Theorem natlocalincr 46795

Description: Global monotonicity on half-open range implies local monotonicity. Inference form. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
natlocalincr.1	⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))

Assertion

Ref	Expression
natlocalincr	⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇   𝑡,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem natlocalincr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7481	. . . . 5 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
2	1	isseti 3506	. . . 4 ⊢ ∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1)
3		natlocalincr.1	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))
4		rsp 3253	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
5	4	ralimi 3089	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
6		1z 12673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
8	6, 7	mpan2 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
9		0p1e1 12415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
10	9	oveq1i 7458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)) = (1..^(𝑇 + 1))
11	8, 10	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1)))
12		eleq1 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
13	11, 12	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
14	13	imim1d 82	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)))))
15	14	ralimia 3086	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
16	3, 5, 15	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)))
17		elfzoelz 13716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℤ)
18		zre 12643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
19		ltp1 12134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
21		breq2 5170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 ↔ 𝑘 < (𝑘 + 1)))
22	20, 21	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡))
23		ax-2 7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → ((𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
24	22, 23	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
25	24	ralimia 3086	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)))
26		fveq2 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑡) = (𝐵‘(𝑘 + 1)))
27	26	breq2d 5178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡) ↔ (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
28	27	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
29	28	a2i 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
30	29	ralimi 3089	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
31	16, 25, 30	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
32	31	rspec 3256	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
33	32	eximdv 1916	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
34	2, 33	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
35		ax5e 1911	. . 3 ⊢ (∃𝑡(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
36	34, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
37	36	rgen 3069	1 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324  ℤcz 12639  ..^cfzo 13711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712

This theorem is referenced by: (None)