MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qnegcl 12948
Description: Closure law for the negative of a rational. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qnegcl (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem qnegcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12932 . 2 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2 zcn 12561 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4 nncn 12218 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
54adantl 481 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
6 nnne0 12244 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
76adantl 481 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ≠ 0)
83, 5, 7divnegd 12001 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥 / 𝑦) = (-𝑥 / 𝑦))
9 znegcl 12595 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
10 znq 12934 . . . . . 6 ((-𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
119, 10sylan 579 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
128, 11eqeltrd 2825 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
13 negeq 11450 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 = -(𝑥 / 𝑦))
1413eleq1d 2810 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (-𝐴 ∈ ℚ ↔ -(𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ))
1512, 14syl5ibrcom 246 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 ∈ ℚ))
1615rexlimivv 3191 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 ∈ ℚ)
171, 16sylbi 216 1 (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wrex 3062  (class class class)co 7402  cc 11105  0cc0 11107  -cneg 11443   / cdiv 11869  cn 12210  cz 12556  cq 12930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-z 12557  df-q 12931
This theorem is referenced by:  qsubcl  12950  pcadd2  16824  qsubdrg  21283  vitalilem1  25461  qaa  26179  numdenneg  32493  3cubes  41942  rmxyneg  42173  mpaaeu  42406
  Copyright terms: Public domain W3C validator