Theorem fldgenfld 32269

Description: A generated subfield is a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldgenfld.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fldgenfld.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
fldgenfld.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fldgenfld	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s (𝐹 fldGen 𝑆)) ∈ Field)

Proof of Theorem fldgenfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldgenfld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2		fldgenfld.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		isfld 20275	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
4	1, 3	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
5	4	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
6		fldgenfld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	2, 5, 6	fldgensdrg 32263	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑆) ∈ (SubDRing‘𝐹))
8		fldsdrgfld 20360	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ (𝐹 fldGen 𝑆) ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s (𝐹 fldGen 𝑆)) ∈ Field)
9	1, 7, 8	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s (𝐹 fldGen 𝑆)) ∈ Field)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3943  ‘cfv 6531  (class class class)co 7392  Basecbs 17125   ↾_s cress 17154  CRingccrg 20014  DivRingcdr 20264  Fieldcfield 20265  SubDRingcsdrg 20348   fldGen cfldgen 32259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-tpos 8192  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-er 8685  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17078  df-slot 17096  df-ndx 17108  df-base 17126  df-ress 17155  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-0g 17368  df-mgm 18542  df-sgrp 18591  df-mnd 18602  df-grp 18796  df-minusg 18797  df-subg 18974  df-cmn 19613  df-mgp 19946  df-ur 19963  df-ring 20015  df-cring 20016  df-oppr 20101  df-dvdsr 20122  df-unit 20123  df-invr 20153  df-dvr 20164  df-drng 20266  df-field 20267  df-subrg 20307  df-sdrg 20349  df-fldgen 32260

This theorem is referenced by: (None)