Theorem psgnfn 19407

Description: Functionality and domain of the permutation sign function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfn.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnfn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnfn.f	⊢ 𝐹 = {𝑝 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
psgnfn.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnfn	⊢ 𝑁 Fn 𝐹

Distinct variable group:   𝐵,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐺(𝑝)   𝑁(𝑝)

Proof of Theorem psgnfn

Dummy variables 𝑠 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iotaex 6472	. 2 ⊢ (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝐷)(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) ∈ V
2		psgnfn.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
3		psgnfn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		psgnfn.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = {𝑝 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ ran (pmTrsp‘𝐷) = ran (pmTrsp‘𝐷)
6		psgnfn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
7	2, 3, 4, 5, 6	psgnfval 19406	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝐷)(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
8	1, 7	fnmpti 6643	1 ⊢ 𝑁 Fn 𝐹

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3402   ∖ cdif 3908   I cid 5525  dom cdm 5631  ran crn 5632  ℩cio 6450   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  1c1 11045  -cneg 11382  ↑cexp 14002  ♯chash 14271  Word cword 14454  Basecbs 17155   Σ_g cgsu 17379  SymGrpcsymg 19275  pmTrspcpmtr 19347  pmSgncpsgn 19395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-psgn 19397

This theorem is referenced by:  psgndmsubg  19408  psgneldm  19409  psgneldm2  19410  psgnval  19413  psgnghm  21465  psgnghm2  21466  cofipsgn  21478  m1detdiag  22460  psgndmfi  33028