MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3a1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3a1 27445
Description: Lemma 1 for 2lgslem3 27449. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3a1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)

Proof of Theorem 2lgslem3a1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12535 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2 8nn 12362 . . . . 5 8 ∈ ℕ
3 nnrp 13047 . . . . 5 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 8 ∈ ℝ+
5 modmuladdnn0 13957 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑃 mod 8) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)))
61, 4, 5sylancl 586 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)))
7 simpr 484 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 nn0cn 12538 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
9 8cn 12364 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
118, 10mulcomd 11283 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1211adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1312oveq1d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 1) = ((8 · 𝑘) + 1))
1413eqeq2d 2747 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1)))
1514biimpa 476 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1))
16 2lgslem2.n . . . . . . 7 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
17162lgslem3a 27441 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝑘))
187, 15, 17syl2an2r 685 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝑘))
19 oveq1 7439 . . . . . 6 (𝑁 = (2 · 𝑘) → (𝑁 mod 2) = ((2 · 𝑘) mod 2))
20 2cnd 12345 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
2120, 8mulcomd 11283 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) = (𝑘 · 2))
2221oveq1d 7447 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) mod 2) = ((𝑘 · 2) mod 2))
23 nn0z 12640 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
24 2rp 13040 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
25 mulmod0 13918 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑘 · 2) mod 2) = 0)
2623, 24, 25sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 · 2) mod 2) = 0)
2722, 26eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) mod 2) = 0)
2819, 27sylan9eqr 2798 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 = (2 · 𝑘)) → (𝑁 mod 2) = 0)
297, 18, 28syl2an2r 685 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → (𝑁 mod 2) = 0)
3029rexlimdva2 3156 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1) → (𝑁 mod 2) = 0))
316, 30syld 47 . 2 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 1 → (𝑁 mod 2) = 0))
3231imp 406 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wrex 3069  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  4c4 12324  8c8 12328  0cn0 12528  cz 12615  +crp 13035  cfl 13831   mod cmo 13910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-ico 13394  df-fl 13833  df-mod 13911
This theorem is referenced by:  2lgslem3  27449
  Copyright terms: Public domain W3C validator