Theorem nbusgrf1o0 28486

Description: The mapping of neighbors of a vertex to edges incident to the vertex is a bijection ( 1-1 onto function) in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbusgrf1o1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i	⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}
nbusgrf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})

Assertion

Ref	Expression
nbusgrf1o0	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑁–1-1-onto→𝐼)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒   𝑛,𝐸   𝑒,𝐺,𝑛   𝑒,𝐼,𝑛   𝑒,𝑁,𝑛   𝑈,𝑛   𝑒,𝑉,𝑛   𝑒,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem nbusgrf1o0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbusgrf1o1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
2	1	eleq2i 2824	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑁 ↔ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
3		nbusgrf1o1.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	3	nbusgreledg 28470	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
6		prcom 4726	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛, 𝑈} = {𝑈, 𝑛}
7	6	eleq1i 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 ↔ {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
8	7	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
9	8	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
10		prid1g 4754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
11	10	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
13		eleq2 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {𝑈, 𝑛} → (𝑈 ∈ 𝑒 ↔ 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
14		nbusgrf1o1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}
15	13, 14	elrab2 3679	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ↔ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
16	9, 12, 15	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
17	16	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
18	5, 17	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
19	2, 18	biimtrid 241	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ 𝑁 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
20	19	ralrimiv 3144	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
21	14	reqabi 3451	. . . 4 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐼 ↔ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑒))
22	3, 1	edgnbusgreu 28484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑒)) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
23	21, 22	sylan2b 594	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
24	23	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∀𝑒 ∈ 𝐼 ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
25		nbusgrf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
26	25	f1ompt 7092	. 2 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝐼 ↔ (∀𝑛 ∈ 𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐼 ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛}))
27	20, 24, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑁–1-1-onto→𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃!wreu 3373  {crab 3429  {cpr 4621   ↦ cmpt 5221  –1-1-onto→wf1o 6528  ‘cfv 6529  (class class class)co 7390  Vtxcvtx 28116  Edgcedg 28167  USGraphcusgr 28269   NeighbVtx cnbgr 28449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-2o 8446  df-oadd 8449  df-er 8683  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12192  df-2 12254  df-n0 12452  df-xnn0 12524  df-z 12538  df-uz 12802  df-fz 13464  df-hash 14270  df-edg 28168  df-upgr 28202  df-umgr 28203  df-uspgr 28270  df-usgr 28271  df-nbgr 28450

This theorem is referenced by:  nbusgrf1o1  28487