Theorem acycgrcycl 33009

Description: Any cycle in an acyclic graph is trivial (i.e. has one vertex and no edges). (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
acycgrcycl	⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)

Proof of Theorem acycgrcycl

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycliswlk 28067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkv 27882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4	3	simp2d 1141	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 ∈ V)
6	3	simp3d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ V)
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝑃 ∈ V)
8		breq1 5073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝))
9		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))
10	8, 9	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅) ↔ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝐹 = ∅)))
11		breq2 5074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))
12	11	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅)))
13	10, 12	sylan9bb 509	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅) ↔ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅)))
14		isacycgr1 33008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅)))
15	14	ibi 266	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
16	15	19.21bbi 2185	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
18	5, 7, 13, 17	vtocl2d 3486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅))
19	18	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅)))
20	19	pm2.43d 53	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅))
21	20	imp 406	1 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Walkscwlks 27866  Cyclesccycls 28054  AcyclicGraphcacycgr 33004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-wlks 27869  df-trls 27962  df-pths 27985  df-cycls 28056  df-acycgr 33005

This theorem is referenced by:  pthacycspth  33019