Theorem numdenneg 32712

Description: Numerator and denominator of the negative. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
numdenneg	⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄)))

Proof of Theorem numdenneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnegcl 12901	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 ∈ ℚ)
2		qnumcl 16686	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
3	2	znegcld 12616	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -(numer‘𝑄) ∈ ℤ)
4		qdencl 16687	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12532	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℤ)
6		neggcd 16469	. . . 4 ⊢ (((numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℤ) → (-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)))
7	2, 5, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)))
8		qnumdencoprm 16691	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1)
9	7, 8	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1)
10		qeqnumdivden 16692	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 = ((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
11	10	negeqd 11391	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 = -((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
12	2	zcnd 12615	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℂ)
13	4	nncnd 12178	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℂ)
14	4	nnne0d 12212	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ≠ 0)
15	12, 13, 14	divnegd 11947	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)) = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
16	11, 15	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
17		qnumdenbi 16690	. . 3 ⊢ ((-𝑄 ∈ ℚ ∧ -(numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℕ) → (((-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1 ∧ -𝑄 = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))) ↔ ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄))))
18	17	biimpa 476	. 2 ⊢ (((-𝑄 ∈ ℚ ∧ -(numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℕ) ∧ ((-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1 ∧ -𝑄 = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))) → ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄)))
19	1, 3, 4, 9, 16, 18	syl32anc 1380	1 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1c1 11045  -cneg 11382   / cdiv 11811  ℕcn 12162  ℤcz 12505  ℚcq 12883   gcd cgcd 16440  numercnumer 16679  denomcdenom 16680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-numer 16681  df-denom 16682

This theorem is referenced by:  divnumden2  32713