Theorem fprodeq0 15917

Description: Any finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodeq0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fprodeq0.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
fprodeq0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodeq0.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodeq0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12774	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	zred 12614	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	ltp1d 12089	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5		fzdisj 13488	. . . 4 ⊢ (𝑁 < (𝑁 + 1) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
7		fprodeq0.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
8		eluzel2 12774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		fprodeq0.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	8, 9	eleq2s 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		eluzelz 12779	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
15	12, 14, 2	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
16		eluzle 12782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
17	16, 9	eleq2s 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ≤ 𝑁)
18	7, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
19		eluzle 12782	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
20	18, 19	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾))
21		elfz2 13451	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
22	15, 20, 21	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝐾))
23		fzsplit 13487	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
24	22, 23	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
25		fzfid 13914	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀...𝐾) ∈ Fin)
26		elfzuz 13457	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
27	26, 9	eleqtrrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28		fprodeq0.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	27, 28	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	29	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	6, 24, 25, 30	fprodsplit 15908	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
32	7, 9	eleqtrdi 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33		elfzuz 13457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	33, 9	eleqtrrdi 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35	34, 28	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	32, 35	fprodm1s 15912	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴))
37		fprodeq0.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)
38	7, 37	csbied 3895	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴 = 0)
39	38	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0))
40		fzfid 13914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
41		elfzuz 13457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
42	41, 9	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
43	42, 28	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	40, 43	fprodcl 15894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
45	44	mul01d 11349	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0) = 0)
46	36, 39, 45	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
47	46	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
48	47	oveq1d 7384	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
49		fzfid 13914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑁 + 1)...𝐾) ∈ Fin)
50	9	peano2uzs 12837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
51	7, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
52		elfzuz 13457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
53	9	uztrn2 12788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
54	51, 52, 53	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
55	54	adantrl 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
56	55, 28	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	56	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
58	49, 57	fprodcl 15894	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴 ∈ ℂ)
59	58	mul02d 11348	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = 0)
60	31, 48, 59	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⦋csb 3859   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  ∏cprod 15845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-prod 15846

This theorem is referenced by:  bcc0  44302