MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrmo 15204
Description: Uniqueness for the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqrmo (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem sqrmo
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr1 1213 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด)
2 simprr1 1219 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)
31, 2eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2))
4 sqeqor 14186 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฅ = -๐‘ฆ)))
54ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฅ = -๐‘ฆ)))
63, 5mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฅ = -๐‘ฆ))
76ord 860 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = -๐‘ฆ))
8 3simpc 1148 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
9 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฅ) = (โ„œโ€˜-๐‘ฆ))
109breq2d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ)))
11 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท -๐‘ฆ))
12 neleq1 3050 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท -๐‘ฆ) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
1410, 13anbi12d 629 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ ((0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
158, 14syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
1615ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
177, 16syld 47 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
18 negeq 11458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = 0 โ†’ -๐‘ฆ = -0)
19 neg0 11512 . . . . . . . . . . . . . . 15 -0 = 0
2018, 19eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = 0 โ†’ -๐‘ฆ = 0)
2120eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†” ๐‘ฅ = 0))
22 eqeq2 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ฅ = 0))
2321, 22bitr4d 281 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
2423biimpcd 248 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฆ = 0 โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
2524necon3bd 2952 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0))
267, 25syli 39 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0))
27 3simpc 1148 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
28 cnpart 15193 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ ((0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+) โ†” ยฌ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
2927, 28imbitrid 243 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+) โ†’ ยฌ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
3029impancom 450 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)) โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†’ ยฌ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
3130adantl 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†’ ยฌ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
3226, 31syld 47 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ยฌ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐‘ฆ) โˆง (i ยท -๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
3317, 32pm2.65d 195 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ ยฌ ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
3433notnotrd 133 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
3534an4s 656 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
3635ex 411 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
3736a1i 11 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
3837ralrimivv 3196 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ((((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
39 oveq1 7420 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2))
4039eqeq1d 2732 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โ†” (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด))
41 fveq2 6892 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฅ) = (โ„œโ€˜๐‘ฆ))
4241breq2d 5161 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ)))
43 oveq2 7421 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท ๐‘ฆ))
44 neleq1 3050 . . . . 5 ((i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท ๐‘ฆ) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
4543, 44syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
4640, 42, 453anbi123d 1434 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
4746rmo4 3727 . 2 (โˆƒ*๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ((((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
4838, 47sylibr 233 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   โˆ‰ wnel 3044  โˆ€wral 3059  โˆƒ*wrmo 3373   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  0cc0 11114  ici 11116   ยท cmul 11119   โ‰ค cle 11255  -cneg 11451  2c2 12273  โ„+crp 12980  โ†‘cexp 14033  โ„œcre 15050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054
This theorem is referenced by:  resqreu  15205  sqrtneg  15220  sqreu  15313
  Copyright terms: Public domain W3C validator