MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofipsgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofipsgn 21611
Description: Composition of any class 𝑌 and the sign function for a finite permutation. (Contributed by AV, 27-Dec-2018.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cofipsgn.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
cofipsgn.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
cofipsgn ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆𝑄)))

Proof of Theorem cofipsgn
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2 cofipsgn.p . . 3 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
3 eqid 2737 . . 3 {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
4 cofipsgn.s . . 3 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
51, 2, 3, 4psgnfn 19519 . 2 𝑆 Fn {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
6 difeq1 4119 . . . . 5 (𝑝 = 𝑄 → (𝑝 ∖ I ) = (𝑄 ∖ I ))
76dmeqd 5916 . . . 4 (𝑝 = 𝑄 → dom (𝑝 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
87eleq1d 2826 . . 3 (𝑝 = 𝑄 → (dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
9 simpr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → 𝑄𝑃)
101, 2sygbasnfpfi 19530 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
118, 9, 10elrabd 3694 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → 𝑄 ∈ {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
12 fvco2 7006 . 2 ((𝑆 Fn {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ 𝑄 ∈ {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}) → ((𝑌𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆𝑄)))
135, 11, 12sylancr 587 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  cdif 3948   I cid 5577  dom cdm 5685  ccom 5689   Fn wfn 6556  cfv 6561  Fincfn 8985  Basecbs 17247  SymGrpcsymg 19386  pmSgncpsgn 19507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18882  df-symg 19387  df-psgn 19509
This theorem is referenced by:  zrhcopsgnelbas  21613  copsgndif  21621  mdetfval1  22596  mdetpmtr1  33822  mdetpmtr12  33824
  Copyright terms: Public domain W3C validator