Theorem psgnval 19474

Description: Value of the permutation sign function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnval	⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘𝑃) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑠,𝐺   𝑁,𝑠,𝑤   𝑃,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠,𝑤   𝐷,𝑠,𝑤

Proof of Theorem psgnval

Dummy variables 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑃 → (𝑡 = (𝐺 Σg 𝑤) ↔ 𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))
2	1	anbi1d 629	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑃 → ((𝑡 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
3	2	rexbidv 3168	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑃 → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑡 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
4	3	iotabidv 6533	. 2 ⊢ (𝑡 = 𝑃 → (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑡 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
5		psgnval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
6		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
8		psgnval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
9	5, 6, 7, 8	psgnfn 19468	. . . 4 ⊢ 𝑁 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
10	9	fndmi 6659	. . 3 ⊢ dom 𝑁 = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
11		psgnval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
12	5, 6, 10, 11, 8	psgnfval 19467	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑡 ∈ dom 𝑁 ↦ (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑡 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
13		iotaex 6522	. 2 ⊢ (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) ∈ V
14	4, 12, 13	fvmpt 7004	1 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘𝑃) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059  {crab 3418   ∖ cdif 3941   I cid 5575  dom cdm 5678  ran crn 5679  ℩cio 6499  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  1c1 11141  -cneg 11477  ↑cexp 14062  ♯chash 14325  Word cword 14500  Basecbs 17183   Σ_g cgsu 17425  SymGrpcsymg 19333  pmTrspcpmtr 19408  pmSgncpsgn 19456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-psgn 19458

This theorem is referenced by:  psgnvali  19475  psgnvalii  19476  psgnvalfi  19481  psgnprfval  19488