Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posglbd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem posglbd 17760
 Description: Properties which determine the greatest lower bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
posglbd.l = (le‘𝐾)
posglbd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
posglbd.g (𝜑𝐺 = (glb‘𝐾))
posglbd.k (𝜑𝐾 ∈ Poset)
posglbd.s (𝜑𝑆𝐵)
posglbd.t (𝜑𝑇𝐵)
posglbd.lb ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑇 𝑥)
posglbd.gt ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑦 𝑥) → 𝑦 𝑇)
Assertion
Ref Expression
posglbd (𝜑 → (𝐺𝑆) = 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem posglbd
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
2 posglbd.l . . 3 = (le‘𝐾)
31, 2oduleval 17741 . 2 = (le‘(ODual‘𝐾))
4 posglbd.b . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
5 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
61, 5odubas 17743 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘(ODual‘𝐾))
74, 6syl6eq 2875 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾)))
8 posglbd.g . . 3 (𝜑𝐺 = (glb‘𝐾))
9 posglbd.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
10 eqid 2824 . . . . 5 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
111, 10odulub 17751 . . . 4 (𝐾 ∈ Poset → (glb‘𝐾) = (lub‘(ODual‘𝐾)))
129, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → (glb‘𝐾) = (lub‘(ODual‘𝐾)))
138, 12eqtrd 2859 . 2 (𝜑𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
141odupos 17745 . . 3 (𝐾 ∈ Poset → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
159, 14syl 17 . 2 (𝜑 → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
16 posglbd.s . 2 (𝜑𝑆𝐵)
17 posglbd.t . 2 (𝜑𝑇𝐵)
18 posglbd.lb . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑇 𝑥)
19 vex 3483 . . . . 5 𝑥 ∈ V
20 brcnvg 5737 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑇𝐵) → (𝑥 𝑇𝑇 𝑥))
2119, 17, 20sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 𝑇𝑇 𝑥))
2221adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 𝑇𝑇 𝑥))
2318, 22mpbird 260 . 2 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 𝑇)
24 vex 3483 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2519, 24brcnv 5740 . . . . 5 (𝑥 𝑦𝑦 𝑥)
2625ralbii 3160 . . . 4 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑥𝑆 𝑦 𝑥)
27 posglbd.gt . . . 4 ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑦 𝑥) → 𝑦 𝑇)
2826, 27syl3an3b 1402 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑦 𝑇)
29 brcnvg 5737 . . . . 5 ((𝑇𝐵𝑦 ∈ V) → (𝑇 𝑦𝑦 𝑇))
3017, 24, 29sylancl 589 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 𝑦𝑦 𝑇))
31303ad2ant1 1130 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → (𝑇 𝑦𝑦 𝑇))
3228, 31mpbird 260 . 2 ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑇 𝑦)
333, 7, 13, 15, 16, 17, 23, 32poslubdg 17759 1 (𝜑 → (𝐺𝑆) = 𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919   class class class wbr 5052  ◡ccnv 5541  ‘cfv 6343  Basecbs 16483  lecple 16572  Posetcpo 17550  lubclub 17552  glbcglb 17553  ODualcodu 17738 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-dec 12096  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ple 16585  df-proset 17538  df-poset 17556  df-lub 17584  df-glb 17585  df-odu 17739 This theorem is referenced by:  mrelatglb  17794  mrelatglb0  17795
 Copyright terms: Public domain W3C validator