Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divgcdoddALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divgcdoddALTV 43854
Description: Either 𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵) is odd or 𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵) is odd. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
divgcdoddALTV ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ∨ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ))

Proof of Theorem divgcdoddALTV
StepHypRef Expression
1 divgcdodd 16057 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∨ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
2 nnz 12007 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3 nnz 12007 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
4 gcddvds 15855 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
52, 3, 4syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
65simpld 497 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
72, 3anim12i 614 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
8 nnne0 11674 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
98neneqd 3024 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 = 0)
109intnanrd 492 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
1110adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
12 gcdn0cl 15854 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
137, 11, 12syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
1413nnzd 12089 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
1513nnne0d 11690 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
162adantr 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
17 dvdsval2 15613 . . . . . . 7 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1367 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
196, 18mpbid 234 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
2019biantrurd 535 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
215simprd 498 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
223adantl 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
23 dvdsval2 15613 . . . . . . 7 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
2414, 15, 22, 23syl3anc 1367 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
2521, 24mpbid 234 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
2625biantrurd 535 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
2720, 26orbi12d 915 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∨ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) ↔ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))) ∨ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))))
281, 27mpbid 234 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))) ∨ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
29 isodd3 43824 . . 3 ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ↔ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))))
30 isodd3 43824 . . 3 ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ↔ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
3129, 30orbi12i 911 . 2 (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ∨ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ) ↔ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))) ∨ ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
3228, 31sylibr 236 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ∨ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ Odd ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  0cc0 10540   / cdiv 11300  cn 11641  2c2 11695  cz 11984  cdvds 15610   gcd cgcd 15846   Odd codd 43797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611  df-gcd 15847  df-odd 43799
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator