Theorem isumsup2 15819

Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumsup.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumsup.2	⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
isumsup.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumsup.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumsup.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumsup.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
isumsup.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
isumsup2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑗,𝐺,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem isumsup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumsup.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumsup.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumsup.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumsup.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	3, 4	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	1, 2, 5	serfre 14003	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
7		isumsup.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
8	7	feq1i 6682	. . 3 ⊢ (𝐺:𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
9	6, 8	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
11	10, 1	eleqtrdi 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12		eluzelz 12810	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
13		uzid 12815	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
14		peano2uz 12867	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
15	11, 12, 13, 14	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
16		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝜑)
17		elfzuz 13488	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 1	eleqtrrdi 2840	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
19	16, 18, 5	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
20	1	peano2uzs 12868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
22		elfzuz 13488	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1)))
23	1	uztrn2 12819	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
24	21, 22, 23	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
25		isumsup.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
26	25, 3	breqtrrd 5138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
27	26	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
28	24, 27	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
29	11, 15, 19, 28	sermono 14006	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
30	7	fveq1i 6862	. . 3 ⊢ (𝐺‘𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)
31	7	fveq1i 6862	. . 3 ⊢ (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1))
32	29, 30, 31	3brtr4g 5144	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
33		isumsup.7	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
34	1, 2, 9, 32, 33	climsup 15643	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ran crn 5642  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  supcsup 9398  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  seqcseq 13973   ⇝ cli 15457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461

This theorem is referenced by:  isumsup  15820  ovoliunlem1  25410  ioombl1lem4  25469  uniioombllem2  25491  uniioombllem6  25496  sge0isum  46432