))
2726eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + (2 ยท 1)) = (2 ยท (๐‘˜ + 1)))
2824, 8, 25, 27syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + (2 ยท 1)) = (2 ยท (๐‘˜ + 1)))
298, 25addcld 11237 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
3024, 29mulcomd 11239 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท 2))
3123, 28, 303eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 2) = ((๐‘˜ + 1) ยท 2))
3231oveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 2) mod 2) = (((๐‘˜ + 1) ยท 2) mod 2))
33 peano2nn0 12516 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
3433nn0zd 12588 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค)
35 2rp 12983 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
36 mulmod0 13846 . . . . . . . 8 (((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐‘˜ + 1) ยท 2) mod 2) = 0)
3734, 35, 36sylancl 584 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘˜ + 1) ยท 2) mod 2) = 0)
3832, 37eqtrd 2770 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 2) mod 2) = 0)
3919, 38sylan9eqr 2792 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ = ((2 ยท ๐‘˜) + 2)) โ†’ (๐‘ mod 2) = 0)
407, 18, 39syl2an2r 681 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 7)) โ†’ (๐‘ mod 2) = 0)
4140rexlimdva2 3155 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 7) โ†’ (๐‘ mod 2) = 0))
426, 41syld 47 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ mod 8) = 7 โ†’ (๐‘ mod 2) = 0))
4342imp 405 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ mod 8) = 7) โ†’ (๐‘ mod 2) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  4c4 12273  7c7 12276  8c8 12277  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978  โŒŠcfl 13759   mod cmo 13838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fl 13761  df-mod 13839
This theorem is referenced by:  2lgslem3  27143
  Copyright terms: Public domain W3C validator