MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofipsgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofipsgn 20334
Description: Composition of any class 𝑌 and the sign function for a finite permutation. (Contributed by AV, 27-Dec-2018.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cofipsgn.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
cofipsgn.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
cofipsgn ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆𝑄)))

Proof of Theorem cofipsgn
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . 3 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2 cofipsgn.p . . 3 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
3 eqid 2778 . . 3 {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
4 cofipsgn.s . . 3 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
51, 2, 3, 4psgnfn 18305 . 2 𝑆 Fn {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
6 difeq1 3944 . . . . 5 (𝑝 = 𝑄 → (𝑝 ∖ I ) = (𝑄 ∖ I ))
76dmeqd 5571 . . . 4 (𝑝 = 𝑄 → dom (𝑝 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
87eleq1d 2844 . . 3 (𝑝 = 𝑄 → (dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
9 simpr 479 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → 𝑄𝑃)
101, 2sygbasnfpfi 18316 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
118, 9, 10elrabd 3575 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → 𝑄 ∈ {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
12 fvco2 6533 . 2 ((𝑆 Fn {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ 𝑄 ∈ {𝑝𝑃 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}) → ((𝑌𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆𝑄)))
135, 11, 12sylancr 581 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  {crab 3094  cdif 3789   I cid 5260  dom cdm 5355  ccom 5359   Fn wfn 6130  cfv 6135  Fincfn 8241  Basecbs 16255  SymGrpcsymg 18180  pmSgncpsgn 18292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-tset 16357  df-symg 18181  df-psgn 18294
This theorem is referenced by:  zrhcopsgnelbas  20337  copsgndif  20345  mdetfval1  20801  mdetpmtr1  30487  mdetpmtr12  30489
  Copyright terms: Public domain W3C validator