Theorem psgnval 19482

Description: Value of the permutation sign function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnval	⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘𝑃) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑠,𝐺   𝑁,𝑠,𝑤   𝑃,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠,𝑤   𝐷,𝑠,𝑤

Proof of Theorem psgnval

Dummy variables 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑃 → (𝑡 = (𝐺 Σg 𝑤) ↔ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))
2	1	anbi1d 632	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑃 → ((𝑡 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
3	2	rexbidv 3161	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑃 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑡 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
4	3	iotabidv 6482	. 2 ⊢ (𝑡 = 𝑃 → (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑡 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
5		psgnval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
6		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
8		psgnval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
9	5, 6, 7, 8	psgnfn 19476	. . . 4 ⊢ 𝑁 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
10	9	fndmi 6602	. . 3 ⊢ dom 𝑁 = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
11		psgnval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
12	5, 6, 10, 11, 8	psgnfval 19475	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑡 ∈ dom 𝑁 ↦ (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑡 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
13		iotaex 6474	. 2 ⊢ (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) ∈ V
14	4, 12, 13	fvmpt 6947	1 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘𝑃) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {crab 3389   ∖ cdif 3886   I cid 5525  dom cdm 5631  ran crn 5632  ℩cio 6452  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  1c1 11039  -cneg 11378  ↑cexp 14023  ♯chash 14292  Word cword 14475  Basecbs 17179   Σ_g cgsu 17403  SymGrpcsymg 19344  pmTrspcpmtr 19416  pmSgncpsgn 19464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-psgn 19466

This theorem is referenced by:  psgnvali  19483  psgnvalii  19484  psgnvalfi  19489  psgnprfval  19496