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Theorem nnolog2flm1 47771
Description: The floor of the binary logarithm of an odd integer greater than 1 is the floor of the binary logarithm of the integer decreased by 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnolog2flm1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem nnolog2flm1
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12893 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnpw2blenfzo2 47763 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁)))))
31, 2syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁)))))
41adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 nneo 12671 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
65bicomd 222 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
74, 6syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
8 notnotb 314 . . . . . . . 8 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
97, 8bitrdi 286 . . . . . . 7 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
109con4bid 316 . . . . . 6 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
11 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)))
1211oveq1d 7428 . . . . . . . 8 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / 2) = ((2↑((#b𝑁) − 1)) / 2))
13 blennnelnn 47757 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℕ)
1413nnnn0d 12557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℕ0)
151, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) ∈ ℕ0)
16 2m1e1 12363 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
17 2cn 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
18 2ne0 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
19 1ne2 12445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≠ 2
2019necomi 2985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 1
21 logbid1 26713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
2217, 18, 20, 21mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 logb 2) = 1
23 eluzle 12860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
24 2z 12619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℤ
25 uzid 12862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ (ℤ‘2))
27 2rp 13006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ+
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ+)
291nnrpd 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ+)
30 logbleb 26728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
3126, 28, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
3223, 31mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁))
3322, 32eqbrtrrid 5180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ (2 logb 𝑁))
3420a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≠ 1)
35 relogbcl 26718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
3628, 29, 34, 35syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
37 1zzd 12618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℤ)
38 flge 13797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
3936, 37, 38syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
4033, 39mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
4116, 40eqbrtrid 5179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
42 2re 12311 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
44 1red 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
4536flcld 13790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
4645zred 12691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
4743, 44, 46lesubaddd 11836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ↔ 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
4841, 47mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
49 blennn 47756 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
501, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
5148, 50breqtrrd 5172 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ (#b𝑁))
52 nn0ge2m1nn 12566 . . . . . . . . . . 11 (((#b𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#b𝑁)) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ)
5315, 51, 52syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ)
5453adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ)
55 nnpw2even 47710 . . . . . . . . 9 (((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((2↑((#b𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
5712, 56eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
5857pm2.24d 151 . . . . . 6 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
5910, 58sylbid 239 . . . . 5 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
6059ex 411 . . . 4 (𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
611, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) ∈ ℕ)
62 nnm1nn0 12538 . . . . . . . . 9 ((#b𝑁) ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6463ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
651ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
66 nnpw2blenfzo 47762 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(#b𝑁))))
6765, 66syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(#b𝑁))))
6861nncnd 12253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) ∈ ℂ)
6968ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b𝑁) ∈ ℂ)
70 npcan1 11664 . . . . . . . . . . 11 ((#b𝑁) ∈ ℂ → (((#b𝑁) − 1) + 1) = (#b𝑁))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (((#b𝑁) − 1) + 1) = (#b𝑁))
7271oveq2d 7429 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b𝑁)))
7372oveq2d 7429 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))) = ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(#b𝑁))))
7467, 73eleqtrrd 2828 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
75 fllog2 47749 . . . . . . 7 ((((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b𝑁) − 1))
7664, 74, 75syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b𝑁) − 1))
7761ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b𝑁) ∈ ℕ)
7877, 62syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
79 elfzo2 13662 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
80 eluz2 12853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)) ↔ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁))
81803anbi1i 1154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ↔ ((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
8279, 81bitri 274 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ↔ ((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
83 2nn 12310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ)
8584, 63jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
8685adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
87 nnexpcl 14066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℕ ∧ ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
8988nnzd 12610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
90 peano2zm 12630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
91903ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9291adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9392adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9484, 63nnexpcld 14234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
9594nnred 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
961nnred 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
97 leaddsub 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
9895, 44, 96, 97syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
9998biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
100993ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
101100adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
102101imp 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1))
103 eluz2 12853 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
10489, 93, 102, 103syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))))
10570eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#b𝑁) ∈ ℂ → ((((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b𝑁) ∈ ℕ0))
10668, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b𝑁) ∈ ℕ0))
10715, 106mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0)
10884, 107jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
109108adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
110 nnexpcl 14066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℕ ∧ (((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
112111nnzd 12610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ)
113 ltle 11327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑁 < (2↑(#b𝑁)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁))))
114 nnre 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
11542a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
116115, 14reexpcld 14154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(#b𝑁)) ∈ ℝ)
117114, 116jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℝ))
1181, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℝ))
119113, 118syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 < (2↑(#b𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁))))
120119adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁))))
121120imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁)))
122 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12384, 15nnexpcld 14234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(#b𝑁)) ∈ ℕ)
124123nnzd 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ)
125124adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ)
126 zlem1lt 12639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b𝑁))))
127122, 125, 126syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b𝑁))))
128121, 127mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(#b𝑁)))
12968, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((#b𝑁) − 1) + 1) = (#b𝑁))
130129oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b𝑁)))
131130adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b𝑁)))
132128, 131breqtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))
133104, 112, 1323jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
134133ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))))
1351343adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 (((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))))
13682, 135sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))))
137136imp 405 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
138 elfzo2 13662 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
139137, 138sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
140139adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
141 fllog2 47749 . . . . . . 7 ((((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b𝑁) − 1))
14278, 140, 141syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b𝑁) − 1))
14376, 142eqtr4d 2768 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
144143exp31 418 . . . 4 (𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
14560, 144jaoi 855 . . 3 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁)))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
1463, 145mpcom 38 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
147146imp 405 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930   class class class wbr 5144  cfv 6543  (class class class)co 7413  cc 11131  cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   < clt 11273  cle 11274  cmin 11469   / cdiv 11896  cn 12237  2c2 12292  0cn0 12497  cz 12583  cuz 12847  +crp 13001  ..^cfzo 13654  cfl 13782  cexp 14053   logb clogb 26709  #bcblen 47750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-cxp 26504  df-logb 26710  df-blen 47751
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