Theorem nbusgrf1o0 29353

Description: The mapping of neighbors of a vertex to edges incident to the vertex is a bijection ( 1-1 onto function) in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbusgrf1o1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i	⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}
nbusgrf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})

Assertion

Ref	Expression
nbusgrf1o0	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑁–1-1-onto→𝐼)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒   𝑛,𝐸   𝑒,𝐺,𝑛   𝑒,𝐼,𝑛   𝑒,𝑁,𝑛   𝑈,𝑛   𝑒,𝑉,𝑛   𝑒,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem nbusgrf1o0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbusgrf1o1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
2	1	eleq2i 2827	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑁 ↔ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
3		nbusgrf1o1.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	3	nbusgreledg 29337	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
6		prcom 4713	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛, 𝑈} = {𝑈, 𝑛}
7	6	eleq1i 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 ↔ {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
8	7	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
10		prid1g 4741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
13		eleq2 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {𝑈, 𝑛} → (𝑈 ∈ 𝑒 ↔ 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
14		nbusgrf1o1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}
15	13, 14	elrab2 3679	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ↔ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
16	9, 12, 15	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
17	16	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
18	5, 17	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
19	2, 18	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ 𝑁 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
20	19	ralrimiv 3132	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
21	14	reqabi 3444	. . . 4 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐼 ↔ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑒))
22	3, 1	edgnbusgreu 29351	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑒)) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
23	21, 22	sylan2b 594	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
24	23	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∀𝑒 ∈ 𝐼 ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
25		nbusgrf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
26	25	f1ompt 7106	. 2 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝐼 ↔ (∀𝑛 ∈ 𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐼 ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛}))
27	20, 24, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑁–1-1-onto→𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃!wreu 3362  {crab 3420  {cpr 4608   ↦ cmpt 5206  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Vtxcvtx 28980  Edgcedg 29031  USGraphcusgr 29133   NeighbVtx cnbgr 29316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-hash 14354  df-edg 29032  df-upgr 29066  df-umgr 29067  df-uspgr 29134  df-usgr 29135  df-nbgr 29317

This theorem is referenced by:  nbusgrf1o1  29354