Theorem swrdco 14900

Description: Mapping of words commutes with the substring operation. (Contributed by AV, 11-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))

Proof of Theorem swrdco

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6712	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		swrdvalfn 14712	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
4	3	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
5	4	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
6		swrdrn 14713	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
7	6	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
8	7	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
9		fnco 6660	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
10	2, 5, 8, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
11		wrdco 14894	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
12	11	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
13		simp2l 1218	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
14		lenco 14895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
15	14	eqcomd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))
16	15	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
17	16	eleq2d 2852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
18	17	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
19	18	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
20	19	com13 89	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
21	20	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
22	21	3imp21 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
23		swrdvalfn 14712	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) → ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
24	12, 13, 22, 23	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
25		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
26	25	biimpri 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
27	26	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
28		swrdfv 14708	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
29	28	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
30	27, 29	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
31		wrdfn 14585	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
32	31	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
33		elfzodifsumelfzo 13779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
34	33	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
35	34	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36		fvco2 6985	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
37	32, 35, 36	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
38	30, 37	eqtr4d 2804	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
39		fvco2 6985	. . . 4 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)))
40	5, 39	sylan 592	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)))
41	14	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
42	41	eqcomd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))
43	42	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
44	43	eleq2d 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
45	44	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
46	45	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
47	46	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
48	47	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
49	48	3imp21 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
50	12, 13, 49	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
51		swrdfv 14708	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
52	50, 51	sylan 592	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
53	38, 40, 52	3eqtr4d 2811	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖))
54	10, 24, 53	eqfnfvd 7035	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  ⟨cop 4600  ran crn 5667   ∘ ccom 5670   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118   + caddc 11121   − cmin 11459  ...cfz 13553  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570   substr csubstr 14700

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-substr 14701

This theorem is used by:  pfxco  14901