Theorem nbusgrf1o1 29515

Description: The set of neighbors of a vertex is isomorphic to the set of edges containing the vertex in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbusgrf1o1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i	⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
nbusgrf1o1	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:𝑁–1-1-onto→𝐼)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉   𝑓,𝐼   𝑓,𝑁   𝑈,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem nbusgrf1o1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbusgrf1o1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
2	1	ovexi 7424	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ V
3		mptexg 7199	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}) ∈ V)
4	2, 3	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}) ∈ V)
5		nbusgrf1o1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		nbusgrf1o1.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
7		nbusgrf1o1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}
8		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}) = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
9	5, 6, 1, 7, 8	nbusgrf1o0 29514	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}):𝑁–1-1-onto→𝐼)
10		f1oeq1 6788	. 2 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}) → (𝑓:𝑁–1-1-onto→𝐼 ↔ (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}):𝑁–1-1-onto→𝐼))
11	4, 9, 10	spcedv 3557	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:𝑁–1-1-onto→𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141  {crab 3413  Vcvv 3453  {cpr 4583   ↦ cmpt 5180  –1-1-onto→wf1o 6514  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Vtxcvtx 29141  Edgcedg 29192  USGraphcusgr 29294   NeighbVtx cnbgr 29477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-oadd 8434  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-2 12275  df-n0 12477  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12835  df-fz 13508  df-hash 14339  df-edg 29193  df-upgr 29227  df-umgr 29228  df-uspgr 29295  df-usgr 29296  df-nbgr 29478

This theorem is referenced by:  nbusgrf1o  29516