Theorem isumsup2 15862

Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumsup.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumsup.2	⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
isumsup.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumsup.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumsup.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumsup.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
isumsup.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
isumsup2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑗,𝐺,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem isumsup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumsup.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumsup.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumsup.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumsup.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	3, 4	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	1, 2, 5	serfre 14049	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
7		isumsup.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
8	7	feq1i 6697	. . 3 ⊢ (𝐺:𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
9	6, 8	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
11	10, 1	eleqtrdi 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12		eluzelz 12862	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
13		uzid 12867	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
14		peano2uz 12917	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
15	11, 12, 13, 14	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
16		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝜑)
17		elfzuz 13537	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 1	eleqtrrdi 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
19	16, 18, 5	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
20	1	peano2uzs 12918	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
22		elfzuz 13537	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1)))
23	1	uztrn2 12871	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
24	21, 22, 23	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
25		isumsup.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
26	25, 3	breqtrrd 5147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
27	26	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
28	24, 27	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
29	11, 15, 19, 28	sermono 14052	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
30	7	fveq1i 6877	. . 3 ⊢ (𝐺‘𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)
31	7	fveq1i 6877	. . 3 ⊢ (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1))
32	29, 30, 31	3brtr4g 5153	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
33		isumsup.7	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
34	1, 2, 9, 32, 33	climsup 15686	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  ran crn 5655  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  supcsup 9452  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   ≤ cle 11270  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524  seqcseq 14019   ⇝ cli 15500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504

This theorem is referenced by:  isumsup  15863  ovoliunlem1  25455  ioombl1lem4  25514  uniioombllem2  25536  uniioombllem6  25541  sge0isum  46456