MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnvalfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnvalfi 18378
Description: Value of the permutation sign function for permutations of finite sets. (Contributed by AV, 13-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfvalfi.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnfvalfi.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnfvalfi.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnfvalfi.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnvalfi ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐵) → (𝑁𝑃) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑠,𝐷   𝑤,𝑇   𝐺,𝑠,𝑤   𝑁,𝑠,𝑤   𝑃,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤,𝑠)

Proof of Theorem psgnvalfi
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐵) → 𝑃𝐵)
2 psgnfvalfi.g . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
3 psgnfvalfi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
42, 3sygbasnfpfi 18376 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐵) → dom (𝑃 ∖ I ) ∈ Fin)
5 psgnfvalfi.n . . . 4 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
62, 5, 3psgneldm 18367 . . 3 (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ (𝑃𝐵 ∧ dom (𝑃 ∖ I ) ∈ Fin))
71, 4, 6sylanbrc 583 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐵) → 𝑃 ∈ dom 𝑁)
8 psgnfvalfi.t . . 3 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
92, 8, 5psgnval 18371 . 2 (𝑃 ∈ dom 𝑁 → (𝑁𝑃) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
107, 9syl 17 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐵) → (𝑁𝑃) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wrex 3106  cdif 3860   I cid 5352  dom cdm 5448  ran crn 5449  cio 6192  cfv 6230  (class class class)co 7021  Fincfn 8362  1c1 10389  -cneg 10723  cexp 13284  chash 13545  Word cword 13712  Basecbs 16317   Σg cgsu 16548  SymGrpcsymg 18241  pmTrspcpmtr 18305  pmSgncpsgn 18353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-hash 13546  df-word 13713  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-plusg 16412  df-tset 16418  df-symg 18242  df-psgn 18355
This theorem is referenced by:  psgndif  20433
  Copyright terms: Public domain W3C validator