Theorem rhmresfn 20608

Description: The class of unital ring homomorphisms restricted to subsets of unital rings is a function. (Contributed by AV, 10-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmresfn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
rhmresfn.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmresfn	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem rhmresfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmfn 20459	. . 3 ⊢ RingHom Fn (Ring × Ring)
2		rhmresfn.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
3		inss2 4213	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) ⊆ Ring
4	2, 3	eqsstrdi 4003	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ Ring)
5		xpss12 5669	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ Ring ∧ 𝐵 ⊆ Ring) → (𝐵 × 𝐵) ⊆ (Ring × Ring))
6	4, 4, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ⊆ (Ring × Ring))
7		fnssres 6661	. . 3 ⊢ (( RingHom Fn (Ring × Ring) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (Ring × Ring)) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
8	1, 6, 7	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
9		rhmresfn.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
10	9	fneq1d 6631	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)))
11	8, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926   × cxp 5652   ↾ cres 5656   Fn wfn 6526  Ringcrg 20193   RingHom crh 20429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mhm 18761  df-ghm 19196  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-rhm 20432

This theorem is referenced by:  ringcbas  20610  ringchomfval  20611  ringchomfeqhom  20614  ringccofval  20615  dfringc2  20617  rhmsubcsetc  20622  ringcid  20624  rhmsubcrngc  20628  rngcresringcat  20629  funcringcsetc  20634