Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  numdenneg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem numdenneg 32528
Description: Numerator and denominator of the negative. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
numdenneg (𝑄 ∈ β„š β†’ ((numerβ€˜-𝑄) = -(numerβ€˜π‘„) ∧ (denomβ€˜-𝑄) = (denomβ€˜π‘„)))
Proof of Theorem numdenneg
StepHypRef Expression
1 qnegcl 12954 . 2 (𝑄 ∈ β„š β†’ -𝑄 ∈ β„š)
2 qnumcl 16685 . . 3 (𝑄 ∈ β„š β†’ (numerβ€˜π‘„) ∈ β„€)
32znegcld 12672 . 2 (𝑄 ∈ β„š β†’ -(numerβ€˜π‘„) ∈ β„€)
4 qdencl 16686 . 2 (𝑄 ∈ β„š β†’ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„•)
54nnzd 12589 . . . 4 (𝑄 ∈ β„š β†’ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„€)
6 neggcd 16471 . . . 4 (((numerβ€˜π‘„) ∈ β„€ ∧ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„€) β†’ (-(numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)) = ((numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)))
72, 5, 6syl2anc 583 . . 3 (𝑄 ∈ β„š β†’ (-(numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)) = ((numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)))
8 qnumdencoprm 16690 . . 3 (𝑄 ∈ β„š β†’ ((numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)) = 1)
97, 8eqtrd 2766 . 2 (𝑄 ∈ β„š β†’ (-(numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)) = 1)
10 qeqnumdivden 16691 . . . 4 (𝑄 ∈ β„š β†’ 𝑄 = ((numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„)))
1110negeqd 11458 . . 3 (𝑄 ∈ β„š β†’ -𝑄 = -((numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„)))
122zcnd 12671 . . . 4 (𝑄 ∈ β„š β†’ (numerβ€˜π‘„) ∈ β„‚)
134nncnd 12232 . . . 4 (𝑄 ∈ β„š β†’ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„‚)
144nnne0d 12266 . . . 4 (𝑄 ∈ β„š β†’ (denomβ€˜π‘„) β‰  0)
1512, 13, 14divnegd 12007 . . 3 (𝑄 ∈ β„š β†’ -((numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„)) = (-(numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„)))
1611, 15eqtrd 2766 . 2 (𝑄 ∈ β„š β†’ -𝑄 = (-(numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„)))
17 qnumdenbi 16689 . . 3 ((-𝑄 ∈ β„š ∧ -(numerβ€˜π‘„) ∈ β„€ ∧ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„•) β†’ (((-(numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)) = 1 ∧ -𝑄 = (-(numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„))) ↔ ((numerβ€˜-𝑄) = -(numerβ€˜π‘„) ∧ (denomβ€˜-𝑄) = (denomβ€˜π‘„))))
1817biimpa 476 . 2 (((-𝑄 ∈ β„š ∧ -(numerβ€˜π‘„) ∈ β„€ ∧ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„•) ∧ ((-(numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)) = 1 ∧ -𝑄 = (-(numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„)))) β†’ ((numerβ€˜-𝑄) = -(numerβ€˜π‘„) ∧ (denomβ€˜-𝑄) = (denomβ€˜π‘„)))
191, 3, 4, 9, 16, 18syl32anc 1375 1 (𝑄 ∈ β„š β†’ ((numerβ€˜-𝑄) = -(numerβ€˜π‘„) ∧ (denomβ€˜-𝑄) = (denomβ€˜π‘„)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„€cz 12562  β„šcq 12936   gcd cgcd 16442  numercnumer 16678  denomcdenom 16679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-numer 16680  df-denom 16681
This theorem is referenced by:  divnumden2  32529
  Copyright terms: Public domain W3C validator