Theorem psgnvali 19573

Description: A finitary permutation has at least one representation for its parity. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnvali	⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (𝑁‘𝑃) = (-1↑(♯‘𝑤))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑇   𝑤,𝐷

Proof of Theorem psgnvali

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnval.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgnval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
3		psgnval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
4	1, 2, 3	psgnval 19572	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘𝑃) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
5	1, 2, 3	psgneu 19571	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
6		iotacl 6522	. . . 4 ⊢ (∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) → (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))})
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))})
8	4, 7	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘𝑃) ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))})
9		fvex 6894	. . 3 ⊢ (𝑁‘𝑃) ∈ V
10		eqeq1 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (𝑁‘𝑃) → (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ (𝑁‘𝑃) = (-1↑(♯‘𝑤))))
11	10	anbi2d 641	. . . 4 ⊢ (𝑠 = (𝑁‘𝑃) → ((𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (𝑁‘𝑃) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
12	11	rexbidv 3189	. . 3 ⊢ (𝑠 = (𝑁‘𝑃) → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (𝑁‘𝑃) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
13	9, 12	elab 3638	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝑃) ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))} ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (𝑁‘𝑃) = (-1↑(♯‘𝑤))))
14	8, 13	sylib 221	1 ⊢ (𝑃 ∈ dom 𝑁 → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (𝑁‘𝑃) = (-1↑(♯‘𝑤))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃!weu 2596  {cab 2741  ∃wrex 3089  dom cdm 5661  ran crn 5662  ℩cio 6490  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11096  -cneg 11437  ↑cexp 14093  ♯chash 14362  Word cword 14546   Σ_g cgsu 17488  SymGrpcsymg 19434  pmTrspcpmtr 19506  pmSgncpsgn 19554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-splice 14783  df-reverse 14792  df-s2 14881  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-tset 17324  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-efmnd 18923  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-gim 19324  df-oppg 19411  df-symg 19435  df-pmtr 19507  df-psgn 19556

This theorem is referenced by:  psgnran  19580  psgnghm  21730