Theorem 2lgslem3d1 27533

Description: Lemma 4 for 2lgslem3 27534. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3d1	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)

Proof of Theorem 2lgslem3d1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12511	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2		8nn 12336	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		nnrp 13028	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		modmuladdnn0 13951	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑃 mod 8) = 7 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)))
6	1, 4, 5	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 7 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)))
7		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		nn0cn 12514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
9		8cn 12338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcomd 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
12	11	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
13	12	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 7) = ((8 · 𝑘) + 7))
14	13	eqeq2d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7)))
15	14	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7))
16		2lgslem2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
17	16	2lgslem3d 27529	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2))
18	7, 15, 17	syl2an2r 697	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2))
19		oveq1 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑘) + 2) mod 2))
20		2t1e2 12403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 1) = 2
21	20	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (2 · 1)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 = (2 · 1))
23	22	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 2) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
24		2cnd 12319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
25		1cnd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
26		adddi 11189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
27	26	eqcomd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = (2 · (𝑘 + 1)))
28	24, 8, 25, 27	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = (2 · (𝑘 + 1)))
29	8, 25	addcld 11228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
30	24, 29	mulcomd 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 2))
31	23, 28, 30	3eqtrd 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 2) = ((𝑘 + 1) · 2))
32	31	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 2) mod 2) = (((𝑘 + 1) · 2) mod 2))
33		peano2nn0 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 12616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
35		2rp 13021	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
36		mulmod0 13910	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (((𝑘 + 1) · 2) mod 2) = 0)
37	34, 35, 36	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑘 + 1) · 2) mod 2) = 0)
38	32, 37	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 2) mod 2) = 0)
39	19, 38	sylan9eqr 2826	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2)) → (𝑁 mod 2) = 0)
40	7, 18, 39	syl2an2r 697	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → (𝑁 mod 2) = 0)
41	40	rexlimdva2 3174	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7) → (𝑁 mod 2) = 0))
42	6, 41	syld 48	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 7 → (𝑁 mod 2) = 0))
43	42	imp 411	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   − cmin 11441   / cdiv 11871  ℕcn 12233  2c2 12295  4c4 12297  7c7 12300  8c8 12301  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ℝ⁺crp 13016  ⌊cfl 13823   mod cmo 13902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13378  df-fl 13825  df-mod 13903

This theorem is referenced by:  2lgslem3  27534