Theorem numdenneg 32956

Description: Numerator and denominator of the negative. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
numdenneg	⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄)))

Proof of Theorem numdenneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnegcl 12953	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 ∈ ℚ)
2		qnumcl 16747	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
3	2	znegcld 12665	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -(numer‘𝑄) ∈ ℤ)
4		qdencl 16748	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12580	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℤ)
6		neggcd 16529	. . . 4 ⊢ (((numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℤ) → (-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)))
7	2, 5, 6	syl2anc 592	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)))
8		qnumdencoprm 16752	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1)
9	7, 8	eqtrd 2787	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1)
10		qeqnumdivden 16753	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 = ((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
11	10	negeqd 11410	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 = -((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
12	2	zcnd 12664	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℂ)
13	4	nncnd 12212	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℂ)
14	4	nnne0d 12249	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ≠ 0)
15	12, 13, 14	divnegd 11966	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)) = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
16	11, 15	eqtrd 2787	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
17		qnumdenbi 16751	. . 3 ⊢ ((-𝑄 ∈ ℚ ∧ -(numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℕ) → (((-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1 ∧ -𝑄 = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))) ↔ ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄))))
18	17	biimpa 479	. 2 ⊢ (((-𝑄 ∈ ℚ ∧ -(numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℕ) ∧ ((-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1 ∧ -𝑄 = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))) → ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄)))
19	1, 3, 4, 9, 16, 18	syl32anc 1389	1 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  1c1 11060  -cneg 11401   / cdiv 11830  ℕcn 12196  ℤcz 12554  ℚcq 12935   gcd cgcd 16500  numercnumer 16740  denomcdenom 16741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-q 12936  df-rp 12980  df-fl 13788  df-mod 13866  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-dvds 16259  df-gcd 16501  df-numer 16742  df-denom 16743

This theorem is referenced by:  divnumden2  32957