Theorem natlocalincr 47652

Description: Global monotonicity on half-open range implies local monotonicity. Inference form. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
natlocalincr.1	⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))

Assertion

Ref	Expression
natlocalincr	⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇   𝑡,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem natlocalincr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7452	. . . . 5 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
2	1	isseti 3475	. . . 4 ⊢ ∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1)
3		natlocalincr.1	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))
4		rsp 3255	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
5	4	ralimi 3104	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
6		1z 12641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
8	6, 7	mpan2 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
9		0p1e1 12378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
10	9	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)) = (1..^(𝑇 + 1))
11	8, 10	eleqtrdi 2875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1)))
12		eleq1 2853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
13	11, 12	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
14	13	imim1d 83	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)))))
15	14	ralimia 3101	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
16	3, 5, 15	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)))
17		elfzoelz 13706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℤ)
18		zre 12612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
19		ltp1 12072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
20	17, 18, 19	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
21		breq2 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 ↔ 𝑘 < (𝑘 + 1)))
22	20, 21	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡))
23		ax-2 7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → ((𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
24	22, 23	syl5com 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
25	24	ralimia 3101	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)))
26		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑡) = (𝐵‘(𝑘 + 1)))
27	26	breq2d 5123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡) ↔ (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
28	27	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
29	28	a2i 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
30	29	ralimi 3104	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
31	16, 25, 30	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
32	31	rspec 3258	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
33	32	eximdv 1950	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
34	2, 33	mpi 21	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
35		ax5e 1945	. . 3 ⊢ (∃𝑡(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
36	34, 35	syl 18	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
37	36	rgen 3083	1 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   < clt 11260  ℤcz 12608  ..^cfzo 13701

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702

This theorem is used by: (None)