Users' Mathboxes Mathbox for Ender Ting < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  natlocalincr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem natlocalincr 45888
Description: Global monotonicity on half-open range implies local monotonicity. Inference form. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
natlocalincr.1 𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))
Assertion
Ref Expression
natlocalincr 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇   𝑡,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem natlocalincr
StepHypRef Expression
1 ovex 7444 . . . . 5 (𝑘 + 1) ∈ V
21isseti 3488 . . . 4 𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1)
3 natlocalincr.1 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))
4 rsp 3242 . . . . . . . . 9 (∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))))
54ralimi 3081 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))))
6 1z 12596 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
7 fzoaddel 13689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
86, 7mpan2 687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
9 0p1e1 12338 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
109oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)) = (1..^(𝑇 + 1))
118, 10eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1)))
12 eleq1 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
1311, 12syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
1413imim1d 82 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)))))
1514ralimia 3078 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))))
163, 5, 15mp2b 10 . . . . . . 7 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)))
17 elfzoelz 13636 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℤ)
18 zre 12566 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
19 ltp1 12058 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
21 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡𝑘 < (𝑘 + 1)))
2220, 21syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡))
23 ax-2 7 . . . . . . . . 9 ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))) → ((𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))))
2422, 23syl5com 31 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))))
2524ralimia 3078 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)))
26 fveq2 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑡) = (𝐵‘(𝑘 + 1)))
2726breq2d 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑡) ↔ (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
2827biimpd 228 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑡) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
2928a2i 14 . . . . . . . 8 ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
3029ralimi 3081 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
3116, 25, 30mp2b 10 . . . . . 6 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
3231rspec 3245 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
3332eximdv 1918 . . . 4 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1) → ∃𝑡(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
342, 33mpi 20 . . 3 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ∃𝑡(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
35 ax5e 1913 . . 3 (∃𝑡(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
3634, 35syl 17 . 2 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
3736rgen 3061 1 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wex 1779  wcel 2104  wral 3059   class class class wbr 5147  cfv 6542  (class class class)co 7411  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  cz 12562  ..^cfzo 13631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator