MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdco 14876
Description: Mapping of words commutes with the substring operation. (Contributed by AV, 11-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdco ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = ((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))

Proof of Theorem swrdco
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6736 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
213ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 swrdvalfn 14689 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
433expb 1121 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
543adant3 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
6 swrdrn 14690 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
763expb 1121 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
873adant3 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
9 fnco 6686 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
102, 5, 8, 9syl3anc 1373 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
11 wrdco 14870 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
12113adant2 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
13 simp2l 1200 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
14 lenco 14871 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘(𝐹𝑊)) = (♯‘𝑊))
1514eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹𝑊)))
1615oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...(♯‘(𝐹𝑊))))
1716eleq2d 2827 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))))
1817biimpd 229 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))))
1918expcom 413 . . . . . 6 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
2019com13 88 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴𝐵𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
2120adantl 481 . . . 4 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴𝐵𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
22213imp21 1114 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))
23 swrdvalfn 14689 . . 3 (((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))) → ((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
2412, 13, 22, 23syl3anc 1373 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)))
25 3anass 1095 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
2625biimpri 228 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
27263adant3 1133 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
28 swrdfv 14686 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
2928fveq2d 6910 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
3027, 29sylan 580 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
31 wrdfn 14566 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
32313ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
33 elfzodifsumelfzo 13770 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
34333ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
3534imp 406 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36 fvco2 7006 . . . . 5 ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
3732, 35, 36syl2an2r 685 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝐹𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
3830, 37eqtr4d 2780 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = ((𝐹𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
39 fvco2 7006 . . . 4 (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)))
405, 39sylan 580 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)))
4114ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(𝐹𝑊)) = (♯‘𝑊))
4241eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹𝑊)))
4342oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...(♯‘(𝐹𝑊))))
4443eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))))
4544biimpd 229 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))))
4645ex 412 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
4746com13 88 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴𝐵𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
4847adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴𝐵𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))))
49483imp21 1114 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊))))
5012, 13, 493jca 1129 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))))
51 swrdfv 14686 . . . 4 ((((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹𝑊)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = ((𝐹𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
5250, 51sylan 580 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = ((𝐹𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
5338, 40, 523eqtr4d 2787 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖))
5410, 24, 53eqfnfvd 7054 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = ((𝐹𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cop 4632  ran crn 5686  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155   + caddc 11158  cmin 11492  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   substr csubstr 14678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-substr 14679
This theorem is referenced by:  pfxco  14877
  Copyright terms: Public domain W3C validator