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Theorem dvgrat 40873
 Description: Ratio test for divergence of a complex infinite series. See e.g. remark "if (abs‘((𝑎‘(𝑛 + 1)) / (𝑎‘𝑛))) ≥ 1 for all large n..." in https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvgrat.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvgrat.w 𝑊 = (ℤ𝑁)
dvgrat.n (𝜑𝑁𝑍)
dvgrat.f (𝜑𝐹𝑉)
dvgrat.c ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
dvgrat.n0 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
dvgrat.le ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
Assertion
Ref Expression
dvgrat (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉   𝑘,𝑍

Proof of Theorem dvgrat
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvgrat.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝑍)
2 dvgrat.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2eleqtrdi 2926 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzelz 12246 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6 uzid 12251 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
7 dvgrat.w . . . . . . . 8 𝑊 = (ℤ𝑁)
86, 7eleqtrrdi 2927 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑊)
95, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝑊)
10 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
1110eleq1d 2900 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → (𝑘𝑊𝑁𝑊))
1210fveq2d 6662 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
1312fveq2d 6662 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘(𝐹𝑁)))
1413breq2d 5064 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → (0 < (abs‘(𝐹𝑘)) ↔ 0 < (abs‘(𝐹𝑁))))
1511, 14imbi12d 348 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → ((𝑘𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹𝑘))) ↔ (𝑁𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹𝑁)))))
16 dvgrat.n0 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
177eleq2i 2907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
182uztrn2 12255 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
1917, 18sylan2b 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑍𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
201, 19sylan 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
21 dvgrat.c . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2220, 21syldan 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
23 absgt0 14680 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → ((𝐹𝑘) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(𝐹𝑘))))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑊) → ((𝐹𝑘) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(𝐹𝑘))))
2516, 24mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑊) → 0 < (abs‘(𝐹𝑘)))
2625ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹𝑘))))
271, 15, 26vtocld 3542 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹𝑁))))
289, 27mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (abs‘(𝐹𝑁)))
29 0red 10636 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3010eleq1d 2900 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → (𝑘𝑍𝑁𝑍))
3112eleq1d 2900 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℂ))
3230, 31imbi12d 348 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → ((𝑘𝑍 → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ (𝑁𝑍 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)))
3321ex 416 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 → (𝐹𝑘) ∈ ℂ))
341, 32, 33vtocld 3542 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑍 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ))
351, 34mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
3635abscld 14792 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
3729, 36ltnled 10779 . . . . 5 (𝜑 → (0 < (abs‘(𝐹𝑁)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ 0))
3828, 37mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → ¬ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ 0)
395adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4036adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → (abs‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
41 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → 𝐹 ⇝ 0)
427fvexi 6672 . . . . . . . . 9 𝑊 ∈ V
4342mptex 6974 . . . . . . . 8 (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))) ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))) ∈ V)
4522adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
46 eqidd 2825 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))) = (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))))
47 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑖 = 𝑘)
4847fveq2d 6662 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑘))
4948fveq2d 6662 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (abs‘(𝐹𝑖)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
50 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → 𝑘𝑊)
51 fvex 6671 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ V
5251a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ V)
5346, 49, 50, 52fvmptd 6763 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → ((𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
547, 41, 44, 39, 45, 53climabs 14956 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))) ⇝ (abs‘0))
55 abs0 14641 . . . . . 6 (abs‘0) = 0
5654, 55breqtrdi 5093 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))) ⇝ 0)
5745abscld 14792 . . . . . 6 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5853, 57eqeltrd 2916 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → ((𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖)))‘𝑘) ∈ ℝ)
59 2fveq3 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑁 → (abs‘(𝐹𝑖)) = (abs‘(𝐹𝑁)))
6059breq2d 5064 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑁))))
6160imbi2d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑁 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑁)))))
62 2fveq3 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (abs‘(𝐹𝑖)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
6362breq2d 5064 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))))
6463imbi2d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))))
65 2fveq3 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐹𝑖)) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
6665breq2d 5064 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
6766imbi2d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
6836adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
6968leidd 11198 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑁)))
7069expcom 417 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑁))))
7136ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
7222adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7372abscld 14792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
747peano2uzs 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑊 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)
75 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 + 1) ∈ V
76 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖𝑊 ↔ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊))
7776anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑖𝑊) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)))
78 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
7978eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
8077, 79imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)))
81 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑊𝑖𝑊))
8281anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑊) ↔ (𝜑𝑖𝑊)))
83 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
8483eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
8582, 84imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)))
8685, 22chvarvv 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
8775, 80, 86vtocl 3545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
8874, 87sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
8988adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9089abscld 14792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
91 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))
92 dvgrat.le . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
9392adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
9471, 73, 90, 91, 93letrd 10789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
9594ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑊) → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
9617, 95sylan2br 597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
9796expcom 417 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
9897a2d 29 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
9961, 64, 67, 64, 70, 98uzind4 12299 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))))
10099impcom 411 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))
10117, 100sylan2b 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))
102101adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))
103102, 53breqtrrd 5080 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖)))‘𝑘))
1047, 39, 40, 56, 58, 103climlec2 15011 . . . 4 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ 0)
10538, 104mtand 815 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ⇝ 0)
106 eluzel2 12241 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1073, 106syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
108107adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
109 dvgrat.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝑉)
110109adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹𝑉)
111 simpr 488 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
11221adantlr 714 . . . 4 (((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1132, 108, 110, 111, 112serf0 15033 . . 3 ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ 0)
114105, 113mtand 815 . 2 (𝜑 → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
115 df-nel 3119 . 2 (seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ↔ ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
116114, 115sylibr 237 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   ∉ wnel 3118  Vcvv 3480   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132  dom cdm 5542  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667   ≤ cle 10668  ℤcz 11974  ℤ≥cuz 12236  seqcseq 13369  abscabs 14589   ⇝ cli 14837 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-sup 8897  df-inf 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-rp 12383  df-ico 12737  df-fz 12891  df-fl 13162  df-seq 13370  df-exp 13431  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842 This theorem is referenced by:  cvgdvgrat  40874
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