Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  numdenneg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem numdenneg 32625
Description: Numerator and denominator of the negative. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
numdenneg (𝑄 ∈ β„š β†’ ((numerβ€˜-𝑄) = -(numerβ€˜π‘„) ∧ (denomβ€˜-𝑄) = (denomβ€˜π‘„)))
Proof of Theorem numdenneg
StepHypRef Expression
1 qnegcl 12980 . 2 (𝑄 ∈ β„š β†’ -𝑄 ∈ β„š)
2 qnumcl 16711 . . 3 (𝑄 ∈ β„š β†’ (numerβ€˜π‘„) ∈ β„€)
32znegcld 12698 . 2 (𝑄 ∈ β„š β†’ -(numerβ€˜π‘„) ∈ β„€)
4 qdencl 16712 . 2 (𝑄 ∈ β„š β†’ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„•)
54nnzd 12615 . . . 4 (𝑄 ∈ β„š β†’ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„€)
6 neggcd 16497 . . . 4 (((numerβ€˜π‘„) ∈ β„€ ∧ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„€) β†’ (-(numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)) = ((numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)))
72, 5, 6syl2anc 582 . . 3 (𝑄 ∈ β„š β†’ (-(numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)) = ((numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)))
8 qnumdencoprm 16716 . . 3 (𝑄 ∈ β„š β†’ ((numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)) = 1)
97, 8eqtrd 2765 . 2 (𝑄 ∈ β„š β†’ (-(numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)) = 1)
10 qeqnumdivden 16717 . . . 4 (𝑄 ∈ β„š β†’ 𝑄 = ((numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„)))
1110negeqd 11484 . . 3 (𝑄 ∈ β„š β†’ -𝑄 = -((numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„)))
122zcnd 12697 . . . 4 (𝑄 ∈ β„š β†’ (numerβ€˜π‘„) ∈ β„‚)
134nncnd 12258 . . . 4 (𝑄 ∈ β„š β†’ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„‚)
144nnne0d 12292 . . . 4 (𝑄 ∈ β„š β†’ (denomβ€˜π‘„) β‰  0)
1512, 13, 14divnegd 12033 . . 3 (𝑄 ∈ β„š β†’ -((numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„)) = (-(numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„)))
1611, 15eqtrd 2765 . 2 (𝑄 ∈ β„š β†’ -𝑄 = (-(numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„)))
17 qnumdenbi 16715 . . 3 ((-𝑄 ∈ β„š ∧ -(numerβ€˜π‘„) ∈ β„€ ∧ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„•) β†’ (((-(numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)) = 1 ∧ -𝑄 = (-(numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„))) ↔ ((numerβ€˜-𝑄) = -(numerβ€˜π‘„) ∧ (denomβ€˜-𝑄) = (denomβ€˜π‘„))))
1817biimpa 475 . 2 (((-𝑄 ∈ β„š ∧ -(numerβ€˜π‘„) ∈ β„€ ∧ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„•) ∧ ((-(numerβ€˜π‘„) gcd (denomβ€˜π‘„)) = 1 ∧ -𝑄 = (-(numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„)))) β†’ ((numerβ€˜-𝑄) = -(numerβ€˜π‘„) ∧ (denomβ€˜-𝑄) = (denomβ€˜π‘„)))
191, 3, 4, 9, 16, 18syl32anc 1375 1 (𝑄 ∈ β„š β†’ ((numerβ€˜-𝑄) = -(numerβ€˜π‘„) ∧ (denomβ€˜-𝑄) = (denomβ€˜π‘„)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  1c1 11139  -cneg 11475   / cdiv 11901  β„•cn 12242  β„€cz 12588  β„šcq 12962   gcd cgcd 16468  numercnumer 16704  denomcdenom 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-numer 16706  df-denom 16707
This theorem is referenced by:  divnumden2  32626
  Copyright terms: Public domain W3C validator