Theorem ringccofval 20590

Description: Composition in the category of unital rings. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcco.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
ringcco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ringccofval	⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))

Proof of Theorem ringccofval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcco.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2		ringcco.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4	1, 3, 2	ringcbas 20585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
5		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
6	1, 3, 2, 5	ringchomfval 20586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
7	1, 2, 4, 6	ringcval 20582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶)))
8	7	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))))
9		ringcco.o	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐶))
11		eqid 2725	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶)) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))
12		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
13		fvexd 6906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
14	4, 6	rhmresfn 20583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
15		inss1 4223	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈)
17		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
18	17, 2	estrcbas 18112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
19	18	eqcomd 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
20	16, 4, 19	3sstr4d 4020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
21		eqid 2725	. . 3 ⊢ (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
22	11, 12, 13, 14, 20, 21	rescco 17813	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))))
23	8, 10, 22	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  Hom chom 17241  compcco 17242   ↾_cat cresc 17788  ExtStrCatcestrc 18109  Ringcrg 20175  RingCatcringc 20580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-resc 17791  df-estrc 18110  df-mhm 18737  df-ghm 19170  df-mgp 20077  df-ur 20124  df-ring 20177  df-rhm 20413  df-ringc 20581

This theorem is referenced by:  ringcco  20591