Theorem fldgenfld 32842

Description: A generated subfield is a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldgenfld.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fldgenfld.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
fldgenfld.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fldgenfld	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s (𝐹 fldGen 𝑆)) ∈ Field)

Proof of Theorem fldgenfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldgenfld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2		fldgenfld.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		isfld 20587	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
4	1, 3	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
5	4	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
6		fldgenfld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	2, 5, 6	fldgensdrg 32836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑆) ∈ (SubDRing‘𝐹))
8		fldsdrgfld 20638	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ (𝐹 fldGen 𝑆) ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s (𝐹 fldGen 𝑆)) ∈ Field)
9	1, 7, 8	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s (𝐹 fldGen 𝑆)) ∈ Field)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3940  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142   ↾_s cress 17171  CRingccrg 20128  DivRingcdr 20576  Fieldcfield 20577  SubDRingcsdrg 20626   fldGen cfldgen 32832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-0g 17385  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20578  df-field 20579  df-sdrg 20627  df-fldgen 32833

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33222