Theorem nnolog2flm1 46666

Description: The floor of the binary logarithm of an odd integer greater than 1 is the floor of the binary logarithm of the integer decreased by 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnolog2flm1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem nnolog2flm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12809	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnpw2blenfzo2 46658	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁)))))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁)))))
4	1	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		nneo 12587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
6	5	bicomd 222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
8		notnotb 314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
9	7, 8	bitrdi 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
10	9	con4bid 316	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
11		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)))
12	11	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 / 2) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) / 2))
13		blennnelnn 46652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
14	13	nnnn0d 12473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ0)
15	1, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) ∈ ℕ0)
16		2m1e1 12279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
17		2cn 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		2ne0 12257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
19		1ne2 12361	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ≠ 2
20	19	necomi 2998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 1
21		logbid1 26118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
22	17, 18, 20, 21	mp3an 1461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 logb 2) = 1
23		eluzle 12776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
24		2z 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℤ
25		uzid 12778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
27		2rp 12920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
29	1	nnrpd 12955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ+)
30		logbleb 26133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
32	23, 31	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁))
33	22, 32	eqbrtrrid 5141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (2 logb 𝑁))
34	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≠ 1)
35		relogbcl 26123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
36	28, 29, 34, 35	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
37		1zzd 12534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℤ)
38		flge 13710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
39	36, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
40	33, 39	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
41	16, 40	eqbrtrid 5140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
42		2re 12227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
44		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
45	36	flcld 13703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
46	45	zred 12607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
47	43, 44, 46	lesubaddd 11752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ↔ 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
48	41, 47	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
49		blennn 46651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
50	1, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
51	48, 50	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ (#b‘𝑁))
52		nn0ge2m1nn 12482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#b‘𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#b‘𝑁)) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ)
53	15, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ)
54	53	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ)
55		nnpw2even 46605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
57	12, 56	eqeltrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
58	57	pm2.24d 151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
59	10, 58	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
60	59	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
61	1, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
62		nnm1nn0 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
64	63	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
65	1	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
66		nnpw2blenfzo 46657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(#b‘𝑁))))
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(#b‘𝑁))))
68	61	nncnd 12169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) ∈ ℂ)
69	68	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b‘𝑁) ∈ ℂ)
70		npcan1 11580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℂ → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
72	71	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b‘𝑁)))
73	72	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(#b‘𝑁))))
74	67, 73	eleqtrrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
75		fllog2 46644	. . . . . . 7 ⊢ ((((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b‘𝑁) − 1))
76	64, 74, 75	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b‘𝑁) − 1))
77	61	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
78	77, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
79		elfzo2 13575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
80		eluz2 12769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)) ↔ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁))
81	80	3anbi1i 1157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ↔ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
82	79, 81	bitri 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ↔ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
83		2nn 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ)
85	84, 63	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
87		nnexpcl 13980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
89	88	nnzd 12526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
90		peano2zm 12546	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
91	90	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
94	84, 63	nnexpcld 14148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
95	94	nnred 12168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
96	1	nnred 12168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
97		leaddsub 11631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
98	95, 44, 96, 97	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
99	98	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
100	99	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
102	101	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1))
103		eluz2 12769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
104	89, 93, 102, 103	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))))
105	70	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℂ → ((((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b‘𝑁) ∈ ℕ0))
106	68, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b‘𝑁) ∈ ℕ0))
107	15, 106	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0)
108	84, 107	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
109	108	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
110		nnexpcl 13980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
112	111	nnzd 12526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ)
113		ltle 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁))))
114		nnre 12160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
115	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
116	115, 14	reexpcld 14068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ)
117	114, 116	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ))
118	1, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ))
119	113, 118	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁))))
120	119	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁))))
121	120	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁)))
122		simpll2 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
123	84, 15	nnexpcld 14148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℕ)
124	123	nnzd 12526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ)
125	124	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ)
126		zlem1lt 12555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b‘𝑁))))
127	122, 125, 126	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b‘𝑁))))
128	121, 127	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(#b‘𝑁)))
129	68, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
130	129	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b‘𝑁)))
131	130	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b‘𝑁)))
132	128, 131	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))
133	104, 112, 132	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
134	133	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))))
135	134	3adant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))))
136	82, 135	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))))
137	136	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
138		elfzo2 13575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
139	137, 138	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
140	139	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
141		fllog2 46644	. . . . . . 7 ⊢ ((((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b‘𝑁) − 1))
142	78, 140, 141	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b‘𝑁) − 1))
143	76, 142	eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
144	143	exp31 420	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
145	60, 144	jaoi 855	. . 3 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁)))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
146	3, 145	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
147	146	imp 407	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12915  ..^cfzo 13567  ⌊cfl 13695  ↑cexp 13967   log_b clogb 26114  #_bcblen 46645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-logb 26115  df-blen 46646

This theorem is referenced by:  blennngt2o2  46668