Theorem nbusgrf1o0 29959

Description: The mapping of neighbors of a vertex to edges incident to the vertex is a bijection ( 1-1 onto function) in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbusgrf1o1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i	⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}
nbusgrf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})

Assertion

Ref	Expression
nbusgrf1o0	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑁–1-1-onto→𝐼)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒   𝑛,𝐸   𝑒,𝐺,𝑛   𝑒,𝐼,𝑛   𝑒,𝑁,𝑛   𝑈,𝑛   𝑒,𝑉,𝑛   𝑒,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem nbusgrf1o0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbusgrf1o1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
2	1	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑁 ↔ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
3		nbusgrf1o1.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	3	nbusgreledg 29943	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
6		prcom 4689	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑛, 𝑈} = {𝑈, 𝑛}
7	6	eleq1i 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 ↔ {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
8	7	bilani 510	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
9		prid1g 4717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
10	9	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
12		eleq2 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {𝑈, 𝑛} → (𝑈 ∈ 𝑒 ↔ 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
13		nbusgrf1o1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}
14	12, 13	elrab2 3648	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ↔ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
15	8, 11, 14	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
16	15	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
17	5, 16	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
18	2, 17	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ 𝑁 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
19	18	ralrimiv 3153	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
20	13	reqabi 3434	. . . 4 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐼 ↔ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑒))
21	3, 1	edgnbusgreu 29957	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑒)) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
22	20, 21	sylan2b 606	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
23	22	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∀𝑒 ∈ 𝐼 ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
24		nbusgrf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
25	24	f1ompt 7116	. 2 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝐼 ↔ (∀𝑛 ∈ 𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐼 ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛}))
26	19, 23, 25	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑁–1-1-onto→𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃!wreu 3363  {crab 3412  {cpr 4586   ↦ cmpt 5185  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Vtxcvtx 29583  Edgcedg 29634  USGraphcusgr 29739   NeighbVtx cnbgr 29922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-oadd 8488  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-hash 14482  df-edg 29635  df-upgr 29669  df-umgr 29670  df-uspgr 29740  df-usgr 29741  df-nbgr 29923

This theorem is used by:  nbusgrf1o1  29960