Theorem fprodeq0 16007

Description: Any finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodeq0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fprodeq0.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
fprodeq0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodeq0.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodeq0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12880	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	zred 12719	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	ltp1d 12195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5		fzdisj 13587	. . . 4 ⊢ (𝑁 < (𝑁 + 1) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
7		fprodeq0.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
8		eluzel2 12880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		fprodeq0.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	8, 9	eleq2s 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		eluzelz 12885	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
15	12, 14, 2	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
16		eluzle 12888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
17	16, 9	eleq2s 2856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ≤ 𝑁)
18	7, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
19		eluzle 12888	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
20	18, 19	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾))
21		elfz2 13550	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
22	15, 20, 21	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝐾))
23		fzsplit 13586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
24	22, 23	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
25		fzfid 14010	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀...𝐾) ∈ Fin)
26		elfzuz 13556	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
27	26, 9	eleqtrrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28		fprodeq0.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	27, 28	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	29	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	6, 24, 25, 30	fprodsplit 15998	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
32	7, 9	eleqtrdi 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33		elfzuz 13556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	33, 9	eleqtrrdi 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35	34, 28	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	32, 35	fprodm1s 16002	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴))
37		fprodeq0.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)
38	7, 37	csbied 3945	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴 = 0)
39	38	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0))
40		fzfid 14010	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
41		elfzuz 13556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
42	41, 9	eleqtrrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
43	42, 28	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	40, 43	fprodcl 15984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
45	44	mul01d 11457	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0) = 0)
46	36, 39, 45	3eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
47	46	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
48	47	oveq1d 7445	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
49		fzfid 14010	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑁 + 1)...𝐾) ∈ Fin)
50	9	peano2uzs 12941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
51	7, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
52		elfzuz 13556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
53	9	uztrn2 12894	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
54	51, 52, 53	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
55	54	adantrl 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
56	55, 28	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	56	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
58	49, 57	fprodcl 15984	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴 ∈ ℂ)
59	58	mul02d 11456	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = 0)
60	31, 48, 59	3eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ⦋csb 3907   ∪ cun 3960   ∩ cin 3961  ∅c0 4338   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  ...cfz 13543  ∏cprod 15935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-prod 15936

This theorem is referenced by:  bcc0  44335