Theorem ringccofval 20912

Description: Composition in the category of unital rings. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcco.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
ringcco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ringccofval	⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))

Proof of Theorem ringccofval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcco.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2		ringcco.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4	1, 3, 2	ringcbas 20907	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
6	1, 3, 2, 5	ringchomfval 20908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
7	1, 2, 4, 6	ringcval 20904	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶)))
8	7	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))))
9		ringcco.o	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐶))
11		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶)) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
13		fvexd 6900	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
14	4, 6	rhmresfn 20905	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
15		inss1 4133	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈)
17		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
18	17, 2	estrcbas 18304	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
19	18	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
20	16, 4, 19	3sstr4d 3963	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
21		eqid 2760	. . 3 ⊢ (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
22	11, 12, 13, 14, 20, 21	rescco 18012	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))))
23	8, 10, 22	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  Hom chom 17444  compcco 17445   ↾_cat cresc 17988  ExtStrCatcestrc 18301  Ringcrg 20464  RingCatcringc 20902

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-resc 17991  df-estrc 18302  df-mhm 18983  df-ghm 19433  df-mgp 20366  df-ur 20413  df-ring 20466  df-rhm 20707  df-ringc 20903

This theorem is used by:  ringcco  20913