Theorem ringccofval 43649

Description: Composition in the category of unital rings. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcco.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
ringcco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ringccofval	⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))

Proof of Theorem ringccofval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcco.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2		ringcco.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		eqid 2779	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4	1, 3, 2	ringcbas 43644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
5		eqid 2779	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
6	1, 3, 2, 5	ringchomfval 43645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
7	1, 2, 4, 6	ringcval 43641	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶)))
8	7	fveq2d 6503	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))))
9		ringcco.o	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐶))
11		eqid 2779	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶)) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))
12		eqid 2779	. . 3 ⊢ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
13		fvexd 6514	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
14	4, 6	rhmresfn 43642	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
15		inss1 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈)
17		eqid 2779	. . . . . 6 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
18	17, 2	estrcbas 17233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
19	18	eqcomd 2785	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
20	16, 4, 19	3sstr4d 3905	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
21		eqid 2779	. . 3 ⊢ (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
22	11, 12, 13, 14, 20, 21	rescco 16960	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))))
23	8, 10, 22	3eqtr4d 2825	1 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3416   ∩ cin 3829   ⊆ wss 3830  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  Hom chom 16432  compcco 16433   ↾_cat cresc 16936  ExtStrCatcestrc 17230  Ringcrg 19020  RingCatcringc 43636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-hom 16445  df-cco 16446  df-0g 16571  df-resc 16939  df-estrc 17231  df-mhm 17803  df-ghm 18127  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-rnghom 19190  df-ringc 43638

This theorem is referenced by:  ringcco  43650