Theorem psgnvalii 19575

Description: Any representation of a permutation is length matching the permutation sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnvalii	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊)))

Proof of Theorem psgnvalii

Dummy variables 𝑠 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnval.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgnval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
3		psgnval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
4	1, 2, 3	psgneldm2i 19571	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁)
5	1, 2, 3	psgnval 19573	. . 3 ⊢ ((𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
7		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
8		eqidd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊))
9		eqidd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊)))
10		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝐺 Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑊))
11	10	eqeq2d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ↔ (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊)))
12		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
13	12	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (-1↑(♯‘𝑤)) = (-1↑(♯‘𝑊)))
14	13	eqeq2d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊))))
15	11, 14	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊)))))
16	15	rspcev 3590	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊)))) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤))))
17	7, 8, 9, 16	syl12anc 849	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤))))
18		ovexd 7443	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ V)
19	1, 2, 3	psgneu 19572	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
20	4, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
21		eqeq1 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑊)) → (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)) ↔ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤))))
22	21	anbi2d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑊)) → (((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
23	22	rexbidv 3195	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (-1↑(♯‘𝑊)) → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
24	23	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑊))) → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤)))))
25	18, 20, 24	iota2d 6521	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) = (-1↑(♯‘𝑊))))
26	17, 25	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) = (-1↑(♯‘𝑊)))
27	6, 26	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃!weu 2602  ∃wrex 3095  Vcvv 3463  dom cdm 5659  ran crn 5660  ℩cio 6487  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  1c1 11097  -cneg 11438  ↑cexp 14093  ♯chash 14362  Word cword 14546   Σ_g cgsu 17489  SymGrpcsymg 19435  pmTrspcpmtr 19507  pmSgncpsgn 19555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-xor 1539  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-splice 14783  df-reverse 14792  df-s2 14881  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-tset 17325  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-efmnd 18924  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-gim 19325  df-oppg 19412  df-symg 19436  df-pmtr 19508  df-psgn 19557

This theorem is referenced by:  psgnpmtr  19576  psgn0fv0  19577  psgnsn  19586  psgnprfval1  19588  psgnghm  21695  cyc3genpm  33409