MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbusgrf1o0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbusgrf1o0 29305
Description: The mapping of neighbors of a vertex to edges incident to the vertex is a bijection ( 1-1 onto function) in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbusgrf1o1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
nbusgrf1o.f 𝐹 = (𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
Assertion
Ref Expression
nbusgrf1o0 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝐹:𝑁1-1-onto𝐼)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒   𝑛,𝐸   𝑒,𝐺,𝑛   𝑒,𝐼,𝑛   𝑒,𝑁,𝑛   𝑈,𝑛   𝑒,𝑉,𝑛   𝑒,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem nbusgrf1o0
StepHypRef Expression
1 nbusgrf1o1.n . . . . 5 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
21eleq2i 2818 . . . 4 (𝑛𝑁𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
3 nbusgrf1o1.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
43nbusgreledg 29289 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
54adantr 479 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
6 prcom 4741 . . . . . . . . . 10 {𝑛, 𝑈} = {𝑈, 𝑛}
76eleq1i 2817 . . . . . . . . 9 ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 ↔ {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
87biimpi 215 . . . . . . . 8 ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
98adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
10 prid1g 4769 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
1110adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
1211adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
13 eleq2 2815 . . . . . . . 8 (𝑒 = {𝑈, 𝑛} → (𝑈𝑒𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
14 nbusgrf1o1.i . . . . . . . 8 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
1513, 14elrab2 3684 . . . . . . 7 ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ↔ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
169, 12, 15sylanbrc 581 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
1716ex 411 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
185, 17sylbid 239 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
192, 18biimtrid 241 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑛𝑁 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
2019ralrimiv 3135 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ∀𝑛𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
2114reqabi 3442 . . . 4 (𝑒𝐼 ↔ (𝑒𝐸𝑈𝑒))
223, 1edgnbusgreu 29303 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑒𝐸𝑈𝑒)) → ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
2321, 22sylan2b 592 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑒𝐼) → ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
2423ralrimiva 3136 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ∀𝑒𝐼 ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
25 nbusgrf1o.f . . 3 𝐹 = (𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
2625f1ompt 7125 . 2 (𝐹:𝑁1-1-onto𝐼 ↔ (∀𝑛𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑒𝐼 ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛}))
2720, 24, 26sylanbrc 581 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝐹:𝑁1-1-onto𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  ∃!wreu 3362  {crab 3419  {cpr 4635  cmpt 5236  1-1-ontowf1o 6553  cfv 6554  (class class class)co 7424  Vtxcvtx 28932  Edgcedg 28983  USGraphcusgr 29085   NeighbVtx cnbgr 29268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-hash 14348  df-edg 28984  df-upgr 29018  df-umgr 29019  df-uspgr 29086  df-usgr 29087  df-nbgr 29269
This theorem is referenced by:  nbusgrf1o1  29306
  Copyright terms: Public domain W3C validator