MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2uzs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2uzs 11945
Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
peano2uzs.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
peano2uzs (𝑁𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)

Proof of Theorem peano2uzs
StepHypRef Expression
1 peano2uz 11944 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2 peano2uzs.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2syl6eleqr 2861 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
43, 2eleq2s 2868 1 (𝑁𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6029  (class class class)co 6792  1c1 10139   + caddc 10141  cuz 11889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890
This theorem is referenced by:  axdc4uzlem  12986  climserle  14597  serf0  14615  iseraltlem3  14618  iseralt  14619  isumsup2  14781  cvgrat  14818  fprodeq0  14908  fprodefsum  15027  sdclem1  33867  fdc  33869  dvgrat  39034  cvgdvgrat  39035  radcnvrat  39036  climinf2mpt  40461  climinfmpt  40462  supcnvlimsup  40487  meaiuninclem  41211  meaiininclem  41217
  Copyright terms: Public domain W3C validator