Theorem irredlmul 20315

Description: The product of a unit and an irreducible element is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
irredn0.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredrmul.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
irredrmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
irredlmul	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem irredlmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		irredrmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2724	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2724	. . 3 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
5	1, 2, 3, 4	opprmul 20224	. 2 ⊢ (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌)
6	3	opprring 20234	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
7		irredn0.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
8	3, 7	opprirred 20309	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Irred‘(oppr‘𝑅))
9		irredrmul.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
10	9, 3	opprunit 20264	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘(oppr‘𝑅))
11	8, 10, 4	irredrmul 20314	. . . 4 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) ∈ 𝐼)
12	6, 11	syl3an1 1160	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) ∈ 𝐼)
13	12	3com23 1123	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) ∈ 𝐼)
14	5, 13	eqeltrrid 2830	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  ._rcmulr 17194  Ringcrg 20123  opp_rcoppr 20220  Unitcui 20242  Irredcir 20243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-oppr 20221  df-dvdsr 20244  df-unit 20245  df-irred 20246  df-invr 20275  df-dvr 20288

This theorem is referenced by: (None)