Theorem acycgrcycl 35159

Description: Any cycle in an acyclic graph is trivial (i.e. has one vertex and no edges). (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
acycgrcycl	⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)

Proof of Theorem acycgrcycl

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycliswlk 29769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkv 29584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4	3	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 ∈ V)
6	3	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ V)
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝑃 ∈ V)
8		breq1 5092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝))
9		eqeq1 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))
10	8, 9	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅) ↔ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝐹 = ∅)))
11		breq2 5093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))
12	11	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅)))
13	10, 12	sylan9bb 509	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅) ↔ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅)))
14		isacycgr1 35158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅)))
15	14	ibi 267	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
16	15	19.21bbi 2192	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
18	5, 7, 13, 17	vtocl2d 3515	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅))
19	18	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅)))
20	19	pm2.43d 53	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅))
21	20	imp 406	1 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  Vcvv 3434  ∅c0 4281   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  Walkscwlks 29568  Cyclesccycls 29756  AcyclicGraphcacycgr 35154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-hash 14230  df-word 14413  df-wlks 29571  df-trls 29662  df-pths 29685  df-cycls 29758  df-acycgr 35155

This theorem is referenced by:  pthacycspth  35169