Theorem dvgrat 45295

Description: Ratio test for divergence of a complex infinite series. See e.g. remark "if (abs‘((𝑎‘(𝑛 + 1)) / (𝑎‘𝑛))) ≥ 1 for all large n..." in https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvgrat.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvgrat.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
dvgrat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
dvgrat.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
dvgrat.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
dvgrat.n0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
dvgrat.le	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))

Assertion

Ref	Expression
dvgrat	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉   𝑘,𝑍

Proof of Theorem dvgrat

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvgrat.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
2		dvgrat.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	eleqtrdi 2871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzelz 12975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		uzid 12980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		dvgrat.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
8	6, 7	eleqtrrdi 2872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ 𝑊)
9	5, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑊)
10		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
11	10	eleq1d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑁 ∈ 𝑊))
12	10	fveq2d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
13	12	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(𝐹‘𝑁)))
14	13	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → (0 < (abs‘(𝐹‘𝑘)) ↔ 0 < (abs‘(𝐹‘𝑁))))
15	11, 14	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((𝑘 ∈ 𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (𝑁 ∈ 𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑁)))))
16		dvgrat.n0	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
17	7	eleq2i 2853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
18	2	uztrn2 12984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
19	17, 18	sylan2b 606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
20	1, 19	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
21		dvgrat.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
22	20, 21	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23		absgt0 15492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → ((𝐹‘𝑘) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(𝐹‘𝑘))))
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((𝐹‘𝑘) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(𝐹‘𝑘))))
25	16, 24	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑘)))
26	25	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑘))))
27	1, 15, 26	vtocld 3523	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑁))))
28	9, 27	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑁)))
29		0red 11311	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
30	10	eleq1d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ 𝑍))
31	12	eleq1d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ))
32	30, 31	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((𝑘 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)))
33	21	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
34	1, 32, 33	vtocld 3523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ))
35	1, 34	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
36	35	abscld 15606	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
37	29, 36	ltnled 11457	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (abs‘(𝐹‘𝑁)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ 0))
38	28, 37	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ 0)
39	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
40	36	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
41		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 𝐹 ⇝ 0)
42	7	fvexi 6899	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 ∈ V
43	42	mptex 7229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ∈ V)
45	22	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
46		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))))
47		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑖 = 𝑘)
48	47	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
49	48	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
50		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑊)
51		fvex 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
53	46, 49, 50, 52	fvmptd 7001	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
54	7, 41, 44, 39, 45, 53	climabs 15771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ⇝ (abs‘0))
55		abs0 15452	. . . . . 6 ⊢ (abs‘0) = 0
56	54, 55	breqtrdi 5146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ⇝ 0)
57	45	abscld 15606	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
58	53, 57	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖)))‘𝑘) ∈ ℝ)
59		2fveq3 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (abs‘(𝐹‘𝑖)) = (abs‘(𝐹‘𝑁)))
60	59	breq2d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑁))))
61	60	imbi2d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑁)))))
62		2fveq3 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (abs‘(𝐹‘𝑖)) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
63	62	breq2d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))))
64	63	imbi2d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
65		2fveq3 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
66	65	breq2d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
67	66	imbi2d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
68	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
69	68	leidd 11882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑁)))
70	69	expcom 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑁))))
71	36	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
72	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
73	72	abscld 15606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
74	7	peano2uzs 13029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)
75		ovex 7453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
76		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↔ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊))
77	76	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)))
78		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
79	78	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
80	77, 79	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)))
81		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑖 ∈ 𝑊))
82	81	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊)))
83		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
84	83	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
85	82, 84	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)))
86	85, 22	chvarvv 2022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
87	75, 80, 86	vtocl 3521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
88	74, 87	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
89	88	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
90	89	abscld 15606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
91		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
92		dvgrat.le	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
93	92	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
94	71, 73, 90, 91, 93	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
95	94	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
96	17, 95	sylan2br 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
97	96	expcom 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
98	97	a2d 30	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
99	61, 64, 67, 64, 70, 98	uzind4 13033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))))
100	99	impcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
101	17, 100	sylan2b 606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
102	101	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
103	102, 53	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖)))‘𝑘))
104	7, 39, 40, 56, 58, 103	climlec2 15826	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ 0)
105	38, 104	mtand 828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ⇝ 0)
106		eluzel2 12970	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
107	3, 106	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
108	107	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
109		dvgrat.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
110	109	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ 𝑉)
111		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
112	21	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
113	2, 108, 110, 111, 112	serf0 15848	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ 0)
114	105, 113	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
115		df-nel 3063	. 2 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ↔ ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
116	114, 115	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∉ wnel 3062  Vcvv 3451   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  seqcseq 14144  abscabs 15401   ⇝ cli 15651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-fz 13640  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656

This theorem is used by:  cvgdvgrat  45296