Users' Mathboxes Mathbox for Ender Ting < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  natlocalincr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem natlocalincr 45590
Description: Global monotonicity on half-open range implies local monotonicity. Inference form. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
natlocalincr.1 𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))
Assertion
Ref Expression
natlocalincr 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇   𝑡,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem natlocalincr
StepHypRef Expression
1 ovex 7442 . . . . 5 (𝑘 + 1) ∈ V
21isseti 3490 . . . 4 𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1)
3 natlocalincr.1 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))
4 rsp 3245 . . . . . . . . 9 (∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))))
54ralimi 3084 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))))
6 1z 12592 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
7 fzoaddel 13685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
86, 7mpan2 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
9 0p1e1 12334 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
109oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)) = (1..^(𝑇 + 1))
118, 10eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1)))
12 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
1311, 12syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
1413imim1d 82 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)))))
1514ralimia 3081 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))))
163, 5, 15mp2b 10 . . . . . . 7 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)))
17 elfzoelz 13632 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℤ)
18 zre 12562 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
19 ltp1 12054 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
21 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡𝑘 < (𝑘 + 1)))
2220, 21syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡))
23 ax-2 7 . . . . . . . . 9 ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))) → ((𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))))
2422, 23syl5com 31 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))))
2524ralimia 3081 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)))
26 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑡) = (𝐵‘(𝑘 + 1)))
2726breq2d 5161 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑡) ↔ (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
2827biimpd 228 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑡) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
2928a2i 14 . . . . . . . 8 ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
3029ralimi 3084 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
3116, 25, 30mp2b 10 . . . . . 6 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
3231rspec 3248 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
3332eximdv 1921 . . . 4 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1) → ∃𝑡(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
342, 33mpi 20 . . 3 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ∃𝑡(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
35 ax5e 1916 . . 3 (∃𝑡(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
3634, 35syl 17 . 2 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
3736rgen 3064 1 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3062   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248  cz 12558  ..^cfzo 13627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator