Theorem dvgrat 44336

Description: Ratio test for divergence of a complex infinite series. See e.g. remark "if (abs‘((𝑎‘(𝑛 + 1)) / (𝑎‘𝑛))) ≥ 1 for all large n..." in https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvgrat.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvgrat.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
dvgrat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
dvgrat.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
dvgrat.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
dvgrat.n0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
dvgrat.le	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))

Assertion

Ref	Expression
dvgrat	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉   𝑘,𝑍

Proof of Theorem dvgrat

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvgrat.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
2		dvgrat.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	eleqtrdi 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzelz 12862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		uzid 12867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		dvgrat.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
8	6, 7	eleqtrrdi 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ 𝑊)
9	5, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑊)
10		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
11	10	eleq1d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑁 ∈ 𝑊))
12	10	fveq2d 6880	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
13	12	fveq2d 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(𝐹‘𝑁)))
14	13	breq2d 5131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → (0 < (abs‘(𝐹‘𝑘)) ↔ 0 < (abs‘(𝐹‘𝑁))))
15	11, 14	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((𝑘 ∈ 𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (𝑁 ∈ 𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑁)))))
16		dvgrat.n0	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
17	7	eleq2i 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
18	2	uztrn2 12871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
19	17, 18	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
20	1, 19	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
21		dvgrat.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
22	20, 21	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23		absgt0 15343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → ((𝐹‘𝑘) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(𝐹‘𝑘))))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((𝐹‘𝑘) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(𝐹‘𝑘))))
25	16, 24	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑘)))
26	25	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑘))))
27	1, 15, 26	vtocld 3540	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑁))))
28	9, 27	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑁)))
29		0red 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
30	10	eleq1d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ 𝑍))
31	12	eleq1d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ))
32	30, 31	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((𝑘 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)))
33	21	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
34	1, 32, 33	vtocld 3540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ))
35	1, 34	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
36	35	abscld 15455	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
37	29, 36	ltnled 11382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (abs‘(𝐹‘𝑁)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ 0))
38	28, 37	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ 0)
39	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
40	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
41		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 𝐹 ⇝ 0)
42	7	fvexi 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 ∈ V
43	42	mptex 7215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ∈ V)
45	22	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
46		eqidd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))))
47		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑖 = 𝑘)
48	47	fveq2d 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
49	48	fveq2d 6880	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
50		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑊)
51		fvex 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
53	46, 49, 50, 52	fvmptd 6993	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
54	7, 41, 44, 39, 45, 53	climabs 15620	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ⇝ (abs‘0))
55		abs0 15304	. . . . . 6 ⊢ (abs‘0) = 0
56	54, 55	breqtrdi 5160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ⇝ 0)
57	45	abscld 15455	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
58	53, 57	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖)))‘𝑘) ∈ ℝ)
59		2fveq3 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (abs‘(𝐹‘𝑖)) = (abs‘(𝐹‘𝑁)))
60	59	breq2d 5131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑁))))
61	60	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑁)))))
62		2fveq3 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (abs‘(𝐹‘𝑖)) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
63	62	breq2d 5131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))))
64	63	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
65		2fveq3 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
66	65	breq2d 5131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
67	66	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
68	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
69	68	leidd 11803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑁)))
70	69	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑁))))
71	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
72	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
73	72	abscld 15455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
74	7	peano2uzs 12918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)
75		ovex 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
76		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↔ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊))
77	76	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)))
78		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
79	78	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
80	77, 79	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)))
81		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑖 ∈ 𝑊))
82	81	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊)))
83		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
84	83	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
85	82, 84	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)))
86	85, 22	chvarvv 1998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
87	75, 80, 86	vtocl 3537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
88	74, 87	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
90	89	abscld 15455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
91		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
92		dvgrat.le	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
94	71, 73, 90, 91, 93	letrd 11392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
95	94	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
96	17, 95	sylan2br 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
97	96	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
98	97	a2d 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
99	61, 64, 67, 64, 70, 98	uzind4 12922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))))
100	99	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
101	17, 100	sylan2b 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
102	101	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
103	102, 53	breqtrrd 5147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖)))‘𝑘))
104	7, 39, 40, 56, 58, 103	climlec2 15675	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ 0)
105	38, 104	mtand 815	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ⇝ 0)
106		eluzel2 12857	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
107	3, 106	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
108	107	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
109		dvgrat.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
110	109	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ 𝑉)
111		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
112	21	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
113	2, 108, 110, 111, 112	serf0 15697	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ 0)
114	105, 113	mtand 815	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
115		df-nel 3037	. 2 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ↔ ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
116	114, 115	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∉ wnel 3036  Vcvv 3459   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   ≤ cle 11270  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  seqcseq 14019  abscabs 15253   ⇝ cli 15500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-ico 13368  df-fz 13525  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505

This theorem is referenced by:  cvgdvgrat  44337