Theorem swrdco 14968

Description: Mapping of words commutes with the substring operation. (Contributed by AV, 11-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))

Proof of Theorem swrdco

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6701	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		swrdvalfn 14780	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
4	3	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
5	4	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
6		swrdrn 14781	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
7	6	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
8	7	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
9		fnco 6649	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
10	2, 5, 8, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
11		wrdco 14962	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
12	11	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
13		simp2l 1218	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
14		lenco 14963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
15	14	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))
16	15	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
17	16	eleq2d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
18	17	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
19	18	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
20	19	com13 89	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
21	20	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
22	21	3imp21 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
23		swrdvalfn 14780	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) → ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
24	12, 13, 22, 23	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
25		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
26	25	biimpri 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
27	26	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
28		swrdfv 14776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
29	28	fveq2d 6881	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
30	27, 29	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
31		wrdfn 14653	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
32	31	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
33		elfzodifsumelfzo 13846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
34	33	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
35	34	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36		fvco2 6974	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
37	32, 35, 36	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
38	30, 37	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
39		fvco2 6974	. . . 4 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)))
40	5, 39	sylan 592	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)))
41	14	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
42	41	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))
43	42	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
44	43	eleq2d 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
45	44	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
46	45	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
47	46	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
48	47	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
49	48	3imp21 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
50	12, 13, 49	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
51		swrdfv 14776	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
52	50, 51	sylan 592	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
53	38, 40, 52	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖))
54	10, 24, 53	eqfnfvd 7024	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4590  ran crn 5652   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181   + caddc 11184   − cmin 11522  ...cfz 13620  ..^cfzo 13768  ♯chash 14454  Word cword 14638   substr csubstr 14768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-substr 14769

This theorem is used by:  pfxco  14969