Theorem acycgrcycl 35538

Description: Any cycle in an acyclic graph is trivial (i.e. has one vertex and no edges). (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
acycgrcycl	⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)

Proof of Theorem acycgrcycl

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycliswlk 30088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkv 29903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3	1, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4	3	simp2d 1159	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
5	4	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 ∈ V)
6	3	simp3d 1160	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ V)
7	6	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝑃 ∈ V)
8		breq1 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝))
9		eqeq1 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))
10	8, 9	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅) ↔ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝐹 = ∅)))
11		breq2 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))
12	11	imbi1d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅)))
13	10, 12	sylan9bb 518	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅) ↔ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅)))
14		isacycgr1 35537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅)))
15	14	ibi 270	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
16	15	19.21bbi 2232	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
17	16	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
18	5, 7, 13, 17	vtocl2d 3537	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅))
19	18	ex 417	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅)))
20	19	pm2.43d 54	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅))
21	20	imp 411	1 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101  ∀wal 1565   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  Walkscwlks 29887  Cyclesccycls 30075  AcyclicGraphcacycgr 35533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-wlks 29890  df-trls 29981  df-pths 30004  df-cycls 30077  df-acycgr 35534

This theorem is referenced by:  pthacycspth  35548