Theorem nnolog2flm1 44157

Description: The floor of the binary logarithm of an odd integer greater than 1 is the floor of the binary logarithm of the integer decreased by 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnolog2flm1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem nnolog2flm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12138	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnpw2blenfzo2 44149	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁)))))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁)))))
4	1	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		nneo 11920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
6	5	bicomd 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
8		notnotb 316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
9	7, 8	syl6bb 288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
10	9	con4bid 318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
11		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)))
12	11	oveq1d 7036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 / 2) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) / 2))
13		blennnelnn 44143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
14	13	nnnn0d 11808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ0)
15	1, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) ∈ ℕ0)
16		2m1e1 11616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
17		2cn 11565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		2ne0 11594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
19		1ne2 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ≠ 2
20	19	necomi 3038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 1
21		logbid1 25032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
22	17, 18, 20, 21	mp3an 1453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 logb 2) = 1
23		eluzle 12111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
24		2z 11868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℤ
25		uzid 12113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
27		2rp 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
29	1	nnrpd 12284	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ+)
30		logbleb 25047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
32	23, 31	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁))
33	22, 32	eqbrtrrid 5002	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (2 logb 𝑁))
34	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≠ 1)
35		relogbcl 25037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
36	28, 29, 34, 35	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
37		1zzd 11867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℤ)
38		flge 13030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
39	36, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
40	33, 39	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
41	16, 40	eqbrtrid 5001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
42		2re 11564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
44		1red 10493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
45	36	flcld 13023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
46	45	zred 11941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
47	43, 44, 46	lesubaddd 11090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ↔ 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
48	41, 47	mpbid 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
49		blennn 44142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
50	1, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
51	48, 50	breqtrrd 4994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ (#b‘𝑁))
52		nn0ge2m1nn 11817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#b‘𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#b‘𝑁)) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ)
53	15, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ)
54	53	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ)
55		nnpw2even 44096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
57	12, 56	eqeltrd 2883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
58	57	pm2.24d 154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
59	10, 58	sylbid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
60	59	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
61	1, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
62		nnm1nn0 11791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
64	63	ad2antlr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
65	1	ad2antlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
66		nnpw2blenfzo 44148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(#b‘𝑁))))
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(#b‘𝑁))))
68	61	nncnd 11507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) ∈ ℂ)
69	68	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b‘𝑁) ∈ ℂ)
70		npcan1 10918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℂ → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
72	71	oveq2d 7037	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b‘𝑁)))
73	72	oveq2d 7037	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(#b‘𝑁))))
74	67, 73	eleqtrrd 2886	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
75		fllog2 44135	. . . . . . 7 ⊢ ((((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b‘𝑁) − 1))
76	64, 74, 75	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b‘𝑁) − 1))
77	61	ad2antlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
78	77, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
79		elfzo2 12896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
80		eluz2 12104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)) ↔ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁))
81	80	3anbi1i 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ↔ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
82	79, 81	bitri 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ↔ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
83		2nn 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ)
85	84, 63	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
87		nnexpcl 13297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
89	88	nnzd 11940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
90		peano2zm 11879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
91	90	3ad2ant2 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
94	84, 63	nnexpcld 13461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
95	94	nnred 11506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
96	1	nnred 11506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
97		leaddsub 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
98	95, 44, 96, 97	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
99	98	biimpcd 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
100	99	3ad2ant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
102	101	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1))
103		eluz2 12104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
104	89, 93, 102, 103	syl3anbrc 1336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))))
105	70	eleq1d 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℂ → ((((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b‘𝑁) ∈ ℕ0))
106	68, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b‘𝑁) ∈ ℕ0))
107	15, 106	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0)
108	84, 107	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
109	108	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
110		nnexpcl 13297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
112	111	nnzd 11940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ)
113		ltle 10581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁))))
114		nnre 11498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
115	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
116	115, 14	reexpcld 13382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ)
117	114, 116	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ))
118	1, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ))
119	113, 118	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁))))
120	119	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁))))
121	120	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁)))
122		simpll2 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
123	84, 15	nnexpcld 13461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℕ)
124	123	nnzd 11940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ)
125	124	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ)
126		zlem1lt 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b‘𝑁))))
127	122, 125, 126	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b‘𝑁))))
128	121, 127	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(#b‘𝑁)))
129	68, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
130	129	oveq2d 7037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b‘𝑁)))
131	130	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b‘𝑁)))
132	128, 131	breqtrrd 4994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))
133	104, 112, 132	3jca 1121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
134	133	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))))
135	134	3adant2 1124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))))
136	82, 135	sylbi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))))
137	136	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
138		elfzo2 12896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
139	137, 138	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
140	139	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
141		fllog2 44135	. . . . . . 7 ⊢ ((((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b‘𝑁) − 1))
142	78, 140, 141	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b‘𝑁) − 1))
143	76, 142	eqtr4d 2834	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
144	143	exp31 420	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
145	60, 144	jaoi 852	. . 3 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁)))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
146	3, 145	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
147	146	imp 407	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984   class class class wbr 4966  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  ℂcc 10386  ℝcr 10387  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391   < clt 10526   ≤ cle 10527   − cmin 10722   / cdiv 11150  ℕcn 11491  2c2 11545  ℕ₀cn0 11750  ℤcz 11834  ℤ_≥cuz 12098  ℝ⁺crp 12244  ..^cfzo 12888  ⌊cfl 13015  ↑cexp 13284   log_b clogb 25028  #_bcblen 44136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467  ax-mulf 10468

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-fi 8726  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ioo 12597  df-ioc 12598  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-mod 13093  df-seq 13225  df-exp 13285  df-fac 13489  df-bc 13518  df-hash 13546  df-shft 14265  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-limsup 14667  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882  df-ef 15259  df-sin 15261  df-cos 15262  df-pi 15264  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-starv 16414  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-unif 16422  df-hom 16423  df-cco 16424  df-rest 16530  df-topn 16531  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-topgen 16551  df-pt 16552  df-prds 16555  df-xrs 16609  df-qtop 16614  df-imas 16615  df-xps 16617  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-submnd 17780  df-mulg 17987  df-cntz 18193  df-cmn 18640  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-mopn 20228  df-fbas 20229  df-fg 20230  df-cnfld 20233  df-top 21191  df-topon 21208  df-topsp 21230  df-bases 21243  df-cld 21316  df-ntr 21317  df-cls 21318  df-nei 21395  df-lp 21433  df-perf 21434  df-cn 21524  df-cnp 21525  df-haus 21612  df-tx 21859  df-hmeo 22052  df-fil 22143  df-fm 22235  df-flim 22236  df-flf 22237  df-xms 22618  df-ms 22619  df-tms 22620  df-cncf 23174  df-limc 24152  df-dv 24153  df-log 24826  df-cxp 24827  df-logb 25029  df-blen 44137

This theorem is referenced by:  blennngt2o2  44159