Theorem divgcdoddALTV 49047

Description: Either 𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵) is odd or 𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵) is odd. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divgcdoddALTV	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ∨ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ))

Proof of Theorem divgcdoddALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divgcdodd 16927	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∨ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
2		nnz 12752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3		nnz 12752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
4		gcddvds 16714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
6	5	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
7	2, 3	anim12i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
8		nnne0 12410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
9	8	neneqd 2964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 = 0)
10	9	intnanrd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
11	10	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
12		gcdn0cl 16713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
13	7, 11, 12	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
15	13	nnne0d 12426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
16	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
17		dvdsval2 16466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
19	6, 18	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
20	19	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
21	5	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
22	3	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
23		dvdsval2 16466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
24	14, 15, 22, 23	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
25	21, 24	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
26	25	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
27	20, 26	orbi12d 932	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∨ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) ↔ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))) ∨ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))))
28	1, 27	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))) ∨ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
29		isodd3 49017	. . 3 ⊢ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ↔ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))))
30		isodd3 49017	. . 3 ⊢ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ↔ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
31	29, 30	orbi12i 928	. 2 ⊢ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ∨ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ) ↔ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))) ∨ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
32	28, 31	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ∨ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  (class class class)co 7449  0cc0 11237   / cdiv 12011  ℕcn 12373  2c2 12435  ℤcz 12731   ∥ cdvds 16463   gcd cgcd 16705   Odd codd 48990

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-inf 9470  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fl 13970  df-mod 14048  df-seq 14183  df-exp 14243  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-dvds 16464  df-gcd 16706  df-odd 48992

This theorem is used by: (None)