Theorem divgcdoddALTV 45022

Description: Either 𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵) is odd or 𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵) is odd. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divgcdoddALTV	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ∨ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ))

Proof of Theorem divgcdoddALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divgcdodd 16343	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∨ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
2		nnz 12272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3		nnz 12272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
4		gcddvds 16138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
6	5	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
7	2, 3	anim12i 612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
8		nnne0 11937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
9	8	neneqd 2947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 = 0)
10	9	intnanrd 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
12		gcdn0cl 16137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
13	7, 11, 12	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
15	13	nnne0d 11953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
16	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
17		dvdsval2 15894	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
19	6, 18	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
20	19	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
21	5	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
22	3	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
23		dvdsval2 15894	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
24	14, 15, 22, 23	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
25	21, 24	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
26	25	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
27	20, 26	orbi12d 915	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∨ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) ↔ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))) ∨ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))))
28	1, 27	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))) ∨ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
29		isodd3 44992	. . 3 ⊢ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ↔ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))))
30		isodd3 44992	. . 3 ⊢ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ↔ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
31	29, 30	orbi12i 911	. 2 ⊢ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ∨ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ) ↔ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))) ∨ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
32	28, 31	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ∨ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  0cc0 10802   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤcz 12249   ∥ cdvds 15891   gcd cgcd 16129   Odd codd 44965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-odd 44967

This theorem is referenced by: (None)