Theorem reschomf 17738

Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
reschomf	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Homf ‘𝐷))

Proof of Theorem reschomf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
2		rescbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
5		rescbas.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	reschom 17737	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))
7	1, 2, 3, 4, 5	rescbas 17736	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))
8	7	sqxpeqd 5646	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) = ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷)))
9	6, 8	fneq12d 6576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ↔ (Hom ‘𝐷) Fn ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷))))
10	4, 9	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) Fn ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷)))
11		fnov 7477	. . . 4 ⊢ ((Hom ‘𝐷) Fn ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷)) ↔ (Hom ‘𝐷) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)))
12	10, 11	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)))
13	6, 12	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)))
14		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘𝐷)
15		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
17	14, 15, 16	homffval 17596	. 2 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦))
18	13, 17	eqtr4di 2784	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Homf ‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   × cxp 5612   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  Basecbs 17120  Hom chom 17172  Hom_f chomf 17572   ↾_cat cresc 17715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-hom 17185  df-cco 17186  df-homf 17576  df-resc 17718

This theorem is referenced by:  subsubc  17760  resccatlem  49113