MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredlmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irredlmul 20138
Description: The product of a unit and an irreducible element is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
irredrmul.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
irredrmul.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
irredlmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem irredlmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 irredrmul.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
3 eqid 2737 . . 3 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
4 eqid 2737 . . 3 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
51, 2, 3, 4opprmul 20053 . 2 (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = (𝑋 Β· π‘Œ)
63opprring 20061 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
7 irredn0.i . . . . . 6 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
83, 7opprirred 20132 . . . . 5 𝐼 = (Irredβ€˜(opprβ€˜π‘…))
9 irredrmul.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
109, 3opprunit 20091 . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜(opprβ€˜π‘…))
118, 10, 4irredrmul 20137 . . . 4 (((opprβ€˜π‘…) ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) ∈ 𝐼)
126, 11syl3an1 1164 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) ∈ 𝐼)
13123com23 1127 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) ∈ 𝐼)
145, 13eqeltrrid 2843 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  .rcmulr 17135  Ringcrg 19965  opprcoppr 20049  Unitcui 20069  Irredcir 20070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-irred 20073  df-invr 20102  df-dvr 20113
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator