MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodeq0 16011
Description: Any finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodeq0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fprodeq0.2 (𝜑𝑁𝑍)
fprodeq0.3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodeq0.4 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)
Assertion
Ref Expression
fprodeq0 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq0
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12883 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
21adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32zred 12722 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
43ltp1d 12198 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5 fzdisj 13591 . . . 4 (𝑁 < (𝑁 + 1) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
7 fprodeq0.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑍)
8 eluzel2 12883 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9 fprodeq0.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
108, 9eleq2s 2859 . . . . . . . 8 (𝑁𝑍𝑀 ∈ ℤ)
117, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1211adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
13 eluzelz 12888 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
1413adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
1512, 14, 23jca 1129 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
16 eluzle 12891 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
1716, 9eleq2s 2859 . . . . . . 7 (𝑁𝑍𝑀𝑁)
187, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑁)
19 eluzle 12891 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝐾)
2018, 19anim12i 613 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀𝑁𝑁𝐾))
21 elfz2 13554 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑁𝑁𝐾)))
2215, 20, 21sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝐾))
23 fzsplit 13590 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
2422, 23syl 17 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
25 fzfid 14014 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀...𝐾) ∈ Fin)
26 elfzuz 13560 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2726, 9eleqtrrdi 2852 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘𝑍)
28 fprodeq0.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2927, 28sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3029adantlr 715 . . 3 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
316, 24, 25, 30fprodsplit 16002 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
327, 9eleqtrdi 2851 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
33 elfzuz 13560 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3433, 9eleqtrrdi 2852 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘𝑍)
3534, 28sylan2 593 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3632, 35fprodm1s 16006 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴))
37 fprodeq0.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)
387, 37csbied 3935 . . . . . 6 (𝜑𝑁 / 𝑘𝐴 = 0)
3938oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0))
40 fzfid 14014 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
41 elfzuz 13560 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
4241, 9eleqtrrdi 2852 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘𝑍)
4342, 28sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
4440, 43fprodcl 15988 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
4544mul01d 11460 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0) = 0)
4636, 39, 453eqtrd 2781 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
4746adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
4847oveq1d 7446 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
49 fzfid 14014 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑁 + 1)...𝐾) ∈ Fin)
509peano2uzs 12944 . . . . . . . . 9 (𝑁𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
517, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
52 elfzuz 13560 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
539uztrn2 12897 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
5451, 52, 53syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝑘𝑍)
5554adantrl 716 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝑘𝑍)
5655, 28syldan 591 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5756anassrs 467 . . . 4 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5849, 57fprodcl 15988 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴 ∈ ℂ)
5958mul02d 11459 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = 0)
6031, 48, 593eqtrd 2781 1 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  csb 3899  cun 3949  cin 3950  c0 4333   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  cprod 15939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940
This theorem is referenced by:  bcc0  44359
  Copyright terms: Public domain W3C validator