Theorem numdenneg 33492

Description: Numerator and denominator of the negative. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
numdenneg	⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘ -𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘ -𝑄) = (denom‘𝑄)))

Proof of Theorem numdenneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnegcl 13132	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 ∈ ℚ)
2		qnumcl 16957	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
3	2	znegcld 12843	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -(numer‘𝑄) ∈ ℤ)
4		qdencl 16958	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12757	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℤ)
6		neggcd 16736	. . . 4 ⊢ (((numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℤ) → ( -(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)))
7	2, 5, 6	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ( -(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)))
8		qnumdencoprm 16962	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1)
9	7, 8	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ( -(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1)
10		qeqnumdivden 16963	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 = ((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
11	10	negeqd 11588	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 = -((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
12	2	zcnd 12842	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℂ)
13	4	nncnd 12389	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℂ)
14	4	nnne0d 12426	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ≠ 0)
15	12, 13, 14	divnegd 12144	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)) = ( -(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
16	11, 15	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 = ( -(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
17		qnumdenbi 16961	. . 3 ⊢ (( -𝑄 ∈ ℚ ∧ -(numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℕ) → ((( -(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1 ∧ -𝑄 = ( -(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))) ↔ ((numer‘ -𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘ -𝑄) = (denom‘𝑄))))
18	17	biimpa 482	. 2 ⊢ ((( -𝑄 ∈ ℚ ∧ -(numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℕ) ∧ (( -(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1 ∧ -𝑄 = ( -(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))) → ((numer‘ -𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘ -𝑄) = (denom‘𝑄)))
19	1, 3, 4, 9, 16, 18	syl32anc 1406	1 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘ -𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘ -𝑄) = (denom‘𝑄)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  1c1 11238   -cneg 11579   / cdiv 12011  ℕcn 12373  ℤcz 12731  ℚcq 13113   gcd cgcd 16705  numercnumer 16950  denomcdenom 16951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-inf 9470  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-fl 13970  df-mod 14048  df-seq 14183  df-exp 14243  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-dvds 16464  df-gcd 16706  df-numer 16952  df-denom 16953

This theorem is used by:  divnumden2  33493