Theorem blenpw2m1 49392

Description: The binary length of a power of 2 minus 1 is the exponent. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
blenpw2m1	⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (#b‘((2↑𝐼) − 1)) = 𝐼)

Proof of Theorem blenpw2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12539	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
3		nnnn0 12529	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nn0expcld 14302	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
5		nnge1 12282	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
6		2cnd 12337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
7	6	exp1d 14197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
8	7	eqcomd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 = (2↑1))
9	8	breq1d 5124	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 ≤ (2↑𝐼) ↔ (2↑1) ≤ (2↑𝐼)))
10		2re 12333	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
12		1zzd 12643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
13		nnz 12630	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
14		1lt2 12431	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 < 2)
16	11, 12, 13, 15	leexp2d 14308	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (2↑1) ≤ (2↑𝐼)))
17	9, 16	bitr4d 285	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 ≤ (2↑𝐼) ↔ 1 ≤ 𝐼))
18	5, 17	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≤ (2↑𝐼))
19		nn0ge2m1nn 12592	. . . 4 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (2↑𝐼)) → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
20	4, 18, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
21		blennn 49388	. . 3 ⊢ (((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ → (#b‘((2↑𝐼) − 1)) = ((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) + 1))
22	20, 21	syl 18	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (#b‘((2↑𝐼) − 1)) = ((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) + 1))
23		logbpw2m1 49380	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
24	23	oveq1d 7438	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) + 1) = ((𝐼 − 1) + 1))
25		nncn 12259	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
26		npcan1 11657	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
27	25, 26	syl 18	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
28	22, 24, 27	3eqtrd 2805	1 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (#b‘((2↑𝐼) − 1)) = 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  1c1 11119   + caddc 11121   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  ℕcn 12251  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ⌊cfl 13843  ↑cexp 14117   log_b clogb 26959  #_bcblen 49382

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-submnd 18867  df-mulg 19159  df-cntz 19412  df-cmn 19877  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-lp 23323  df-perf 23324  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-haus 23502  df-tx 23749  df-hmeo 23942  df-fil 24033  df-fm 24125  df-flim 24126  df-flf 24127  df-xms 24507  df-ms 24508  df-tms 24509  df-cncf 25067  df-limc 26055  df-dv 26056  df-log 26751  df-cxp 26752  df-logb 26960  df-blen 49383

This theorem is used by: (None)