Theorem 2lgslem3d1 27642

Description: Lemma 4 for 2lgslem3 27643. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3d1	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)

Proof of Theorem 2lgslem3d1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12538	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2		8nn 12363	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		nnrp 13057	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		modmuladdnn0 13982	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑃 mod 8) = 7 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)))
6	1, 4, 5	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 7 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)))
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		nn0cn 12541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
9		8cn 12365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcomd 11257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
12	11	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
13	12	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 7) = ((8 · 𝑘) + 7))
14	13	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7)))
15	14	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7))
16		2lgslem2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
17	16	2lgslem3d 27638	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2))
18	7, 15, 17	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2))
19		oveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑘) + 2) mod 2))
20		2t1e2 12430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 1) = 2
21	20	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (2 · 1)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 = (2 · 1))
23	22	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 2) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
24		2cnd 12346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
25		1cnd 11229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
26		adddi 11216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
27	26	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = (2 · (𝑘 + 1)))
28	24, 8, 25, 27	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = (2 · (𝑘 + 1)))
29	8, 25	addcld 11255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
30	24, 29	mulcomd 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 2))
31	23, 28, 30	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 2) = ((𝑘 + 1) · 2))
32	31	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 2) mod 2) = (((𝑘 + 1) · 2) mod 2))
33		peano2nn0 12571	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 12643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
35		2rp 13050	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
36		mulmod0 13941	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (((𝑘 + 1) · 2) mod 2) = 0)
37	34, 35, 36	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑘 + 1) · 2) mod 2) = 0)
38	32, 37	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 2) mod 2) = 0)
39	19, 38	sylan9eqr 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2)) → (𝑁 mod 2) = 0)
40	7, 18, 39	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → (𝑁 mod 2) = 0)
41	40	rexlimdva2 3165	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7) → (𝑁 mod 2) = 0))
42	6, 41	syld 48	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 7 → (𝑁 mod 2) = 0))
43	42	imp 412	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11468   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  4c4 12324  7c7 12327  8c8 12328  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℝ⁺crp 13045  ⌊cfl 13854   mod cmo 13933

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-ico 13407  df-fl 13856  df-mod 13934

This theorem is used by:  2lgslem3  27643