MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodeq0 14990
Description: Anything finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodeq0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fprodeq0.2 (𝜑𝑁𝑍)
fprodeq0.3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodeq0.4 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)
Assertion
Ref Expression
fprodeq0 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq0
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11891 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
21adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32zred 11729 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
43ltp1d 11208 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5 fzdisj 12575 . . . 4 (𝑁 < (𝑁 + 1) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
7 fprodeq0.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑍)
8 eluzel2 11891 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9 fprodeq0.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
108, 9eleq2s 2862 . . . . . . . 8 (𝑁𝑍𝑀 ∈ ℤ)
117, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1211adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
13 eluzelz 11896 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
1413adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
1512, 14, 23jca 1158 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
16 eluzle 11899 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
1716, 9eleq2s 2862 . . . . . . 7 (𝑁𝑍𝑀𝑁)
187, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑁)
19 eluzle 11899 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝐾)
2018, 19anim12i 606 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀𝑁𝑁𝐾))
21 elfz2 12540 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑁𝑁𝐾)))
2215, 20, 21sylanbrc 578 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝐾))
23 fzsplit 12574 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
2422, 23syl 17 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
25 fzfid 12980 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀...𝐾) ∈ Fin)
26 elfzuz 12545 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2726, 9syl6eleqr 2855 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘𝑍)
28 fprodeq0.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2927, 28sylan2 586 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3029adantlr 706 . . 3 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
316, 24, 25, 30fprodsplit 14981 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
327, 9syl6eleq 2854 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
33 elfzuz 12545 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3433, 9syl6eleqr 2855 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘𝑍)
3534, 28sylan2 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3632, 35fprodm1s 14985 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴))
37 fprodeq0.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)
387, 37csbied 3718 . . . . . 6 (𝜑𝑁 / 𝑘𝐴 = 0)
3938oveq2d 6858 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0))
40 fzfid 12980 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
41 elfzuz 12545 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
4241, 9syl6eleqr 2855 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘𝑍)
4342, 28sylan2 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
4440, 43fprodcl 14967 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
4544mul01d 10489 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0) = 0)
4636, 39, 453eqtrd 2803 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
4746adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
4847oveq1d 6857 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
49 fzfid 12980 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑁 + 1)...𝐾) ∈ Fin)
509peano2uzs 11942 . . . . . . . . 9 (𝑁𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
517, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
52 elfzuz 12545 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
539uztrn2 11904 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
5451, 52, 53syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝑘𝑍)
5554adantrl 707 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝑘𝑍)
5655, 28syldan 585 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5756anassrs 459 . . . 4 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5849, 57fprodcl 14967 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴 ∈ ℂ)
5958mul02d 10488 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = 0)
6031, 48, 593eqtrd 2803 1 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  csb 3691  cun 3730  cin 3731  c0 4079   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  cprod 14920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-prod 14921
This theorem is referenced by:  bcc0  39145
  Copyright terms: Public domain W3C validator