Theorem psgnvali 19722

Description: A finitary permutation has at least one representation for its parity. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnvali	⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (𝑁‘𝑃) = (-1↑(♯‘𝑤))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑇   𝑤,𝐷

Proof of Theorem psgnvali

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnval.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgnval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
3		psgnval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
4	1, 2, 3	psgnval 19721	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘𝑃) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
5	1, 2, 3	psgneu 19720	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
6		iotacl 6524	. . . 4 ⊢ (∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) → (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))})
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))})
8	4, 7	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘𝑃) ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))})
9		fvex 6898	. . 3 ⊢ (𝑁‘𝑃) ∈ V
10		eqeq1 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (𝑁‘𝑃) → (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ (𝑁‘𝑃) = (-1↑(♯‘𝑤))))
11	10	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑠 = (𝑁‘𝑃) → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (𝑁‘𝑃) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
12	11	rexbidv 3187	. . 3 ⊢ (𝑠 = (𝑁‘𝑃) → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (𝑁‘𝑃) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
13	9, 12	elab 3633	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝑃) ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))} ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (𝑁‘𝑃) = (-1↑(♯‘𝑤))))
14	8, 13	sylib 221	1 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (𝑁‘𝑃) = (-1↑(♯‘𝑤))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2594  {cab 2739  ∃wrex 3087  dom cdm 5651  ran crn 5652  ℩cio 6492  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201  -cneg 11542  ↑cexp 14204  ♯chash 14474  Word cword 14658   Σ_g cgsu 17611  SymGrpcsymg 19583  pmTrspcpmtr 19655  pmSgncpsgn 19703

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-splice 14899  df-reverse 14908  df-s2 14999  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-tset 17447  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-efmnd 19065  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-gim 19473  df-oppg 19560  df-symg 19584  df-pmtr 19656  df-psgn 19705

This theorem is used by:  psgnran  19729  psgnghm  21886