Users' Mathboxes Mathbox for Ender Ting < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  natlocalincr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem natlocalincr 45189
Description: Global monotonicity on half-open range implies local monotonicity. Inference form. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
natlocalincr.1 𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))
Assertion
Ref Expression
natlocalincr 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇   𝑡,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem natlocalincr
StepHypRef Expression
1 ovex 7395 . . . . 5 (𝑘 + 1) ∈ V
21isseti 3463 . . . 4 𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1)
3 natlocalincr.1 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))
4 rsp 3233 . . . . . . . . 9 (∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))))
54ralimi 3087 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))))
6 1z 12540 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
7 fzoaddel 13632 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
86, 7mpan2 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
9 0p1e1 12282 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
109oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)) = (1..^(𝑇 + 1))
118, 10eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1)))
12 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
1311, 12syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
1413imim1d 82 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)))))
1514ralimia 3084 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))))
163, 5, 15mp2b 10 . . . . . . 7 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)))
17 elfzoelz 13579 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℤ)
18 zre 12510 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
19 ltp1 12002 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
21 breq2 5114 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡𝑘 < (𝑘 + 1)))
2220, 21syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡))
23 ax-2 7 . . . . . . . . 9 ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))) → ((𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))))
2422, 23syl5com 31 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))))
2524ralimia 3084 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)))
26 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑡) = (𝐵‘(𝑘 + 1)))
2726breq2d 5122 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑡) ↔ (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
2827biimpd 228 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑡) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
2928a2i 14 . . . . . . . 8 ((𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
3029ralimi 3087 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
3116, 25, 30mp2b 10 . . . . . 6 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
3231rspec 3236 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
3332eximdv 1921 . . . 4 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1) → ∃𝑡(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
342, 33mpi 20 . . 3 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ∃𝑡(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
35 ax5e 1916 . . 3 (∃𝑡(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
3634, 35syl 17 . 2 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
3736rgen 3067 1 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3065   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cz 12506  ..^cfzo 13574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator