Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnolog2flm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnolog2flm1 44157
Description: The floor of the binary logarithm of an odd integer greater than 1 is the floor of the binary logarithm of the integer decreased by 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnolog2flm1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem nnolog2flm1
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12138 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnpw2blenfzo2 44149 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁)))))
31, 2syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁)))))
41adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 nneo 11920 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
65bicomd 224 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
74, 6syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
8 notnotb 316 . . . . . . . 8 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
97, 8syl6bb 288 . . . . . . 7 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
109con4bid 318 . . . . . 6 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
11 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)))
1211oveq1d 7036 . . . . . . . 8 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / 2) = ((2↑((#b𝑁) − 1)) / 2))
13 blennnelnn 44143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℕ)
1413nnnn0d 11808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℕ0)
151, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) ∈ ℕ0)
16 2m1e1 11616 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
17 2cn 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
18 2ne0 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
19 1ne2 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≠ 2
2019necomi 3038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 1
21 logbid1 25032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
2217, 18, 20, 21mp3an 1453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 logb 2) = 1
23 eluzle 12111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
24 2z 11868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℤ
25 uzid 12113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ (ℤ‘2))
27 2rp 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ+
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ+)
291nnrpd 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ+)
30 logbleb 25047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
3126, 28, 29, 30syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
3223, 31mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁))
3322, 32eqbrtrrid 5002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ (2 logb 𝑁))
3420a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≠ 1)
35 relogbcl 25037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
3628, 29, 34, 35syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
37 1zzd 11867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℤ)
38 flge 13030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
4033, 39mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
4116, 40eqbrtrid 5001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
42 2re 11564 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
44 1red 10493 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
4536flcld 13023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
4645zred 11941 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
4743, 44, 46lesubaddd 11090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ↔ 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
4841, 47mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
49 blennn 44142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
501, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
5148, 50breqtrrd 4994 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ (#b𝑁))
52 nn0ge2m1nn 11817 . . . . . . . . . . 11 (((#b𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#b𝑁)) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ)
5315, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ)
5453adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ)
55 nnpw2even 44096 . . . . . . . . 9 (((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((2↑((#b𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
5712, 56eqeltrd 2883 . . . . . . 7 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
5857pm2.24d 154 . . . . . 6 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
5910, 58sylbid 241 . . . . 5 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
6059ex 413 . . . 4 (𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
611, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) ∈ ℕ)
62 nnm1nn0 11791 . . . . . . . . 9 ((#b𝑁) ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6463ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
651ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
66 nnpw2blenfzo 44148 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(#b𝑁))))
6765, 66syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(#b𝑁))))
6861nncnd 11507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) ∈ ℂ)
6968ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b𝑁) ∈ ℂ)
70 npcan1 10918 . . . . . . . . . . 11 ((#b𝑁) ∈ ℂ → (((#b𝑁) − 1) + 1) = (#b𝑁))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (((#b𝑁) − 1) + 1) = (#b𝑁))
7271oveq2d 7037 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b𝑁)))
7372oveq2d 7037 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))) = ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(#b𝑁))))
7467, 73eleqtrrd 2886 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
75 fllog2 44135 . . . . . . 7 ((((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b𝑁) − 1))
7664, 74, 75syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b𝑁) − 1))
7761ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b𝑁) ∈ ℕ)
7877, 62syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
79 elfzo2 12896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
80 eluz2 12104 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)) ↔ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁))
81803anbi1i 1150 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ↔ ((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
8279, 81bitri 276 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ↔ ((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
83 2nn 11563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ)
8584, 63jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
8685adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
87 nnexpcl 13297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℕ ∧ ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
8988nnzd 11940 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
90 peano2zm 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
91903ad2ant2 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9484, 63nnexpcld 13461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
9594nnred 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
961nnred 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
97 leaddsub 10969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
9895, 44, 96, 97syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
9998biimpcd 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
100993ad2ant3 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
101100adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
102101imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1))
103 eluz2 12104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
10489, 93, 102, 103syl3anbrc 1336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))))
10570eleq1d 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#b𝑁) ∈ ℂ → ((((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b𝑁) ∈ ℕ0))
10668, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b𝑁) ∈ ℕ0))
10715, 106mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0)
10884, 107jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
109108adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
110 nnexpcl 13297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℕ ∧ (((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
112111nnzd 11940 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ)
113 ltle 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑁 < (2↑(#b𝑁)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁))))
114 nnre 11498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
11542a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
116115, 14reexpcld 13382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(#b𝑁)) ∈ ℝ)
117114, 116jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℝ))
1181, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℝ))
119113, 118syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 < (2↑(#b𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁))))
120119adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁))))
121120imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁)))
122 simpll2 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12384, 15nnexpcld 13461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(#b𝑁)) ∈ ℕ)
124123nnzd 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ)
125124adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ)
126 zlem1lt 11888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b𝑁))))
127122, 125, 126syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b𝑁))))
128121, 127mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(#b𝑁)))
12968, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((#b𝑁) − 1) + 1) = (#b𝑁))
130129oveq2d 7037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b𝑁)))
131130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b𝑁)))
132128, 131breqtrrd 4994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))
133104, 112, 1323jca 1121 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
134133ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))))
1351343adant2 1124 . . . . . . . . . . 11 (((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))))
13682, 135sylbi 218 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))))
137136imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
138 elfzo2 12896 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
139137, 138sylibr 235 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
140139adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
141 fllog2 44135 . . . . . . 7 ((((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b𝑁) − 1))
14278, 140, 141syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b𝑁) − 1))
14376, 142eqtr4d 2834 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
144143exp31 420 . . . 4 (𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
14560, 144jaoi 852 . . 3 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁)))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
1463, 145mpcom 38 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
147146imp 407 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984   class class class wbr 4966  cfv 6230  (class class class)co 7021  cc 10386  cr 10387  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391   < clt 10526  cle 10527  cmin 10722   / cdiv 11150  cn 11491  2c2 11545  0cn0 11750  cz 11834  cuz 12098  +crp 12244  ..^cfzo 12888  cfl 13015  cexp 13284   logb clogb 25028  #bcblen 44136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467  ax-mulf 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-fi 8726  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ioo 12597  df-ioc 12598  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-mod 13093  df-seq 13225  df-exp 13285  df-fac 13489  df-bc 13518  df-hash 13546  df-shft 14265  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-limsup 14667  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882  df-ef 15259  df-sin 15261  df-cos 15262  df-pi 15264  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-starv 16414  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-unif 16422  df-hom 16423  df-cco 16424  df-rest 16530  df-topn 16531  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-topgen 16551  df-pt 16552  df-prds 16555  df-xrs 16609  df-qtop 16614  df-imas 16615  df-xps 16617  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-submnd 17780  df-mulg 17987  df-cntz 18193  df-cmn 18640  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-mopn 20228  df-fbas 20229  df-fg 20230  df-cnfld 20233  df-top 21191  df-topon 21208  df-topsp 21230  df-bases 21243  df-cld 21316  df-ntr 21317  df-cls 21318  df-nei 21395  df-lp 21433  df-perf 21434  df-cn 21524  df-cnp 21525  df-haus 21612  df-tx 21859  df-hmeo 22052  df-fil 22143  df-fm 22235  df-flim 22236  df-flf 22237  df-xms 22618  df-ms 22619  df-tms 22620  df-cncf 23174  df-limc 24152  df-dv 24153  df-log 24826  df-cxp 24827  df-logb 25029  df-blen 44137
This theorem is referenced by:  blennngt2o2  44159
  Copyright terms: Public domain W3C validator