Theorem fldgenfld 33293

Description: A generated subfield is a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldgenfld.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fldgenfld.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
fldgenfld.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fldgenfld	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s (𝐹 fldGen 𝑆)) ∈ Field)

Proof of Theorem fldgenfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldgenfld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2		fldgenfld.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		isfld 20657	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
4	1, 3	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
5	4	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
6		fldgenfld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	2, 5, 6	fldgensdrg 33287	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑆) ∈ (SubDRing‘𝐹))
8		fldsdrgfld 20715	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ (𝐹 fldGen 𝑆) ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s (𝐹 fldGen 𝑆)) ∈ Field)
9	1, 7, 8	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s (𝐹 fldGen 𝑆)) ∈ Field)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  CRingccrg 20154  DivRingcdr 20646  Fieldcfield 20647  SubDRingcsdrg 20703   fldGen cfldgen 33283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-subg 19038  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-subrng 20463  df-subrg 20487  df-drng 20648  df-field 20649  df-sdrg 20704  df-fldgen 33284

This theorem is referenced by:  fldgenfldext  33702  algextdeglem4  33754