Theorem nnolog2flm1 49217

Description: The floor of the binary logarithm of an odd integer greater than 1 is the floor of the binary logarithm of the integer decreased by 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnolog2flm1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem nnolog2flm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12891	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnpw2blenfzo2 49209	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁)))))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁)))))
4	1	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		nneo 12659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
6	5	bicomd 225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
8		notnotb 317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
9	7, 8	bitrdi 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
10	9	con4bid 319	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
11		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)))
12	11	oveq1d 7413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 / 2) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) / 2))
13		blennnelnn 49203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
14	13	nnnn0d 12544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ0)
15	1, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) ∈ ℕ0)
16		2m1e1 12344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
17		2cn 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		2ne0 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
19		1ne2 12430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ≠ 2
20	19	necomi 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 1
21		logbid1 26835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
22	17, 18, 20, 21	mp3an 1484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 logb 2) = 1
23		eluzle 12854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
24		2z 12605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℤ
25		uzid 12856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
27		2rp 13000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
29	1	nnrpd 13037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ+)
30		logbleb 26850	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
32	23, 31	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁))
33	22, 32	eqbrtrrid 5138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (2 logb 𝑁))
34	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≠ 1)
35		relogbcl 26840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
36	28, 29, 34, 35	syl3anc 1392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
37		1zzd 12604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℤ)
38		flge 13817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
39	36, 37, 38	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
40	33, 39	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
41	16, 40	eqbrtrid 5137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
42		2re 12294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
44		1red 11184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
45	36	flcld 13810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
46	45	zred 12679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
47	43, 44, 46	lesubaddd 11786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ↔ 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
48	41, 47	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
49		blennn 49202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
50	1, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
51	48, 50	breqtrrd 5130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ (#b‘𝑁))
52		nn0ge2m1nn 12553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#b‘𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#b‘𝑁)) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ)
53	15, 51, 52	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ)
54	53	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ)
55		nnpw2even 49156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
57	12, 56	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
58	57	pm2.24d 151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
59	10, 58	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
60	59	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
61	1, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
62		nnm1nn0 12524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
64	63	ad2antlr 737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
65	1	ad2antlr 737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
66		nnpw2blenfzo 49208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(#b‘𝑁))))
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(#b‘𝑁))))
68	61	nncnd 12228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) ∈ ℂ)
69	68	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b‘𝑁) ∈ ℂ)
70		npcan1 11614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℂ → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
72	71	oveq2d 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b‘𝑁)))
73	72	oveq2d 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(#b‘𝑁))))
74	67, 73	eleqtrrd 2867	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
75		fllog2 49195	. . . . . . 7 ⊢ ((((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b‘𝑁) − 1))
76	64, 74, 75	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b‘𝑁) − 1))
77	61	ad2antlr 737	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
78	77, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
79		elfzo2 13669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
80		eluz2 12847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)) ↔ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁))
81	80	3anbi1i 1171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ↔ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
82	79, 81	bitri 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ↔ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
83		2nn 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ)
85	84, 63	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
86	85	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
87		nnexpcl 14089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
89	88	nnzd 12596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
90		peano2zm 12616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
91	90	3ad2ant2 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
92	91	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
93	92	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
94	84, 63	nnexpcld 14260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
95	94	nnred 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
96	1	nnred 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
97		leaddsub 11665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
98	95, 44, 96, 97	syl3anc 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
99	98	biimpcd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
100	99	3ad2ant3 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
101	100	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
102	101	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1))
103		eluz2 12847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
104	89, 93, 102, 103	syl3anbrc 1358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))))
105	70	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℂ → ((((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b‘𝑁) ∈ ℕ0))
106	68, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b‘𝑁) ∈ ℕ0))
107	15, 106	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0)
108	84, 107	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
109	108	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
110		nnexpcl 14089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (((#b‘𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
112	111	nnzd 12596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ)
113		ltle 11273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁))))
114		nnre 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
115	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
116	115, 14	reexpcld 14178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ)
117	114, 116	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ))
118	1, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℝ))
119	113, 118	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁))))
120	119	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁))))
121	120	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁)))
122		simpll2 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
123	84, 15	nnexpcld 14260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℕ)
124	123	nnzd 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ)
125	124	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ)
126		zlem1lt 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b‘𝑁))))
127	122, 125, 126	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ≤ (2↑(#b‘𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b‘𝑁))))
128	121, 127	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(#b‘𝑁)))
129	68, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
130	129	oveq2d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b‘𝑁)))
131	130	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b‘𝑁)))
132	128, 131	breqtrrd 5130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))
133	104, 112, 132	3jca 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
134	133	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))))
135	134	3adant2 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))))
136	82, 135	sylbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))))
137	136	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
138		elfzo2 13669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
139	137, 138	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
140	139	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1))))
141		fllog2 49195	. . . . . . 7 ⊢ ((((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b‘𝑁) − 1))..^(2↑(((#b‘𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b‘𝑁) − 1))
142	78, 140, 141	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b‘𝑁) − 1))
143	76, 142	eqtr4d 2802	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
144	143	exp31 423	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
145	60, 144	jaoi 868	. . 3 ⊢ ((𝑁 = (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b‘𝑁)))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
146	3, 145	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
147	146	imp 410	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11218   ≤ cle 11219   − cmin 11416   / cdiv 11846  ℕcn 12212  2c2 12274  ℕ₀cn0 12483  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841  ℝ⁺crp 12995  ..^cfzo 13661  ⌊cfl 13802  ↑cexp 14076   log_b clogb 26831  #_bcblen 49196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14289  df-bc 14318  df-hash 14346  df-shft 15082  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-limsup 15500  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-hom 17312  df-cco 17313  df-rest 17453  df-topn 17454  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-topgen 17474  df-pt 17475  df-prds 17478  df-xrs 17534  df-qtop 17539  df-imas 17540  df-xps 17542  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-mulg 19112  df-cntz 19359  df-cmn 19824  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-fbas 21423  df-fg 21424  df-cnfld 21427  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-cld 23081  df-ntr 23082  df-cls 23083  df-nei 23160  df-lp 23198  df-perf 23199  df-cn 23289  df-cnp 23290  df-haus 23377  df-tx 23624  df-hmeo 23817  df-fil 23908  df-fm 24000  df-flim 24001  df-flf 24002  df-xms 24382  df-ms 24383  df-tms 24384  df-cncf 24942  df-limc 25930  df-dv 25931  df-log 26623  df-cxp 26624  df-logb 26832  df-blen 49197

This theorem is referenced by:  blennngt2o2  49219