Theorem reschomf 17753

Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
reschomf	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Homf ‘𝐷))

Proof of Theorem reschomf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
2		rescbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
5		rescbas.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	reschom 17752	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))
7	1, 2, 3, 4, 5	rescbas 17751	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))
8	7	sqxpeqd 5654	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) = ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷)))
9	6, 8	fneq12d 6585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ↔ (Hom ‘𝐷) Fn ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷))))
10	4, 9	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) Fn ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷)))
11		fnov 7487	. . . 4 ⊢ ((Hom ‘𝐷) Fn ((Base‘𝐷) × (Base‘𝐷)) ↔ (Hom ‘𝐷) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)))
12	10, 11	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)))
13	6, 12	eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)))
14		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘𝐷)
15		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
17	14, 15, 16	homffval 17611	. 2 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐷), 𝑦 ∈ (Base‘𝐷) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦))
18	13, 17	eqtr4di 2787	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Homf ‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899   × cxp 5620   Fn wfn 6485  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  Basecbs 17134  Hom chom 17186  Hom_f chomf 17587   ↾_cat cresc 17730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-hom 17199  df-cco 17200  df-homf 17591  df-resc 17733

This theorem is referenced by:  subsubc  17775  resccatlem  49260