Theorem acycgrcycl 32680

Description: Any cycle in an acyclic graph is trivial (i.e. has one vertex and no edges). (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
acycgrcycl	⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)

Proof of Theorem acycgrcycl

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycliswlk 27739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkv 27554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4	3	simp2d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
5	4	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 ∈ V)
6	3	simp3d 1145	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ V)
7	6	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝑃 ∈ V)
8		breq1 5033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝))
9		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))
10	8, 9	imbi12d 348	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅) ↔ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝐹 = ∅)))
11		breq2 5034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))
12	11	imbi1d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅)))
13	10, 12	sylan9bb 513	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅) ↔ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅)))
14		isacycgr1 32679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅)))
15	14	ibi 270	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
16	15	19.21bbi 2191	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
17	16	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
18	5, 7, 13, 17	vtocl2d 3461	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅))
19	18	ex 416	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅)))
20	19	pm2.43d 53	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅))
21	20	imp 410	1 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3398  ∅c0 4211   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  Walkscwlks 27538  Cyclesccycls 27726  AcyclicGraphcacycgr 32675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-hash 13783  df-word 13956  df-wlks 27541  df-trls 27634  df-pths 27657  df-cycls 27728  df-acycgr 32676

This theorem is referenced by:  pthacycspth  32690