Theorem cofipsgn 21572

Description: Composition of any class 𝑌 and the sign function for a finite permutation. (Contributed by AV, 27-Dec-2018.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofipsgn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
cofipsgn.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
cofipsgn	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))

Proof of Theorem cofipsgn

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . 3 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		cofipsgn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
3		eqid 2741	. . 3 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
4		cofipsgn.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
5	1, 2, 3, 4	psgnfn 19471	. 2 ⊢ 𝑆 Fn {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
6		difeq1 4053	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (𝑝 ∖ I ) = (𝑄 ∖ I ))
7	6	dmeqd 5854	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → dom (𝑝 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
8	7	eleq1d 2826	. . 3 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
9		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → 𝑄 ∈ 𝑃)
10	1, 2	sygbasnfpfi 19482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
11	8, 9, 10	elrabd 3633	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → 𝑄 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
12		fvco2 6928	. 2 ⊢ ((𝑆 Fn {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ 𝑄 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
13	5, 11, 12	sylancr 594	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393   ∖ cdif 3882   I cid 5515  dom cdm 5621   ∘ ccom 5625   Fn wfn 6484  ‘cfv 6489  Fincfn 8887  Basecbs 17174  SymGrpcsymg 19339  pmSgncpsgn 19459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-tset 17234  df-efmnd 18832  df-symg 19340  df-psgn 19461

This theorem is referenced by:  zrhcopsgnelbas  21574  copsgndif  21582  mdetfval1  22577  mdetpmtr1  34019  mdetpmtr12  34021