Theorem nnolog2flm1 48579

Description: The floor of the binary logarithm of an odd integer greater than 1 is the floor of the binary logarithm of the integer decreased by 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnolog2flm1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem nnolog2flm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12847	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnpw2blenfzo2 48571	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁)))))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁)))))
4	1	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		nneo 12618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
6	5	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
8		notnotb 315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
9	7, 8	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
10	9	con4bid 317	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
11		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)))
12	11	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 / 2) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) / 2))
13		blennnelnn 48565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
14	13	nnnn0d 12503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ0)
15	1, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) ∈ ℕ0)
16		2m1e1 12307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
17		2cn 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		2ne0 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
19		1ne2 12389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ≠ 2
20	19	necomi 2979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 1
21		logbid1 26678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
22	17, 18, 20, 21	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 logb 2) = 1
23		eluzle 12806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
24		2z 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℤ
25		uzid 12808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
27		2rp 12956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
29	1	nnrpd 12993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ+)
30		logbleb 26693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
32	23, 31	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁))
33	22, 32	eqbrtrrid 5143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (2 logb 𝑁))
34	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≠ 1)
35		relogbcl 26683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
36	28, 29, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
37		1zzd 12564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℤ)
38		flge 13767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
39	36, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
40	33, 39	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
41	16, 40	eqbrtrid 5142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
42		2re 12260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
44		1red 11175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
45	36	flcld 13760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
46	45	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
47	43, 44, 46	lesubaddd 11775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ↔ 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
48	41, 47	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
49		blennn 48564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
50	1, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
51	48, 50	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ (#b‘𝑁))
52		nn0ge2m1nn 12512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#b‘𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#b‘𝑁)) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ)
53	15, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ)
55		nnpw2even 48518	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
57	12, 56	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
58	57	pm2.24d 151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
59	10, 58	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
60	59	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
61	1, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
62		nnm1nn0 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
64	63	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
65	1	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
66		nnpw2blenfzo 48570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(#b‘𝑁))))
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(#b‘𝑁))))
68	61	nncnd 12202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) ∈ ℂ)
69	68	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b‘𝑁) ∈ ℂ)
70		npcan1 11603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℂ → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
72	71	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b‘𝑁)))
73	72	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(#b‘𝑁))))
74	67, 73	eleqtrrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
75		fllog2 48557	. . . . . . 7 ⊢ ((((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b‘𝑁) − 1))
76	64, 74, 75	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b‘𝑁) − 1))
77	61	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
78	77, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
79		elfzo2 13623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
80		eluz2 12799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)) ↔ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁))
81	80	3anbi1i 1157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ↔ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
82	79, 81	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ↔ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
83		2nn 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ)
85	84, 63	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
87		nnexpcl 14039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
89	88	nnzd 12556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
90		peano2zm 12576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
91	90	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
94	84, 63	nnexpcld 14210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
95	94	nnred 12201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
96	1	nnred 12201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
97		leaddsub 11654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
98	95, 44, 96, 97	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
99	98	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
100	99	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
102	101	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1))
103		eluz2 12799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
104	89, 93, 102, 103	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))))
105	70	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℂ → ((((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b‘𝑁) ∈ ℕ0))
106	68, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b‘𝑁) ∈ ℕ0))
107	15, 106	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0)
108	84, 107	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
109	108	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
110		nnexpcl 14039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
112	111	nnzd 12556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ)
113		ltle 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁))))
114		nnre 12193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
115	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
116	115, 14	reexpcld 14128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ)
117	114, 116	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ))
118	1, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ))
119	113, 118	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁))))
120	119	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁))))
121	120	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁)))
122		simpll2 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
123	84, 15	nnexpcld 14210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℕ)
124	123	nnzd 12556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ)
125	124	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ)
126		zlem1lt 12585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b‘𝑁))))
127	122, 125, 126	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b‘𝑁))))
128	121, 127	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(#b‘𝑁)))
129	68, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
130	129	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b‘𝑁)))
131	130	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b‘𝑁)))
132	128, 131	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))
133	104, 112, 132	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
134	133	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))))
135	134	3adant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))))
136	82, 135	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))))
137	136	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
138		elfzo2 13623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
139	137, 138	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
140	139	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
141		fllog2 48557	. . . . . . 7 ⊢ ((((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b‘𝑁) − 1))
142	78, 140, 141	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b‘𝑁) − 1))
143	76, 142	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
144	143	exp31 419	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
145	60, 144	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁)))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
146	3, 145	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
147	146	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ℝ⁺crp 12951  ..^cfzo 13615  ⌊cfl 13752  ↑cexp 14026   log_b clogb 26674  #_bcblen 48558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-cxp 26466  df-logb 26675  df-blen 48559

This theorem is referenced by:  blennngt2o2  48581