Theorem fprodeq0 15896

Description: Any finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodeq0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fprodeq0.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
fprodeq0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodeq0.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodeq0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12754	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	zred 12594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	ltp1d 12070	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5		fzdisj 13465	. . . 4 ⊢ (𝑁 < (𝑁 + 1) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
7		fprodeq0.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
8		eluzel2 12754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		fprodeq0.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	8, 9	eleq2s 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		eluzelz 12759	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
15	12, 14, 2	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
16		eluzle 12762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
17	16, 9	eleq2s 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ≤ 𝑁)
18	7, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
19		eluzle 12762	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
20	18, 19	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾))
21		elfz2 13428	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
22	15, 20, 21	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝐾))
23		fzsplit 13464	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
24	22, 23	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
25		fzfid 13894	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀...𝐾) ∈ Fin)
26		elfzuz 13434	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
27	26, 9	eleqtrrdi 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28		fprodeq0.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	27, 28	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	29	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	6, 24, 25, 30	fprodsplit 15887	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
32	7, 9	eleqtrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33		elfzuz 13434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	33, 9	eleqtrrdi 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35	34, 28	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	32, 35	fprodm1s 15891	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴))
37		fprodeq0.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)
38	7, 37	csbied 3883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴 = 0)
39	38	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0))
40		fzfid 13894	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
41		elfzuz 13434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
42	41, 9	eleqtrrdi 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
43	42, 28	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	40, 43	fprodcl 15873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
45	44	mul01d 11330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0) = 0)
46	36, 39, 45	3eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
47	46	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
48	47	oveq1d 7371	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
49		fzfid 13894	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑁 + 1)...𝐾) ∈ Fin)
50	9	peano2uzs 12813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
51	7, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
52		elfzuz 13434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
53	9	uztrn2 12768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
54	51, 52, 53	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
55	54	adantrl 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
56	55, 28	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	56	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
58	49, 57	fprodcl 15873	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴 ∈ ℂ)
59	58	mul02d 11329	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = 0)
60	31, 48, 59	3eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⦋csb 3847   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4283   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ...cfz 13421  ∏cprod 15824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-prod 15825

This theorem is referenced by:  bcc0  44523