Theorem dvgrat 44281

Description: Ratio test for divergence of a complex infinite series. See e.g. remark "if (abs‘((𝑎‘(𝑛 + 1)) / (𝑎‘𝑛))) ≥ 1 for all large n..." in https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvgrat.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvgrat.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
dvgrat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
dvgrat.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
dvgrat.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
dvgrat.n0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
dvgrat.le	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))

Assertion

Ref	Expression
dvgrat	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉   𝑘,𝑍

Proof of Theorem dvgrat

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvgrat.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
2		dvgrat.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	eleqtrdi 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzelz 12913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		uzid 12918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		dvgrat.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
8	6, 7	eleqtrrdi 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ 𝑊)
9	5, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑊)
10		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
11	10	eleq1d 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑁 ∈ 𝑊))
12	10	fveq2d 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
13	12	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(𝐹‘𝑁)))
14	13	breq2d 5178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → (0 < (abs‘(𝐹‘𝑘)) ↔ 0 < (abs‘(𝐹‘𝑁))))
15	11, 14	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((𝑘 ∈ 𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (𝑁 ∈ 𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑁)))))
16		dvgrat.n0	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
17	7	eleq2i 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
18	2	uztrn2 12922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
19	17, 18	sylan2b 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
20	1, 19	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
21		dvgrat.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
22	20, 21	syldan 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23		absgt0 15373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → ((𝐹‘𝑘) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(𝐹‘𝑘))))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((𝐹‘𝑘) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(𝐹‘𝑘))))
25	16, 24	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑘)))
26	25	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑘))))
27	1, 15, 26	vtocld 3573	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑁))))
28	9, 27	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑁)))
29		0red 11293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
30	10	eleq1d 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ 𝑍))
31	12	eleq1d 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ))
32	30, 31	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((𝑘 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)))
33	21	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
34	1, 32, 33	vtocld 3573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ))
35	1, 34	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
36	35	abscld 15485	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
37	29, 36	ltnled 11437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (abs‘(𝐹‘𝑁)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ 0))
38	28, 37	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ 0)
39	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
40	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
41		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 𝐹 ⇝ 0)
42	7	fvexi 6934	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 ∈ V
43	42	mptex 7260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ∈ V)
45	22	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
46		eqidd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))))
47		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑖 = 𝑘)
48	47	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
49	48	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
50		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑊)
51		fvex 6933	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
53	46, 49, 50, 52	fvmptd 7036	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
54	7, 41, 44, 39, 45, 53	climabs 15650	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ⇝ (abs‘0))
55		abs0 15334	. . . . . 6 ⊢ (abs‘0) = 0
56	54, 55	breqtrdi 5207	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ⇝ 0)
57	45	abscld 15485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
58	53, 57	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖)))‘𝑘) ∈ ℝ)
59		2fveq3 6925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (abs‘(𝐹‘𝑖)) = (abs‘(𝐹‘𝑁)))
60	59	breq2d 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑁))))
61	60	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑁)))))
62		2fveq3 6925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (abs‘(𝐹‘𝑖)) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
63	62	breq2d 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))))
64	63	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))))
65		2fveq3 6925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
66	65	breq2d 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
67	66	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
68	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
69	68	leidd 11856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑁)))
70	69	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑁))))
71	36	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
72	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
73	72	abscld 15485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
74	7	peano2uzs 12967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)
75		ovex 7481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
76		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↔ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊))
77	76	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)))
78		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
79	78	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
80	77, 79	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)))
81		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑖 ∈ 𝑊))
82	81	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊)))
83		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
84	83	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))
85	82, 84	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)))
86	85, 22	chvarvv 1998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
87	75, 80, 86	vtocl 3570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
88	74, 87	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
90	89	abscld 15485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
91		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
92		dvgrat.le	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
94	71, 73, 90, 91, 93	letrd 11447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
95	94	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
96	17, 95	sylan2br 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
97	96	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
98	97	a2d 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))) → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
99	61, 64, 67, 64, 70, 98	uzind4 12971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘))))
100	99	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
101	17, 100	sylan2b 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
102	101	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
103	102, 53	breqtrrd 5194	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((𝑖 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑖)))‘𝑘))
104	7, 39, 40, 56, 58, 103	climlec2 15707	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 0) → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ 0)
105	38, 104	mtand 815	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ⇝ 0)
106		eluzel2 12908	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
107	3, 106	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
108	107	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
109		dvgrat.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
110	109	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ 𝑉)
111		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
112	21	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
113	2, 108, 110, 111, 112	serf0 15729	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ 0)
114	105, 113	mtand 815	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
115		df-nel 3053	. 2 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ↔ ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
116	114, 115	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∉ wnel 3052  Vcvv 3488   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  seqcseq 14052  abscabs 15283   ⇝ cli 15530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535

This theorem is referenced by:  cvgdvgrat  44282