MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1bddrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1bddrp 15526
Description: Refine o1bdd2 15525 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1bdd2.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
o1bdd2.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
o1bdd2.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
o1bdd2.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
o1bdd2.5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
o1bdd2.6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
o1bddrp (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑚)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem o1bddrp
StepHypRef Expression
1 o1bdd2.1 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 o1bdd2.2 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3 o1bdd2.3 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
43abscld 15423 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
5 o1bdd2.4 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
63lo1o12 15517 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1)))
75, 6mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1))
8 o1bdd2.5 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
9 o1bdd2.6 . 2 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑀)
101, 2, 4, 7, 8, 9lo1bddrp 15509 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  wral 3058  wrex 3067  wss 3949   class class class wbr 5152  cmpt 5235  cfv 6553  cc 11144  cr 11145   < clt 11286  cle 11287  +crp 13014  abscabs 15221  𝑂(1)co1 15470  ≤𝑂(1)clo1 15471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-o1 15474  df-lo1 15475
This theorem is referenced by:  vmadivsumb  27436  selbergb  27502  selberg2b  27505  selberg3lem2  27511  pntrmax  27517  pntrsumbnd  27519
  Copyright terms: Public domain W3C validator