MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3d1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3d1 25906
Description: Lemma 4 for 2lgslem3 25907. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3d1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)

Proof of Theorem 2lgslem3d1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11892 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2 8nn 11720 . . . . 5 8 ∈ ℕ
3 nnrp 12388 . . . . 5 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 8 ∈ ℝ+
5 modmuladdnn0 13271 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑃 mod 8) = 7 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)))
61, 4, 5sylancl 586 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 7 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)))
7 simpr 485 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 nn0cn 11895 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
9 8cn 11722 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
118, 10mulcomd 10650 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1211adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1312oveq1d 7160 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 7) = ((8 · 𝑘) + 7))
1413eqeq2d 2829 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7)))
1514biimpa 477 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7))
16 2lgslem2.n . . . . . . 7 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
17162lgslem3d 25902 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2))
187, 15, 17syl2an2r 681 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2))
19 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑘) + 2) mod 2))
20 2t1e2 11788 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 1) = 2
2120eqcomi 2827 . . . . . . . . . . 11 2 = (2 · 1)
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 = (2 · 1))
2322oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 2) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
24 2cnd 11703 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
25 1cnd 10624 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
26 adddi 10614 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
2726eqcomd 2824 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = (2 · (𝑘 + 1)))
2824, 8, 25, 27syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = (2 · (𝑘 + 1)))
298, 25addcld 10648 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
3024, 29mulcomd 10650 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 2))
3123, 28, 303eqtrd 2857 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 2) = ((𝑘 + 1) · 2))
3231oveq1d 7160 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 2) mod 2) = (((𝑘 + 1) · 2) mod 2))
33 peano2nn0 11925 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
3433nn0zd 12073 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
35 2rp 12382 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
36 mulmod0 13233 . . . . . . . 8 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (((𝑘 + 1) · 2) mod 2) = 0)
3734, 35, 36sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑘 + 1) · 2) mod 2) = 0)
3832, 37eqtrd 2853 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 2) mod 2) = 0)
3919, 38sylan9eqr 2875 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2)) → (𝑁 mod 2) = 0)
407, 18, 39syl2an2r 681 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → (𝑁 mod 2) = 0)
4140rexlimdva2 3284 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7) → (𝑁 mod 2) = 0))
426, 41syld 47 . 2 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 7 → (𝑁 mod 2) = 0))
4342imp 407 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  4c4 11682  7c7 11685  8c8 11686  0cn0 11885  cz 11969  +crp 12377  cfl 13148   mod cmo 13225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fl 13150  df-mod 13226
This theorem is referenced by:  2lgslem3  25907
  Copyright terms: Public domain W3C validator