MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3d1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3d1 26661
Description: Lemma 4 for 2lgslem3 26662. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3d1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)

Proof of Theorem 2lgslem3d1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12350 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2 8nn 12178 . . . . 5 8 ∈ ℕ
3 nnrp 12851 . . . . 5 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 8 ∈ ℝ+
5 modmuladdnn0 13745 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑃 mod 8) = 7 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)))
61, 4, 5sylancl 587 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 7 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)))
7 simpr 486 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 nn0cn 12353 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
9 8cn 12180 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
118, 10mulcomd 11106 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1211adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1312oveq1d 7361 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 7) = ((8 · 𝑘) + 7))
1413eqeq2d 2748 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7)))
1514biimpa 478 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7))
16 2lgslem2.n . . . . . . 7 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
17162lgslem3d 26657 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2))
187, 15, 17syl2an2r 683 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2))
19 oveq1 7353 . . . . . 6 (𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑘) + 2) mod 2))
20 2t1e2 12246 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 1) = 2
2120eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 2 = (2 · 1)
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 = (2 · 1))
2322oveq2d 7362 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 2) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
24 2cnd 12161 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
25 1cnd 11080 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
26 adddi 11070 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
2726eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = (2 · (𝑘 + 1)))
2824, 8, 25, 27syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = (2 · (𝑘 + 1)))
298, 25addcld 11104 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
3024, 29mulcomd 11106 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 2))
3123, 28, 303eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 2) = ((𝑘 + 1) · 2))
3231oveq1d 7361 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 2) mod 2) = (((𝑘 + 1) · 2) mod 2))
33 peano2nn0 12383 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
3433nn0zd 12534 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
35 2rp 12845 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
36 mulmod0 13707 . . . . . . . 8 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (((𝑘 + 1) · 2) mod 2) = 0)
3734, 35, 36sylancl 587 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑘 + 1) · 2) mod 2) = 0)
3832, 37eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 2) mod 2) = 0)
3919, 38sylan9eqr 2799 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2)) → (𝑁 mod 2) = 0)
407, 18, 39syl2an2r 683 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → (𝑁 mod 2) = 0)
4140rexlimdva2 3152 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7) → (𝑁 mod 2) = 0))
426, 41syld 47 . 2 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 7 → (𝑁 mod 2) = 0))
4342imp 408 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  cfv 6488  (class class class)co 7346  cc 10979  0cc0 10981  1c1 10982   + caddc 10984   · cmul 10986  cmin 11315   / cdiv 11742  cn 12083  2c2 12138  4c4 12140  7c7 12143  8c8 12144  0cn0 12343  cz 12429  +crp 12840  cfl 13620   mod cmo 13699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-sup 9308  df-inf 9309  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-4 12148  df-5 12149  df-6 12150  df-7 12151  df-8 12152  df-n0 12344  df-z 12430  df-uz 12693  df-rp 12841  df-ico 13195  df-fl 13622  df-mod 13700
This theorem is referenced by:  2lgslem3  26662
  Copyright terms: Public domain W3C validator