MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbusgrf1o1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbusgrf1o1 26718
Description: The set of neighbors of a vertex is isomorphic to the set of edges containing the vertex in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbusgrf1o1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
Assertion
Ref Expression
nbusgrf1o1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ∃𝑓 𝑓:𝑁1-1-onto𝐼)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉   𝑓,𝐼   𝑓,𝑁   𝑈,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem nbusgrf1o1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbusgrf1o1.n . . . 4 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
2 ovex 6954 . . . 4 (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ V
31, 2eqeltri 2855 . . 3 𝑁 ∈ V
4 mptexg 6756 . . 3 (𝑁 ∈ V → (𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}) ∈ V)
53, 4mp1i 13 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}) ∈ V)
6 nbusgrf1o1.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 nbusgrf1o1.e . . 3 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8 nbusgrf1o1.i . . 3 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
9 eqid 2778 . . 3 (𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}) = (𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
106, 7, 1, 8, 9nbusgrf1o0 26717 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}):𝑁1-1-onto𝐼)
11 f1oeq1 6380 . . 3 (𝑓 = (𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}) → (𝑓:𝑁1-1-onto𝐼 ↔ (𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}):𝑁1-1-onto𝐼))
1211spcegv 3496 . 2 ((𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}) ∈ V → ((𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛}):𝑁1-1-onto𝐼 → ∃𝑓 𝑓:𝑁1-1-onto𝐼))
135, 10, 12sylc 65 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ∃𝑓 𝑓:𝑁1-1-onto𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  {crab 3094  Vcvv 3398  {cpr 4400  cmpt 4965  1-1-ontowf1o 6134  cfv 6135  (class class class)co 6922  Vtxcvtx 26344  Edgcedg 26395  USGraphcusgr 26498   NeighbVtx cnbgr 26679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-hash 13436  df-edg 26396  df-upgr 26430  df-umgr 26431  df-uspgr 26499  df-usgr 26500  df-nbgr 26680
This theorem is referenced by:  nbusgrf1o  26719
  Copyright terms: Public domain W3C validator