Theorem o1bddrp 15592

Description: Refine o1bdd2 15591 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1bdd2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
o1bdd2.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
o1bdd2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
o1bdd2.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))
o1bdd2.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
o1bdd2.6	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
o1bddrp	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑚)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem o1bddrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1bdd2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		o1bdd2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		o1bdd2.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	abscld 15489	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
5		o1bdd2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))
6	3	lo1o12 15583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1)))
7	5, 6	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1))
8		o1bdd2.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
9		o1bdd2.6	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑀)
10	1, 2, 4, 7, 8, 9	lo1bddrp 15575	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  ℂcc 11097  ℝcr 11098   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℝ⁺crp 13015  abscabs 15284  𝑂(1)co1 15536  ≤𝑂(1)clo1 15537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-ico 13377  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-o1 15540  df-lo1 15541

This theorem is referenced by:  vmadivsumb  27623  selbergb  27689  selberg2b  27692  selberg3lem2  27698  pntrmax  27704  pntrsumbnd  27706