Theorem divgcdoddALTV 48170

Description: Either 𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵) is odd or 𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵) is odd. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divgcdoddALTV	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ∨ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ))

Proof of Theorem divgcdoddALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divgcdodd 16671	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∨ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
2		nnz 12536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3		nnz 12536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
4		gcddvds 16463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
6	5	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
7	2, 3	anim12i 614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
8		nnne0 12202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
9	8	neneqd 2938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 = 0)
10	9	intnanrd 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
12		gcdn0cl 16462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
13	7, 11, 12	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
15	13	nnne0d 12218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
16	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
17		dvdsval2 16215	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
19	6, 18	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
20	19	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
21	5	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
22	3	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
23		dvdsval2 16215	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
24	14, 15, 22, 23	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
25	21, 24	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
26	25	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
27	20, 26	orbi12d 919	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∨ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) ↔ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))) ∨ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))))
28	1, 27	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))) ∨ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
29		isodd3 48140	. . 3 ⊢ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ↔ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))))
30		isodd3 48140	. . 3 ⊢ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ↔ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
31	29, 30	orbi12i 915	. 2 ⊢ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ∨ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ) ↔ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))) ∨ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
32	28, 31	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ∨ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  0cc0 11029   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℤcz 12515   ∥ cdvds 16212   gcd cgcd 16454   Odd codd 48113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-odd 48115

This theorem is referenced by: (None)