MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qnegcl 12890
Description: Closure law for the negative of a rational. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qnegcl (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem qnegcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12874 . 2 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2 zcn 12503 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4 nncn 12160 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
54adantl 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
6 nnne0 12186 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
76adantl 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ≠ 0)
83, 5, 7divnegd 11943 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥 / 𝑦) = (-𝑥 / 𝑦))
9 znegcl 12537 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
10 znq 12876 . . . . . 6 ((-𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
119, 10sylan 580 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
128, 11eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
13 negeq 11392 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 = -(𝑥 / 𝑦))
1413eleq1d 2822 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (-𝐴 ∈ ℚ ↔ -(𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ))
1512, 14syl5ibrcom 246 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 ∈ ℚ))
1615rexlimivv 3196 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 ∈ ℚ)
171, 16sylbi 216 1 (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  (class class class)co 7356  cc 11048  0cc0 11050  -cneg 11385   / cdiv 11811  cn 12152  cz 12498  cq 12872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-z 12499  df-q 12873
This theorem is referenced by:  qsubcl  12892  pcadd2  16761  qsubdrg  20847  vitalilem1  24970  qaa  25681  numdenneg  31657  3cubes  40990  rmxyneg  41221  mpaaeu  41454
  Copyright terms: Public domain W3C validator