Theorem isumsup2 16020

Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumsup.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumsup.2	⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
isumsup.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumsup.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumsup.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumsup.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
isumsup.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
isumsup2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑗,𝐺,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem isumsup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumsup.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumsup.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumsup.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumsup.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	3, 4	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	1, 2, 5	serfre 14177	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
7		isumsup.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
8	7	feq1i 6700	. . 3 ⊢ (𝐺:𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
9	6, 8	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
10		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
11	10, 1	eleqtrdi 2870	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12		eluzelz 12978	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
13		uzid 12983	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
14		peano2uz 13031	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
15	11, 12, 13, 14	4syl 20	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
16		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝜑)
17		elfzuz 13655	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 1	eleqtrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
19	16, 18, 5	syl2an 608	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
20	1	peano2uzs 13032	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
21	20	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
22		elfzuz 13655	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1)))
23	1	uztrn2 12987	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
24	21, 22, 23	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
25		isumsup.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
26	25, 3	breqtrrd 5132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
27	26	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
28	24, 27	syldan 603	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
29	11, 15, 19, 28	sermono 14180	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
30	7	fveq1i 6886	. . 3 ⊢ (𝐺‘𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)
31	7	fveq1i 6886	. . 3 ⊢ (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1))
32	29, 30, 31	3brtr4g 5138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
33		isumsup.7	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
34	1, 2, 9, 32, 33	climsup 15842	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ran crn 5651  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  supcsup 9435  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   < clt 11346   ≤ cle 11347  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ...cfz 13642  seqcseq 14147   ⇝ cli 15656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660

This theorem is used by:  isumsup  16021  ovoliunlem1  25828  ioombl1lem4  25887  uniioombllem2  25909  uniioombllem6  25914  sge0isum  47530