MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3a1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3a1 25982
Description: Lemma 1 for 2lgslem3 25986. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3a1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)

Proof of Theorem 2lgslem3a1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11892 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2 8nn 11720 . . . . 5 8 ∈ ℕ
3 nnrp 12388 . . . . 5 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 8 ∈ ℝ+
5 modmuladdnn0 13278 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑃 mod 8) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)))
61, 4, 5sylancl 589 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)))
7 simpr 488 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 nn0cn 11895 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
9 8cn 11722 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
118, 10mulcomd 10651 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1211adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1312oveq1d 7155 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 1) = ((8 · 𝑘) + 1))
1413eqeq2d 2833 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1)))
1514biimpa 480 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1))
16 2lgslem2.n . . . . . . 7 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
17162lgslem3a 25978 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝑘))
187, 15, 17syl2an2r 684 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝑘))
19 oveq1 7147 . . . . . 6 (𝑁 = (2 · 𝑘) → (𝑁 mod 2) = ((2 · 𝑘) mod 2))
20 2cnd 11703 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
2120, 8mulcomd 10651 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) = (𝑘 · 2))
2221oveq1d 7155 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) mod 2) = ((𝑘 · 2) mod 2))
23 nn0z 11993 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
24 2rp 12382 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
25 mulmod0 13240 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑘 · 2) mod 2) = 0)
2623, 24, 25sylancl 589 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 · 2) mod 2) = 0)
2722, 26eqtrd 2857 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) mod 2) = 0)
2819, 27sylan9eqr 2879 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 = (2 · 𝑘)) → (𝑁 mod 2) = 0)
297, 18, 28syl2an2r 684 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → (𝑁 mod 2) = 0)
3029rexlimdva2 3273 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1) → (𝑁 mod 2) = 0))
316, 30syld 47 . 2 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 1 → (𝑁 mod 2) = 0))
3231imp 410 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wrex 3131  cfv 6334  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  4c4 11682  8c8 11686  0cn0 11885  cz 11969  +crp 12377  cfl 13155   mod cmo 13232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fl 13157  df-mod 13233
This theorem is referenced by:  2lgslem3  25986
  Copyright terms: Public domain W3C validator