Theorem isumsup2 15753

Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumsup.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumsup.2	⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
isumsup.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumsup.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumsup.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumsup.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
isumsup.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
isumsup2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑗,𝐺,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem isumsup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumsup.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumsup.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumsup.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumsup.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	3, 4	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	1, 2, 5	serfre 13938	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
7		isumsup.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
8	7	feq1i 6642	. . 3 ⊢ (𝐺:𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
9	6, 8	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
11	10, 1	eleqtrdi 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12		eluzelz 12742	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
13		uzid 12747	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
14		peano2uz 12799	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
15	11, 12, 13, 14	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
16		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝜑)
17		elfzuz 13420	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 1	eleqtrrdi 2842	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
19	16, 18, 5	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
20	1	peano2uzs 12800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
22		elfzuz 13420	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1)))
23	1	uztrn2 12751	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
24	21, 22, 23	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
25		isumsup.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
26	25, 3	breqtrrd 5119	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
27	26	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
28	24, 27	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
29	11, 15, 19, 28	sermono 13941	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
30	7	fveq1i 6823	. . 3 ⊢ (𝐺‘𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)
31	7	fveq1i 6823	. . 3 ⊢ (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1))
32	29, 30, 31	3brtr4g 5125	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
33		isumsup.7	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
34	1, 2, 9, 32, 33	climsup 15577	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   class class class wbr 5091  ran crn 5617  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  supcsup 9324  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   < clt 11146   ≤ cle 11147  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407  seqcseq 13908   ⇝ cli 15391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395

This theorem is referenced by:  isumsup  15754  ovoliunlem1  25431  ioombl1lem4  25490  uniioombllem2  25512  uniioombllem6  25517  sge0isum  46471