MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofipsgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofipsgn 21589
Description: Composition of any class 𝑌 and the sign function for a finite permutation. (Contributed by AV, 27-Dec-2018.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cofipsgn.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
cofipsgn.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
cofipsgn ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆𝑄)))

Proof of Theorem cofipsgn
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2 cofipsgn.p . . 3 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
3 eqid 2726 . . 3 {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
4 cofipsgn.s . . 3 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
51, 2, 3, 4psgnfn 19499 . 2 𝑆 Fn {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
6 difeq1 4114 . . . . 5 (𝑝 = 𝑄 → (𝑝 ∖ I ) = (𝑄 ∖ I ))
76dmeqd 5912 . . . 4 (𝑝 = 𝑄 → dom (𝑝 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
87eleq1d 2811 . . 3 (𝑝 = 𝑄 → (dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
9 simpr 483 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → 𝑄𝑃)
101, 2sygbasnfpfi 19510 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
118, 9, 10elrabd 3683 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → 𝑄 ∈ {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
12 fvco2 6999 . 2 ((𝑆 Fn {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ 𝑄 ∈ {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}) → ((𝑌𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆𝑄)))
135, 11, 12sylancr 585 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3419  cdif 3944   I cid 5579  dom cdm 5682  ccom 5686   Fn wfn 6549  cfv 6554  Fincfn 8974  Basecbs 17213  SymGrpcsymg 19364  pmSgncpsgn 19487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-tset 17285  df-efmnd 18859  df-symg 19365  df-psgn 19489
This theorem is referenced by:  zrhcopsgnelbas  21591  copsgndif  21599  mdetfval1  22583  mdetpmtr1  33638  mdetpmtr12  33640
  Copyright terms: Public domain W3C validator