Theorem psgnvalii 19602

Description: Any representation of a permutation is length matching the permutation sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnvalii	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊)))

Proof of Theorem psgnvalii

Dummy variables 𝑠 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnval.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgnval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
3		psgnval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
4	1, 2, 3	psgneldm2i 19598	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁)
5	1, 2, 3	psgnval 19600	. . 3 ⊢ ((𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
7		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
8		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊))
9		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊)))
10		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝐺 Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑊))
11	10	eqeq2d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ↔ (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊)))
12		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
13	12	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑊)))
14	13	eqeq2d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊))))
15	11, 14	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊)))))
16	15	rspcev 3583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊)))) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤))))
17	7, 8, 9, 16	syl12anc 850	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤))))
18		ovexd 7451	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ V)
19	1, 2, 3	psgneu 19599	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
20	4, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
21		eqeq1 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑊)) → (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤))))
22	21	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑊)) → (((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
23	22	rexbidv 3191	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑊)) → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
24	23	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑊))) → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
25	18, 20, 24	iota2d 6528	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) = (-1↑(♯‘𝑊))))
26	17, 25	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) = (-1↑(♯‘𝑊)))
27	6, 26	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃!weu 2598  ∃wrex 3091  Vcvv 3457  dom cdm 5663  ran crn 5664  ℩cio 6494  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  1c1 11112  -cneg 11453  ↑cexp 14110  ♯chash 14379  Word cword 14563   Σ_g cgsu 17510  SymGrpcsymg 19462  pmTrspcpmtr 19534  pmSgncpsgn 19582

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-exp 14111  df-hash 14380  df-word 14564  df-lsw 14613  df-concat 14621  df-s1 14648  df-substr 14694  df-pfx 14726  df-splice 14804  df-reverse 14813  df-s2 14904  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-tset 17346  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-submnd 18865  df-efmnd 18951  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-subg 19212  df-ghm 19307  df-gim 19352  df-oppg 19439  df-symg 19463  df-pmtr 19535  df-psgn 19584

This theorem is used by:  psgnpmtr  19603  psgn0fv0  19604  psgnsn  19613  psgnprfval1  19615  psgnghm  21759  cyc3genpm  33495