Theorem natlocalincr 46511

Description: Global monotonicity on half-open range implies local monotonicity. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
natlocalincr.1	⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))

Assertion

Ref	Expression
natlocalincr	⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇   𝑡,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem natlocalincr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7308	. . . . 5 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
2	1	isseti 3447	. . . 4 ⊢ ∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1)
3		natlocalincr.1	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))
4		rsp 3131	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
5	4	ralimi 3087	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
6		1z 12350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
8	6, 7	mpan2 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
9		0p1e1 12095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
10	9	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)) = (1..^(𝑇 + 1))
11	8, 10	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1)))
12		eleq1 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
13	11, 12	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
14	13	imim1d 82	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)))))
15	14	ralimia 3085	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
16	3, 5, 15	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)))
17		elfzoelz 13387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℤ)
18		zre 12323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
19		ltp1 11815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
21		breq2 5078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 ↔ 𝑘 < (𝑘 + 1)))
22	20, 21	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡))
23		ax-2 7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → ((𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
24	22, 23	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
25	24	ralimia 3085	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)))
26		fveq2 6774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑡) = (𝐵‘(𝑘 + 1)))
27	26	breq2d 5086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡) ↔ (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
28	27	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
29	28	a2i 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
30	29	ralimi 3087	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
31	16, 25, 30	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
32	31	rspec 3133	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
33	32	eximdv 1920	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
34	2, 33	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
35		ax5e 1915	. . 3 ⊢ (∃𝑡(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
36	34, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
37	36	rgen 3074	1 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009  ℤcz 12319  ..^cfzo 13382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383

This theorem is referenced by: (None)