MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodeq0 15955
Description: Any finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodeq0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fprodeq0.2 (𝜑𝑁𝑍)
fprodeq0.3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodeq0.4 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)
Assertion
Ref Expression
fprodeq0 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq0
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12860 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
21adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32zred 12699 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
43ltp1d 12177 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5 fzdisj 13563 . . . 4 (𝑁 < (𝑁 + 1) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
7 fprodeq0.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑍)
8 eluzel2 12860 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9 fprodeq0.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
108, 9eleq2s 2843 . . . . . . . 8 (𝑁𝑍𝑀 ∈ ℤ)
117, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1211adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
13 eluzelz 12865 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
1413adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
1512, 14, 23jca 1125 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
16 eluzle 12868 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
1716, 9eleq2s 2843 . . . . . . 7 (𝑁𝑍𝑀𝑁)
187, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑁)
19 eluzle 12868 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝐾)
2018, 19anim12i 611 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀𝑁𝑁𝐾))
21 elfz2 13526 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑁𝑁𝐾)))
2215, 20, 21sylanbrc 581 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝐾))
23 fzsplit 13562 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
2422, 23syl 17 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
25 fzfid 13974 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀...𝐾) ∈ Fin)
26 elfzuz 13532 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2726, 9eleqtrrdi 2836 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘𝑍)
28 fprodeq0.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2927, 28sylan2 591 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3029adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
316, 24, 25, 30fprodsplit 15946 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
327, 9eleqtrdi 2835 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
33 elfzuz 13532 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3433, 9eleqtrrdi 2836 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘𝑍)
3534, 28sylan2 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3632, 35fprodm1s 15950 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴))
37 fprodeq0.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)
387, 37csbied 3927 . . . . . 6 (𝜑𝑁 / 𝑘𝐴 = 0)
3938oveq2d 7435 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0))
40 fzfid 13974 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
41 elfzuz 13532 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
4241, 9eleqtrrdi 2836 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘𝑍)
4342, 28sylan2 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
4440, 43fprodcl 15932 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
4544mul01d 11445 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0) = 0)
4636, 39, 453eqtrd 2769 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
4746adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
4847oveq1d 7434 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
49 fzfid 13974 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑁 + 1)...𝐾) ∈ Fin)
509peano2uzs 12919 . . . . . . . . 9 (𝑁𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
517, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
52 elfzuz 13532 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
539uztrn2 12874 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
5451, 52, 53syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝑘𝑍)
5554adantrl 714 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝑘𝑍)
5655, 28syldan 589 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5756anassrs 466 . . . 4 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5849, 57fprodcl 15932 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴 ∈ ℂ)
5958mul02d 11444 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = 0)
6031, 48, 593eqtrd 2769 1 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  csb 3889  cun 3942  cin 3943  c0 4322   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  cz 12591  cuz 12855  ...cfz 13519  cprod 15885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-prod 15886
This theorem is referenced by:  bcc0  43919
  Copyright terms: Public domain W3C validator