MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdco 14873
Description: Mapping of words commutes with the substring operation. (Contributed by AV, 11-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdco ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = ((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))

Proof of Theorem swrdco
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6737 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
213ad2ant3 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 swrdvalfn 14686 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
433expb 1119 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
543adant3 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
6 swrdrn 14687 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
763expb 1119 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
873adant3 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
9 fnco 6687 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
102, 5, 8, 9syl3anc 1370 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
11 wrdco 14867 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
12113adant2 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
13 simp2l 1198 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
14 lenco 14868 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘(𝐹𝑊)) = (♯‘𝑊))
1514eqcomd 2741 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹𝑊)))
1615oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...(♯‘(𝐹𝑊))))
1716eleq2d 2825 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))))
1817biimpd 229 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))))
1918expcom 413 . . . . . 6 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
2019com13 88 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴𝐵𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
2120adantl 481 . . . 4 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴𝐵𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
22213imp21 1113 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))
23 swrdvalfn 14686 . . 3 (((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))) → ((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
2412, 13, 22, 23syl3anc 1370 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
25 3anass 1094 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
2625biimpri 228 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
27263adant3 1131 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
28 swrdfv 14683 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
2928fveq2d 6911 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
3027, 29sylan 580 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
31 wrdfn 14563 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
32313ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
33 elfzodifsumelfzo 13767 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
34333ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
3534imp 406 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36 fvco2 7006 . . . . 5 ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
3732, 35, 36syl2an2r 685 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝐹𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
3830, 37eqtr4d 2778 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = ((𝐹𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
39 fvco2 7006 . . . 4 (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)))
405, 39sylan 580 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)))
4114ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(𝐹𝑊)) = (♯‘𝑊))
4241eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹𝑊)))
4342oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...(♯‘(𝐹𝑊))))
4443eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))))
4544biimpd 229 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))))
4645ex 412 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
4746com13 88 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴𝐵𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
4847adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴𝐵𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
49483imp21 1113 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))
5012, 13, 493jca 1127 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))))
51 swrdfv 14683 . . . 4 ((((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = ((𝐹𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
5250, 51sylan 580 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = ((𝐹𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
5338, 40, 523eqtr4d 2785 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖))
5410, 24, 53eqfnfvd 7054 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = ((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  cop 4637  ran crn 5690  ccom 5693   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153   + caddc 11156  cmin 11490  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   substr csubstr 14675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-substr 14676
This theorem is referenced by:  pfxco  14874
  Copyright terms: Public domain W3C validator