Theorem psgnvalii 19422

Description: Any representation of a permutation is length matching the permutation sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnvalii	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊)))

Proof of Theorem psgnvalii

Dummy variables 𝑠 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnval.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgnval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
3		psgnval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
4	1, 2, 3	psgneldm2i 19418	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁)
5	1, 2, 3	psgnval 19420	. . 3 ⊢ ((𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
8		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊))
9		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊)))
10		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝐺 Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑊))
11	10	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ↔ (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊)))
12		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
13	12	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑊)))
14	13	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊))))
15	11, 14	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊)))))
16	15	rspcev 3577	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊)))) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤))))
17	7, 8, 9, 16	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤))))
18		ovexd 7381	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ V)
19	1, 2, 3	psgneu 19419	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
20	4, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
21		eqeq1 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑊)) → (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤))))
22	21	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑊)) → (((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
23	22	rexbidv 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑊)) → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑊))) → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
25	18, 20, 24	iota2d 6469	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) = (-1↑(♯‘𝑊))))
26	17, 25	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) = (-1↑(♯‘𝑊)))
27	6, 26	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃!weu 2563  ∃wrex 3056  Vcvv 3436  dom cdm 5616  ran crn 5617  ℩cio 6435  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1c1 11007  -cneg 11345  ↑cexp 13968  ♯chash 14237  Word cword 14420   Σ_g cgsu 17344  SymGrpcsymg 19282  pmTrspcpmtr 19354  pmSgncpsgn 19402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14504  df-substr 14549  df-pfx 14579  df-splice 14657  df-reverse 14666  df-s2 14755  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-efmnd 18777  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-ghm 19126  df-gim 19172  df-oppg 19259  df-symg 19283  df-pmtr 19355  df-psgn 19404

This theorem is referenced by:  psgnpmtr  19423  psgn0fv0  19424  psgnsn  19433  psgnprfval1  19435  psgnghm  21518  cyc3genpm  33119