MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrmo 14201
Description: Uniqueness for the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqrmo (𝐴 ∈ ℂ → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem sqrmo
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr1 1260 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥↑2) = 𝐴)
2 simprr1 1272 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑦↑2) = 𝐴)
31, 2eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
4 sqeqor 13186 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (𝑦↑2) ↔ (𝑥 = 𝑦𝑥 = -𝑦)))
54ad2ant2r 735 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → ((𝑥↑2) = (𝑦↑2) ↔ (𝑥 = 𝑦𝑥 = -𝑦)))
63, 5mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥 = 𝑦𝑥 = -𝑦))
76ord 845 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦𝑥 = -𝑦))
8 3simpc 1146 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
9 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -𝑦 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘-𝑦))
109breq2d 4799 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘-𝑦)))
11 oveq2 6802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -𝑦 → (i · 𝑥) = (i · -𝑦))
12 neleq1 3051 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝑥) = (i · -𝑦) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · -𝑦) ∉ ℝ+))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝑦 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · -𝑦) ∉ ℝ+))
1410, 13anbi12d 610 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝑦 → ((0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
158, 14syl5ibcom 235 . . . . . . . . . 10 (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → (𝑥 = -𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
1615ad2antlr 700 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥 = -𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
177, 16syld 47 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
18 negeq 10476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 → -𝑦 = -0)
19 neg0 10530 . . . . . . . . . . . . . . 15 -0 = 0
2018, 19syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 → -𝑦 = 0)
2120eqeq2d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 → (𝑥 = -𝑦𝑥 = 0))
22 eqeq2 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 0))
2321, 22bitr4d 271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 0 → (𝑥 = -𝑦𝑥 = 𝑦))
2423biimpcd 239 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝑦 → (𝑦 = 0 → 𝑥 = 𝑦))
2524necon3bd 2957 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝑦 → (¬ 𝑥 = 𝑦𝑦 ≠ 0))
267, 25syli 39 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦𝑦 ≠ 0))
27 3simpc 1146 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) → (0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
28 cnpart 14189 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) ↔ ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
2927, 28syl5ib 234 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
3029impancom 439 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → (𝑦 ≠ 0 → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
3130adantl 467 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑦 ≠ 0 → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
3226, 31syld 47 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
3317, 32pm2.65d 187 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → ¬ ¬ 𝑥 = 𝑦)
3433notnotrd 130 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → 𝑥 = 𝑦)
3534an4s 633 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → 𝑥 = 𝑦)
3635ex 397 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦))
3736a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦)))
3837ralrimivv 3119 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦))
39 oveq1 6801 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
4039eqeq1d 2773 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (𝑦↑2) = 𝐴))
41 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝑦))
4241breq2d 4799 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝑦)))
43 oveq2 6802 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
44 neleq1 3051 . . . . 5 ((i · 𝑥) = (i · 𝑦) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
4543, 44syl 17 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
4640, 42, 453anbi123d 1547 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)))
4746rmo4 3552 . 2 (∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦))
4838, 47sylibr 224 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 828  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wnel 3046  wral 3061  ∃*wrmo 3064   class class class wbr 4787  cfv 6032  (class class class)co 6794  cc 10137  0cc0 10139  ici 10141   · cmul 10144  cle 10278  -cneg 10470  2c2 11273  +crp 12036  cexp 13068  cre 14046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-rp 12037  df-seq 13010  df-exp 13069  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050
This theorem is referenced by:  resqreu  14202  sqrtneg  14217  sqreu  14309
  Copyright terms: Public domain W3C validator