Theorem rhmresfn 20626

Description: The class of unital ring homomorphisms restricted to subsets of unital rings is a function. (Contributed by AV, 10-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmresfn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
rhmresfn.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmresfn	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem rhmresfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmfn 20481	. . 3 ⊢ RingHom Fn (Ring × Ring)
2		rhmresfn.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
3		inss2 4231	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) ⊆ Ring
4	2, 3	eqsstrdi 4034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ Ring)
5		xpss12 5697	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ Ring ∧ 𝐵 ⊆ Ring) → (𝐵 × 𝐵) ⊆ (Ring × Ring))
6	4, 4, 5	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ⊆ (Ring × Ring))
7		fnssres 6684	. . 3 ⊢ (( RingHom Fn (Ring × Ring) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (Ring × Ring)) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
8	1, 6, 7	sylancr 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
9		rhmresfn.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
10	9	fneq1d 6653	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)))
11	8, 10	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947   × cxp 5680   ↾ cres 5684   Fn wfn 6549  Ringcrg 20216   RingHom crh 20451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-0g 17456  df-mhm 18773  df-ghm 19207  df-mgp 20118  df-ur 20165  df-ring 20218  df-rhm 20454

This theorem is referenced by:  ringcbas  20628  ringchomfval  20629  ringchomfeqhom  20632  ringccofval  20633  dfringc2  20635  rhmsubcsetc  20640  ringcid  20642  rhmsubcrngc  20646  rngcresringcat  20647  funcringcsetc  20652