MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmresfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmresfn 20595
Description: The class of unital ring homomorphisms restricted to subsets of unital rings is a function. (Contributed by AV, 10-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmresfn.b (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
rhmresfn.h (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
rhmresfn (𝜑𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem rhmresfn
StepHypRef Expression
1 rhmfn 20452 . . 3 RingHom Fn (Ring × Ring)
2 rhmresfn.b . . . . 5 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
3 inss2 4232 . . . . 5 (𝑈 ∩ Ring) ⊆ Ring
42, 3eqsstrdi 4036 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ Ring)
5 xpss12 5697 . . . 4 ((𝐵 ⊆ Ring ∧ 𝐵 ⊆ Ring) → (𝐵 × 𝐵) ⊆ (Ring × Ring))
64, 4, 5syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ⊆ (Ring × Ring))
7 fnssres 6683 . . 3 (( RingHom Fn (Ring × Ring) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (Ring × Ring)) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
81, 6, 7sylancr 585 . 2 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
9 rhmresfn.h . . 3 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
109fneq1d 6652 . 2 (𝜑 → (𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)))
118, 10mpbird 256 1 (𝜑𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  cin 3948  wss 3949   × cxp 5680  cres 5684   Fn wfn 6548  Ringcrg 20187   RingHom crh 20422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mhm 18749  df-ghm 19182  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-rhm 20425
This theorem is referenced by:  ringcbas  20597  ringchomfval  20598  ringchomfeqhom  20601  ringccofval  20602  dfringc2  20604  rhmsubcsetc  20609  ringcid  20611  rhmsubcrngc  20615  rngcresringcat  20616  funcringcsetc  20621
  Copyright terms: Public domain W3C validator