Theorem sqrmo 14891

Description: Uniqueness for the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sqrmo	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem sqrmo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr1 1213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥↑2) = 𝐴)
2		simprr1 1219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑦↑2) = 𝐴)
3	1, 2	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
4		sqeqor 13860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (𝑦↑2) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 = -𝑦)))
5	4	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → ((𝑥↑2) = (𝑦↑2) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 = -𝑦)))
6	3, 5	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 = -𝑦))
7	6	ord 860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = -𝑦))
8		3simpc 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
9		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘-𝑦))
10	9	breq2d 5082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘-𝑦)))
11		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (i · 𝑥) = (i · -𝑦))
12		neleq1 3053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · -𝑦) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · -𝑦) ∉ ℝ+))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · -𝑦) ∉ ℝ+))
14	10, 13	anbi12d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
15	8, 14	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → (𝑥 = -𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
16	15	ad2antlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑥 = -𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
17	7, 16	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
18		negeq 11143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 0 → -𝑦 = -0)
19		neg0 11197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -0 = 0
20	18, 19	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → -𝑦 = 0)
21	20	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑥 = 0))
22		eqeq2 2750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 0))
23	21, 22	bitr4d 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
24	23	biimpcd 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑦 = 0 → 𝑥 = 𝑦))
25	24	necon3bd 2956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (¬ 𝑥 = 𝑦 → 𝑦 ≠ 0))
26	7, 25	syli 39	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → 𝑦 ≠ 0))
27		3simpc 1148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) → (0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
28		cnpart 14879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) ↔ ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
29	27, 28	syl5ib 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
30	29	impancom 451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → (𝑦 ≠ 0 → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (𝑦 ≠ 0 → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
32	26, 31	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝑦) ∧ (i · -𝑦) ∉ ℝ+)))
33	17, 32	pm2.65d 195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → ¬ ¬ 𝑥 = 𝑦)
34	33	notnotrd 133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → 𝑥 = 𝑦)
35	34	an4s 656	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))) → 𝑥 = 𝑦)
36	35	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦))
37	36	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦)))
38	37	ralrimivv 3113	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦))
39		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
40	39	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (𝑦↑2) = 𝐴))
41		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝑦))
42	41	breq2d 5082	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝑦)))
43		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
44		neleq1 3053	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · 𝑦) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
45	43, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
46	40, 42, 45	3anbi123d 1434	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)))
47	46	rmo4 3660	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 𝑦))
48	38, 47	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∉ wnel 3048  ∀wral 3063  ∃*wrmo 3066   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  ici 10804   · cmul 10807   ≤ cle 10941  -cneg 11136  2c2 11958  ℝ⁺crp 12659  ↑cexp 13710  ℜcre 14736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740

This theorem is referenced by:  resqreu  14892  sqrtneg  14907  sqreu  15000