Theorem reschomf 17783

Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
reschomf	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Homf ‘𝐷))

Proof of Theorem reschomf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
2		rescbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
5		rescbas.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	reschom 17782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))
7	1, 2, 3, 4, 5	rescbas 17780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))
8	7	sqxpeqd 5708	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) = ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷)))
9	6, 8	fneq12d 6644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ↔ (Hom ‘𝐷) Fn ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷))))
10	4, 9	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) Fn ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷)))
11		fnov 7542	. . . 4 ⊢ ((Hom ‘𝐷) Fn ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷)) ↔ (Hom ‘𝐷) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)))
12	10, 11	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)))
13	6, 12	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)))
14		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘𝐷)
15		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
17	14, 15, 16	homffval 17638	. 2 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦))
18	13, 17	eqtr4di 2790	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Homf ‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948   × cxp 5674   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17148  Hom chom 17212  Hom_f chomf 17614   ↾_cat cresc 17759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-hom 17225  df-cco 17226  df-homf 17618  df-resc 17762

This theorem is referenced by:  subsubc  17807