Theorem natlocalincr 47238

Description: Global monotonicity on half-open range implies local monotonicity. Inference form. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
natlocalincr.1	⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))

Assertion

Ref	Expression
natlocalincr	⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇   𝑡,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem natlocalincr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7401	. . . . 5 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
2	1	isseti 3460	. . . 4 ⊢ ∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1)
3		natlocalincr.1	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))
4		rsp 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
5	4	ralimi 3075	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
6		1z 12533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
8	6, 7	mpan2 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
9		0p1e1 12274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
10	9	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)) = (1..^(𝑇 + 1))
11	8, 10	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1)))
12		eleq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
13	11, 12	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
14	13	imim1d 82	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)))))
15	14	ralimia 3072	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
16	3, 5, 15	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)))
17		elfzoelz 13587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℤ)
18		zre 12504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
19		ltp1 11993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
21		breq2 5104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 ↔ 𝑘 < (𝑘 + 1)))
22	20, 21	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡))
23		ax-2 7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → ((𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
24	22, 23	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))))
25	24	ralimia 3072	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)))
26		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑡) = (𝐵‘(𝑘 + 1)))
27	26	breq2d 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡) ↔ (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
28	27	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
29	28	a2i 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
30	29	ralimi 3075	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘𝑡)) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
31	16, 25, 30	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
32	31	rspec 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
33	32	eximdv 1919	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
34	2, 33	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
35		ax5e 1914	. . 3 ⊢ (∃𝑡(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
36	34, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
37	36	rgen 3054	1 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178  ℤcz 12500  ..^cfzo 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583

This theorem is referenced by: (None)