MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumsup2 14794
Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumsup.2 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
isumsup.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumsup.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumsup.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumsup.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
isumsup.7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
Assertion
Ref Expression
isumsup2 (𝜑𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑗,𝐺,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem isumsup2
StepHypRef Expression
1 isumsup.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumsup.3 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isumsup.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumsup.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
53, 4eqeltrd 2881 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
61, 2, 5serfre 13047 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
7 isumsup.2 . . . 4 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
87feq1i 6241 . . 3 (𝐺:𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
96, 8sylibr 225 . 2 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
10 simpr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1110, 1syl6eleq 2891 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
12 eluzelz 11908 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
13 uzid 11913 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
14 peano2uz 11953 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
1511, 12, 13, 144syl 19 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
16 simpl 470 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝜑)
17 elfzuz 12555 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1817, 1syl6eleqr 2892 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1)) → 𝑘𝑍)
1916, 18, 5syl2an 585 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
201peano2uzs 11954 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
2120adantl 469 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
22 elfzuz 12555 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
231uztrn2 11916 . . . . . 6 (((𝑗 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘𝑍)
2421, 22, 23syl2an 585 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑘𝑍)
25 isumsup.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
2625, 3breqtrrd 4865 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2726adantlr 697 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2824, 27syldan 581 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2911, 15, 19, 28sermono 13050 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
307fveq1i 6403 . . 3 (𝐺𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)
317fveq1i 6403 . . 3 (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1))
3229, 30, 313brtr4g 4871 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
33 isumsup.7 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
341, 2, 9, 32, 33climsup 14617 1 (𝜑𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2155  wral 3092  wrex 3093   class class class wbr 4837  ran crn 5306  wf 6091  cfv 6095  (class class class)co 6868  supcsup 8579  cr 10214  0cc0 10215  1c1 10216   + caddc 10218   < clt 10353  cle 10354  cz 11637  cuz 11898  ...cfz 12543  seqcseq 13018  cli 14432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-pre-sup 10293
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-er 7973  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-sup 8581  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-div 10964  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-n0 11554  df-z 11638  df-uz 11899  df-rp 12041  df-fz 12544  df-seq 13019  df-exp 13078  df-cj 14056  df-re 14057  df-im 14058  df-sqrt 14192  df-abs 14193  df-clim 14436
This theorem is referenced by:  isumsup  14795  ovoliunlem1  23477  ioombl1lem4  23536  uniioombllem2  23558  uniioombllem6  23563  sge0isum  41117
  Copyright terms: Public domain W3C validator