Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbusgrf1o0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbusgrf1o0 26667
 Description: The mapping of neighbors of a vertex to edges incident to the vertex is a bijection ( 1-1 onto function) in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbusgrf1o1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
nbusgrf1o.f 𝐹 = (𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
Assertion
Ref Expression
nbusgrf1o0 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝐹:𝑁1-1-onto𝐼)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒   𝑛,𝐸   𝑒,𝐺,𝑛   𝑒,𝐼,𝑛   𝑒,𝑁,𝑛   𝑈,𝑛   𝑒,𝑉,𝑛   𝑒,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem nbusgrf1o0
StepHypRef Expression
1 nbusgrf1o1.n . . . . 5 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
21eleq2i 2898 . . . 4 (𝑛𝑁𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
3 nbusgrf1o1.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
43nbusgreledg 26650 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
54adantr 474 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
6 prcom 4485 . . . . . . . . . 10 {𝑛, 𝑈} = {𝑈, 𝑛}
76eleq1i 2897 . . . . . . . . 9 ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 ↔ {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
87biimpi 208 . . . . . . . 8 ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
98adantl 475 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
10 prid1g 4513 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
1110adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
1211adantr 474 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
13 eleq2 2895 . . . . . . . 8 (𝑒 = {𝑈, 𝑛} → (𝑈𝑒𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
14 nbusgrf1o1.i . . . . . . . 8 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
1513, 14elrab2 3589 . . . . . . 7 ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ↔ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
169, 12, 15sylanbrc 578 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
1716ex 403 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
185, 17sylbid 232 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
192, 18syl5bi 234 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑛𝑁 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
2019ralrimiv 3174 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ∀𝑛𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
2114rabeq2i 3410 . . . 4 (𝑒𝐼 ↔ (𝑒𝐸𝑈𝑒))
223, 1edgnbusgreu 26664 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑒𝐸𝑈𝑒)) → ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
2321, 22sylan2b 587 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑒𝐼) → ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
2423ralrimiva 3175 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ∀𝑒𝐼 ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
25 nbusgrf1o.f . . 3 𝐹 = (𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
2625f1ompt 6630 . 2 (𝐹:𝑁1-1-onto𝐼 ↔ (∀𝑛𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑒𝐼 ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛}))
2720, 24, 26sylanbrc 578 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝐹:𝑁1-1-onto𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  ∃!wreu 3119  {crab 3121  {cpr 4399   ↦ cmpt 4952  –1-1-onto→wf1o 6122  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Vtxcvtx 26294  Edgcedg 26345  USGraphcusgr 26448   NeighbVtx cnbgr 26629 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-hash 13411  df-edg 26346  df-upgr 26380  df-umgr 26381  df-uspgr 26449  df-usgr 26450  df-nbgr 26630 This theorem is referenced by:  nbusgrf1o1  26668
 Copyright terms: Public domain W3C validator