Theorem peano2uzs 12356

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
peano2uzs.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
peano2uzs	⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)

Proof of Theorem peano2uzs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2uz 12355	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		peano2uzs.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	eleqtrrdi 2864	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
4	3, 2	eleq2s 2871	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  1c1 10590   + caddc 10592  ℤ_≥cuz 12296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297

This theorem is referenced by:  axdc4uzlem  13414  climserle  15081  serf0  15099  iseraltlem3  15102  iseralt  15103  isumsup2  15263  cvgrat  15301  fprodeq0  15391  fprodefsum  15510  sdclem1  35497  fdc  35499  dvgrat  41435  cvgdvgrat  41436  radcnvrat  41437  climinf2mpt  42768  climinfmpt  42769  supcnvlimsup  42794  meaiuninclem  43531  meaiininclem  43537