Theorem cofipsgn 20710

Description: Composition of any class 𝑌 and the sign function for a finite permutation. (Contributed by AV, 27-Dec-2018.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofipsgn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
cofipsgn.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
cofipsgn	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))

Proof of Theorem cofipsgn

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		cofipsgn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
4		cofipsgn.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
5	1, 2, 3, 4	psgnfn 19024	. 2 ⊢ 𝑆 Fn {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
6		difeq1 4046	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (𝑝 ∖ I ) = (𝑄 ∖ I ))
7	6	dmeqd 5803	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → dom (𝑝 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
8	7	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → 𝑄 ∈ 𝑃)
10	1, 2	sygbasnfpfi 19035	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
11	8, 9, 10	elrabd 3619	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → 𝑄 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
12		fvco2 6847	. 2 ⊢ ((𝑆 Fn {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ 𝑄 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
13	5, 11, 12	sylancr 586	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067   ∖ cdif 3880   I cid 5479  dom cdm 5580   ∘ ccom 5584   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  Fincfn 8691  Basecbs 16840  SymGrpcsymg 18889  pmSgncpsgn 19012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-efmnd 18423  df-symg 18890  df-psgn 19014

This theorem is referenced by:  zrhcopsgnelbas  20712  copsgndif  20720  mdetfval1  21647  mdetpmtr1  31675  mdetpmtr12  31677