Theorem cofipsgn 20509

Description: Composition of any class 𝑌 and the sign function for a finite permutation. (Contributed by AV, 27-Dec-2018.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofipsgn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
cofipsgn.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
cofipsgn	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))

Proof of Theorem cofipsgn

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		cofipsgn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
4		cofipsgn.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
5	1, 2, 3, 4	psgnfn 18847	. 2 ⊢ 𝑆 Fn {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
6		difeq1 4016	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (𝑝 ∖ I ) = (𝑄 ∖ I ))
7	6	dmeqd 5759	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → dom (𝑝 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
8	7	eleq1d 2815	. . 3 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
9		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → 𝑄 ∈ 𝑃)
10	1, 2	sygbasnfpfi 18858	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
11	8, 9, 10	elrabd 3593	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → 𝑄 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
12		fvco2 6786	. 2 ⊢ ((𝑆 Fn {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ 𝑄 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
13	5, 11, 12	sylancr 590	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  {crab 3055   ∖ cdif 3850   I cid 5439  dom cdm 5536   ∘ ccom 5540   Fn wfn 6353  ‘cfv 6358  Fincfn 8604  Basecbs 16666  SymGrpcsymg 18713  pmSgncpsgn 18835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-hash 13862  df-word 14035  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-tset 16768  df-efmnd 18250  df-symg 18714  df-psgn 18837

This theorem is referenced by:  zrhcopsgnelbas  20511  copsgndif  20519  mdetfval1  21441  mdetpmtr1  31441  mdetpmtr12  31443