Theorem qnegcl 12907

Description: Closure law for the negative of a rational. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qnegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem qnegcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 12891	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		zcn 12520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		nncn 12173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
5	4	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
6		nnne0 12202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
7	6	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ≠ 0)
8	3, 5, 7	divnegd 11935	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥 / 𝑦) = (-𝑥 / 𝑦))
9		znegcl 12553	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
10		znq 12893	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
11	9, 10	sylan 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
12	8, 11	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
13		negeq 11376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 = -(𝑥 / 𝑦))
14	13	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (-𝐴 ∈ ℚ ↔ -(𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ))
15	12, 14	syl5ibrcom 248	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 ∈ ℚ))
16	15	rexlimivv 3181	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 ∈ ℚ)
17	1, 16	sylbi 218	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℤcz 12515  ℚcq 12889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-z 12516  df-q 12890

This theorem is referenced by:  qsubcl  12909  pcadd2  16852  qsubdrg  21394  vitalilem1  25593  qaa  26307  numdenneg  32907  cos9thpiminplylem6  33971  cos9thpiminply  33972  3cubes  43139  rmxyneg  43365  mpaaeu  43595