MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrmo 15198
Description: Uniqueness for the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqrmo (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem sqrmo
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr1 1216 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด)
2 simprr1 1222 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)
31, 2eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2))
4 sqeqor 14180 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฅ = -๐‘ฆ)))
54ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฅ = -๐‘ฆ)))
63, 5mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฅ = -๐‘ฆ))
76ord 863 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = -๐‘ฆ))
8 3simpc 1151 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
9 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฅ) = (โ„œโ€˜-๐‘ฆ))
109breq2d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ)))
11 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท -๐‘ฆ))
12 neleq1 3053 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท -๐‘ฆ) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
1410, 13anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ ((0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
158, 14syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
177, 16syld 47 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
18 negeq 11452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = 0 โ†’ -๐‘ฆ = -0)
19 neg0 11506 . . . . . . . . . . . . . . 15 -0 = 0
2018, 19eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = 0 โ†’ -๐‘ฆ = 0)
2120eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†” ๐‘ฅ = 0))
22 eqeq2 2745 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ฅ = 0))
2321, 22bitr4d 282 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
2423biimpcd 248 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฆ = 0 โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
2524necon3bd 2955 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0))
267, 25syli 39 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0))
27 3simpc 1151 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
28 cnpart 15187 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ((0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+) โ†” ยฌ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
2927, 28imbitrid 243 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+) โ†’ ยฌ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
3029impancom 453 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)) โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†’ ยฌ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
3130adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†’ ยฌ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
3226, 31syld 47 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ยฌ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
3317, 32pm2.65d 195 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ ยฌ ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
3433notnotrd 133 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
3534an4s 659 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
3635ex 414 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
3736a1i 11 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
3837ralrimivv 3199 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ((((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
39 oveq1 7416 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2))
4039eqeq1d 2735 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โ†” (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด))
41 fveq2 6892 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฅ) = (โ„œโ€˜๐‘ฆ))
4241breq2d 5161 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ)))
43 oveq2 7417 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท ๐‘ฆ))
44 neleq1 3053 . . . . 5 ((i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท ๐‘ฆ) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
4543, 44syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
4640, 42, 453anbi123d 1437 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
4746rmo4 3727 . 2 (โˆƒ*๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ((((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
4838, 47sylibr 233 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โˆ‰ wnel 3047  โˆ€wral 3062  โˆƒ*wrmo 3376   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  ici 11112   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249  -cneg 11445  2c2 12267  โ„+crp 12974  โ†‘cexp 14027  โ„œcre 15044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048
This theorem is referenced by:  resqreu  15199  sqrtneg  15214  sqreu  15307
  Copyright terms: Public domain W3C validator