Theorem reschomf 17793

Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
reschomf	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Homf ‘𝐷))

Proof of Theorem reschomf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
2		rescbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
5		rescbas.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	reschom 17792	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))
7	1, 2, 3, 4, 5	rescbas 17791	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))
8	7	sqxpeqd 5652	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) = ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷)))
9	6, 8	fneq12d 6583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ↔ (Hom ‘𝐷) Fn ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷))))
10	4, 9	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) Fn ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷)))
11		fnov 7490	. . . 4 ⊢ ((Hom ‘𝐷) Fn ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷)) ↔ (Hom ‘𝐷) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)))
12	10, 11	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)))
13	6, 12	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)))
14		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘𝐷)
15		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
17	14, 15, 16	homffval 17651	. 2 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦))
18	13, 17	eqtr4di 2794	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Homf ‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3884   × cxp 5618   Fn wfn 6483  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ∈ cmpo 7361  Basecbs 17174  Hom chom 17226  Hom_f chomf 17627   ↾_cat cresc 17770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-hom 17239  df-cco 17240  df-homf 17631  df-resc 17773

This theorem is referenced by:  subsubc  17815  resccatlem  49575