Theorem sqrmo 15158

Description: Uniqueness for the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sqrmo	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem sqrmo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr1 1216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥↑2) = 𝐴)
2		simprr1 1222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑦↑2) = 𝐴)
3	1, 2	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
4		sqeqor 14123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (𝑦↑2) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 = -𝑦)))
5	4	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → ((𝑥↑2) = (𝑦↑2) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 = -𝑦)))
6	3, 5	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 = -𝑦))
7	6	ord 864	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = -𝑦))
8		3simpc 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
9		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘-𝑦))
10	9	breq2d 5104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘-𝑦)))
11		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (i · 𝑥) = (i · -𝑦))
12		neleq1 3035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · -𝑦) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · -𝑦) ∉ ℝ+))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · -𝑦) ∉ ℝ+))
14	10, 13	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
15	8, 14	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → (𝑥 = -𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
16	15	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥 = -𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
17	7, 16	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
18		negeq 11355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 0 → -𝑦 = -0)
19		neg0 11410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -0 = 0
20	18, 19	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → -𝑦 = 0)
21	20	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑥 = 0))
22		eqeq2 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 0))
23	21, 22	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
24	23	biimpcd 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑦 = 0 → 𝑥 = 𝑦))
25	24	necon3bd 2939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (¬ 𝑥 = 𝑦 → 𝑦 ≠ 0))
26	7, 25	syli 39	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → 𝑦 ≠ 0))
27		3simpc 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) → (0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
28		cnpart 15147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) ↔ ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
29	27, 28	imbitrid 244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
30	29	impancom 451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → (𝑦 ≠ 0 → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑦 ≠ 0 → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
32	26, 31	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
33	17, 32	pm2.65d 196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → ¬ ¬ 𝑥 = 𝑦)
34	33	notnotrd 133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → 𝑥 = 𝑦)
35	34	an4s 660	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → 𝑥 = 𝑦)
36	35	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦))
37	36	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦)))
38	37	ralrimivv 3170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦))
39		oveq1 7356	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
40	39	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (𝑦↑2) = 𝐴))
41		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝑦))
42	41	breq2d 5104	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝑦)))
43		oveq2 7357	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
44		neleq1 3035	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · 𝑦) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
45	43, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
46	40, 42, 45	3anbi123d 1438	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)))
47	46	rmo4 3690	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦))
48	38, 47	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∉ wnel 3029  ∀wral 3044  ∃*wrmo 3342   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  0cc0 11009  ici 11011   · cmul 11014   ≤ cle 11150  -cneg 11348  2c2 12183  ℝ⁺crp 12893  ↑cexp 13968  ℜcre 15004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008

This theorem is referenced by:  resqreu  15159  sqrtneg  15174  sqreu  15268