Theorem qnegcl 12901

Description: Closure law for the negative of a rational. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qnegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem qnegcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 12885	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		zcn 12510	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		nncn 12170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
6		nnne0 12196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ≠ 0)
8	3, 5, 7	divnegd 11947	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥 / 𝑦) = (-𝑥 / 𝑦))
9		znegcl 12544	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
10		znq 12887	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
11	9, 10	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
12	8, 11	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
13		negeq 11389	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 = -(𝑥 / 𝑦))
14	13	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (-𝐴 ∈ ℚ ↔ -(𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ))
15	12, 14	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 ∈ ℚ))
16	15	rexlimivv 3177	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 ∈ ℚ)
17	1, 16	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  -cneg 11382   / cdiv 11811  ℕcn 12162  ℤcz 12505  ℚcq 12883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-z 12506  df-q 12884

This theorem is referenced by:  qsubcl  12903  pcadd2  16837  qsubdrg  21312  vitalilem1  25485  qaa  26207  numdenneg  32712  cos9thpiminplylem6  33750  cos9thpiminply  33751  3cubes  42651  rmxyneg  42882  mpaaeu  43112