Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmresfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmresfn 44279
Description: The class of unital ring homomorphisms restricted to subsets of unital rings is a function. (Contributed by AV, 10-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmresfn.b (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
rhmresfn.h (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
rhmresfn (𝜑𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem rhmresfn
StepHypRef Expression
1 rhmfn 44188 . . 3 RingHom Fn (Ring × Ring)
2 rhmresfn.b . . . . 5 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
3 inss2 4205 . . . . 5 (𝑈 ∩ Ring) ⊆ Ring
42, 3eqsstrdi 4020 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ Ring)
5 xpss12 5569 . . . 4 ((𝐵 ⊆ Ring ∧ 𝐵 ⊆ Ring) → (𝐵 × 𝐵) ⊆ (Ring × Ring))
64, 4, 5syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ⊆ (Ring × Ring))
7 fnssres 6469 . . 3 (( RingHom Fn (Ring × Ring) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (Ring × Ring)) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
81, 6, 7sylancr 589 . 2 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
9 rhmresfn.h . . 3 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
109fneq1d 6445 . 2 (𝜑 → (𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)))
118, 10mpbird 259 1 (𝜑𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  cin 3934  wss 3935   × cxp 5552  cres 5556   Fn wfn 6349  Ringcrg 19296   RingHom crh 19463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-plusg 16577  df-0g 16714  df-mhm 17955  df-ghm 18355  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-rnghom 19466
This theorem is referenced by:  ringcbas  44281  ringchomfval  44282  ringchomfeqhom  44285  ringccofval  44286  dfringc2  44288  rhmsubcsetc  44293  ringcid  44295  rhmsubcrngc  44299  rngcresringcat  44300  funcringcsetc  44305
  Copyright terms: Public domain W3C validator