Theorem nnolog2flm1 49066

Description: The floor of the binary logarithm of an odd integer greater than 1 is the floor of the binary logarithm of the integer decreased by 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnolog2flm1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem nnolog2flm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12838	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnpw2blenfzo2 49058	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁)))))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁)))))
4	1	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		nneo 12613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
6	5	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
8		notnotb 315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
9	7, 8	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
10	9	con4bid 317	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
11		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)))
12	11	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 / 2) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) / 2))
13		blennnelnn 49052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
14	13	nnnn0d 12498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ0)
15	1, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) ∈ ℕ0)
16		2m1e1 12302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
17		2cn 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		2ne0 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
19		1ne2 12384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ≠ 2
20	19	necomi 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 1
21		logbid1 26732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
22	17, 18, 20, 21	mp3an 1464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 logb 2) = 1
23		eluzle 12801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
24		2z 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℤ
25		uzid 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
27		2rp 12947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
29	1	nnrpd 12984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ+)
30		logbleb 26747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
32	23, 31	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁))
33	22, 32	eqbrtrrid 5121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (2 logb 𝑁))
34	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≠ 1)
35		relogbcl 26737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
36	28, 29, 34, 35	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
37		1zzd 12558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℤ)
38		flge 13764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
39	36, 37, 38	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
40	33, 39	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
41	16, 40	eqbrtrid 5120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
42		2re 12255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
44		1red 11145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
45	36	flcld 13757	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
46	45	zred 12633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
47	43, 44, 46	lesubaddd 11747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ↔ 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
48	41, 47	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
49		blennn 49051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
50	1, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
51	48, 50	breqtrrd 5113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ (#b‘𝑁))
52		nn0ge2m1nn 12507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#b‘𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#b‘𝑁)) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ)
53	15, 51, 52	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ)
55		nnpw2even 49005	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
57	12, 56	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
58	57	pm2.24d 151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
59	10, 58	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
60	59	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
61	1, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
62		nnm1nn0 12478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
64	63	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
65	1	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
66		nnpw2blenfzo 49057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(#b‘𝑁))))
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(#b‘𝑁))))
68	61	nncnd 12190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) ∈ ℂ)
69	68	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b‘𝑁) ∈ ℂ)
70		npcan1 11575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℂ → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
72	71	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b‘𝑁)))
73	72	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(#b‘𝑁))))
74	67, 73	eleqtrrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
75		fllog2 49044	. . . . . . 7 ⊢ ((((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b‘𝑁) − 1))
76	64, 74, 75	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b‘𝑁) − 1))
77	61	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
78	77, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
79		elfzo2 13616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
80		eluz2 12794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)) ↔ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁))
81	80	3anbi1i 1158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ↔ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
82	79, 81	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ↔ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
83		2nn 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ)
85	84, 63	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
87		nnexpcl 14036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
89	88	nnzd 12550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
90		peano2zm 12570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
91	90	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
94	84, 63	nnexpcld 14207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
95	94	nnred 12189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
96	1	nnred 12189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
97		leaddsub 11626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
98	95, 44, 96, 97	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
99	98	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
100	99	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
102	101	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1))
103		eluz2 12794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
104	89, 93, 102, 103	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))))
105	70	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℂ → ((((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b‘𝑁) ∈ ℕ0))
106	68, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b‘𝑁) ∈ ℕ0))
107	15, 106	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0)
108	84, 107	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
109	108	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
110		nnexpcl 14036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
112	111	nnzd 12550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ)
113		ltle 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁))))
114		nnre 12181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
115	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
116	115, 14	reexpcld 14125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ)
117	114, 116	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ))
118	1, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ))
119	113, 118	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁))))
120	119	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁))))
121	120	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁)))
122		simpll2 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
123	84, 15	nnexpcld 14207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℕ)
124	123	nnzd 12550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ)
125	124	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ)
126		zlem1lt 12579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b‘𝑁))))
127	122, 125, 126	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b‘𝑁))))
128	121, 127	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(#b‘𝑁)))
129	68, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
130	129	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b‘𝑁)))
131	130	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b‘𝑁)))
132	128, 131	breqtrrd 5113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))
133	104, 112, 132	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
134	133	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))))
135	134	3adant2 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))))
136	82, 135	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))))
137	136	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
138		elfzo2 13616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
139	137, 138	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
140	139	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
141		fllog2 49044	. . . . . . 7 ⊢ ((((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b‘𝑁) − 1))
142	78, 140, 141	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b‘𝑁) − 1))
143	76, 142	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
144	143	exp31 419	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
145	60, 144	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁)))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
146	3, 145	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
147	146	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℝ⁺crp 12942  ..^cfzo 13608  ⌊cfl 13749  ↑cexp 14023   log_b clogb 26728  #_bcblen 49045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-cxp 26521  df-logb 26729  df-blen 49046

This theorem is referenced by:  blennngt2o2  49068