Theorem 2lgslem3a1 27445

Description: Lemma 1 for 2lgslem3 27449. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3a1	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)

Proof of Theorem 2lgslem3a1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12535	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2		8nn 12362	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		nnrp 13047	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		modmuladdnn0 13957	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑃 mod 8) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)))
6	1, 4, 5	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		nn0cn 12538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
9		8cn 12364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcomd 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
13	12	oveq1d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 1) = ((8 · 𝑘) + 1))
14	13	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1)))
15	14	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1))
16		2lgslem2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
17	16	2lgslem3a 27441	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝑘))
18	7, 15, 17	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝑘))
19		oveq1 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (2 · 𝑘) → (𝑁 mod 2) = ((2 · 𝑘) mod 2))
20		2cnd 12345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
21	20, 8	mulcomd 11283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) = (𝑘 · 2))
22	21	oveq1d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) mod 2) = ((𝑘 · 2) mod 2))
23		nn0z 12640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
24		2rp 13040	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
25		mulmod0 13918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑘 · 2) mod 2) = 0)
26	23, 24, 25	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 · 2) mod 2) = 0)
27	22, 26	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) mod 2) = 0)
28	19, 27	sylan9eqr 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = (2 · 𝑘)) → (𝑁 mod 2) = 0)
29	7, 18, 28	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → (𝑁 mod 2) = 0)
30	29	rexlimdva2 3156	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1) → (𝑁 mod 2) = 0))
31	6, 30	syld 47	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 1 → (𝑁 mod 2) = 0))
32	31	imp 406	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   − cmin 11493   / cdiv 11921  ℕcn 12267  2c2 12322  4c4 12324  8c8 12328  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℝ⁺crp 13035  ⌊cfl 13831   mod cmo 13910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-ico 13394  df-fl 13833  df-mod 13911

This theorem is referenced by:  2lgslem3  27449