MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdco 14792
Description: Mapping of words commutes with the substring operation. (Contributed by AV, 11-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdco ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = ((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))

Proof of Theorem swrdco
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6716 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
213ad2ant3 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 swrdvalfn 14605 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
433expb 1118 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
543adant3 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
6 swrdrn 14606 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
763expb 1118 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
873adant3 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
9 fnco 6666 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
102, 5, 8, 9syl3anc 1369 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
11 wrdco 14786 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
12113adant2 1129 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
13 simp2l 1197 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
14 lenco 14787 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘(𝐹𝑊)) = (♯‘𝑊))
1514eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹𝑊)))
1615oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...(♯‘(𝐹𝑊))))
1716eleq2d 2817 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))))
1817biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))))
1918expcom 412 . . . . . 6 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
2019com13 88 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴𝐵𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
2120adantl 480 . . . 4 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴𝐵𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
22213imp21 1112 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))
23 swrdvalfn 14605 . . 3 (((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))) → ((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
2412, 13, 22, 23syl3anc 1369 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
25 3anass 1093 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
2625biimpri 227 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
27263adant3 1130 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
28 swrdfv 14602 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
2928fveq2d 6894 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
3027, 29sylan 578 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
31 wrdfn 14482 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
32313ad2ant1 1131 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
33 elfzodifsumelfzo 13702 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
34333ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
3534imp 405 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36 fvco2 6987 . . . . 5 ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
3732, 35, 36syl2an2r 681 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝐹𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
3830, 37eqtr4d 2773 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = ((𝐹𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
39 fvco2 6987 . . . 4 (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)))
405, 39sylan 578 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)))
4114ancoms 457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(𝐹𝑊)) = (♯‘𝑊))
4241eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹𝑊)))
4342oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...(♯‘(𝐹𝑊))))
4443eleq2d 2817 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))))
4544biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))))
4645ex 411 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
4746com13 88 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴𝐵𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
4847adantl 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴𝐵𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
49483imp21 1112 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))
5012, 13, 493jca 1126 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))))
51 swrdfv 14602 . . . 4 ((((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = ((𝐹𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
5250, 51sylan 578 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = ((𝐹𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
5338, 40, 523eqtr4d 2780 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖))
5410, 24, 53eqfnfvd 7034 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = ((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wss 3947  cop 4633  ran crn 5676  ccom 5679   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112   + caddc 11115  cmin 11448  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  chash 14294  Word cword 14468   substr csubstr 14594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-substr 14595
This theorem is referenced by:  pfxco  14793
  Copyright terms: Public domain W3C validator