Theorem nbusgrf1o1 29227

Description: The set of neighbors of a vertex is isomorphic to the set of edges containing the vertex in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbusgrf1o1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i	⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
nbusgrf1o1	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:𝑁–1-1-onto→𝐼)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉   𝑓,𝐼   𝑓,𝑁   𝑈,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem nbusgrf1o1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbusgrf1o1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
2	1	ovexi 7450	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ V
3		mptexg 7229	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}) ∈ V)
4	2, 3	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}) ∈ V)
5		nbusgrf1o1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		nbusgrf1o1.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
7		nbusgrf1o1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}
8		eqid 2725	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}) = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
9	5, 6, 1, 7, 8	nbusgrf1o0 29226	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}):𝑁–1-1-onto→𝐼)
10		f1oeq1 6822	. 2 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}) → (𝑓:𝑁–1-1-onto→𝐼 ↔ (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}):𝑁–1-1-onto→𝐼))
11	4, 9, 10	spcedv 3577	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:𝑁–1-1-onto→𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463  {cpr 4626   ↦ cmpt 5226  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Vtxcvtx 28853  Edgcedg 28904  USGraphcusgr 29006   NeighbVtx cnbgr 29189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-hash 14322  df-edg 28905  df-upgr 28939  df-umgr 28940  df-uspgr 29007  df-usgr 29008  df-nbgr 29190

This theorem is referenced by:  nbusgrf1o  29228