Theorem 2lgslem3a1 25678

Description: Lemma 1 for 2lgslem3 25682. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3a1	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)

Proof of Theorem 2lgslem3a1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 11715	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2		8nn 11540	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		nnrp 12217	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		modmuladdnn0 13098	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑃 mod 8) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)))
6	1, 4, 5	sylancl 577	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)))
7		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		nn0cn 11718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
9		8cn 11542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcomd 10461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
12	11	adantl 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
13	12	oveq1d 6991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 1) = ((8 · 𝑘) + 1))
14	13	eqeq2d 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1)))
15	14	biimpa 469	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1))
16		2lgslem2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
17	16	2lgslem3a 25674	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝑘))
18	7, 15, 17	syl2an2r 672	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝑘))
19		oveq1 6983	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (2 · 𝑘) → (𝑁 mod 2) = ((2 · 𝑘) mod 2))
20		2cnd 11518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
21	20, 8	mulcomd 10461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) = (𝑘 · 2))
22	21	oveq1d 6991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) mod 2) = ((𝑘 · 2) mod 2))
23		nn0z 11818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
24		2rp 12209	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
25		mulmod0 13060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑘 · 2) mod 2) = 0)
26	23, 24, 25	sylancl 577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 · 2) mod 2) = 0)
27	22, 26	eqtrd 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) mod 2) = 0)
28	19, 27	sylan9eqr 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = (2 · 𝑘)) → (𝑁 mod 2) = 0)
29	7, 18, 28	syl2an2r 672	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → (𝑁 mod 2) = 0)
30	29	rexlimdva2 3233	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1) → (𝑁 mod 2) = 0))
31	6, 30	syld 47	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 1 → (𝑁 mod 2) = 0))
32	31	imp 398	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∃wrex 3090  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ℂcc 10333  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   − cmin 10670   / cdiv 11098  ℕcn 11439  2c2 11495  4c4 11497  8c8 11501  ℕ₀cn0 11707  ℤcz 11793  ℝ⁺crp 12204  ⌊cfl 12975   mod cmo 13052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-ico 12560  df-fl 12977  df-mod 13053

This theorem is referenced by:  2lgslem3  25682