Theorem nbusgrf1o0 29391

Description: The mapping of neighbors of a vertex to edges incident to the vertex is a bijection ( 1-1 onto function) in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbusgrf1o1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i	⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}
nbusgrf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})

Assertion

Ref	Expression
nbusgrf1o0	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑁–1-1-onto→𝐼)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒   𝑛,𝐸   𝑒,𝐺,𝑛   𝑒,𝐼,𝑛   𝑒,𝑁,𝑛   𝑈,𝑛   𝑒,𝑉,𝑛   𝑒,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem nbusgrf1o0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbusgrf1o1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
2	1	eleq2i 2826	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑁 ↔ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
3		nbusgrf1o1.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	3	nbusgreledg 29375	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
6		prcom 4687	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛, 𝑈} = {𝑈, 𝑛}
7	6	eleq1i 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 ↔ {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
8	7	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
10		prid1g 4715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
13		eleq2 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {𝑈, 𝑛} → (𝑈 ∈ 𝑒 ↔ 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
14		nbusgrf1o1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}
15	13, 14	elrab2 3647	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ↔ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
16	9, 12, 15	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
17	16	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
18	5, 17	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
19	2, 18	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ 𝑁 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
20	19	ralrimiv 3125	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
21	14	reqabi 3420	. . . 4 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐼 ↔ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑒))
22	3, 1	edgnbusgreu 29389	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑒)) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
23	21, 22	sylan2b 594	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
24	23	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∀𝑒 ∈ 𝐼 ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
25		nbusgrf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
26	25	f1ompt 7054	. 2 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝐼 ↔ (∀𝑛 ∈ 𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐼 ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛}))
27	20, 24, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑁–1-1-onto→𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃!wreu 3346  {crab 3397  {cpr 4580   ↦ cmpt 5177  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Vtxcvtx 29018  Edgcedg 29069  USGraphcusgr 29171   NeighbVtx cnbgr 29354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-hash 14252  df-edg 29070  df-upgr 29104  df-umgr 29105  df-uspgr 29172  df-usgr 29173  df-nbgr 29355

This theorem is referenced by:  nbusgrf1o1  29392