MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcbas Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ringcbas 20597
Description: Set of objects of the category of unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 13-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcbas.c ๐ถ = (RingCatโ€˜๐‘ˆ)
ringcbas.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
ringcbas.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐‘‰)
Assertion
Ref Expression
ringcbas (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘ˆ โˆฉ Ring))
Proof of Theorem ringcbas
StepHypRef Expression
1 ringcbas.c . . . 4 ๐ถ = (RingCatโ€˜๐‘ˆ)
2 ringcbas.u . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐‘‰)
3 eqidd 2729 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆฉ Ring) = (๐‘ˆ โˆฉ Ring))
4 eqidd 2729 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ( RingHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Ring) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Ring))) = ( RingHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Ring) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Ring))))
51, 2, 3, 4ringcval 20594 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = ((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RingHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Ring) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Ring)))))
65fveq2d 6906 . 2 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐ถ) = (Baseโ€˜((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RingHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Ring) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Ring))))))
7 ringcbas.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
87a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ))
9 eqid 2728 . . 3 ((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RingHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Ring) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Ring)))) = ((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RingHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Ring) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Ring))))
10 eqid 2728 . . 3 (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)) = (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ))
11 fvexd 6917 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โˆˆ V)
123, 4rhmresfn 20595 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ( RingHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Ring) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Ring))) Fn ((๐‘ˆ โˆฉ Ring) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Ring)))
13 inss1 4231 . . . 4 (๐‘ˆ โˆฉ Ring) โŠ† ๐‘ˆ
14 eqid 2728 . . . . 5 (ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) = (ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)
1514, 2estrcbas 18124 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)))
1613, 15sseqtrid 4034 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆฉ Ring) โŠ† (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)))
179, 10, 11, 12, 16rescbas 17821 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆฉ Ring) = (Baseโ€˜((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RingHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Ring) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Ring))))))
186, 8, 173eqtr4d 2778 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘ˆ โˆฉ Ring))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3473   โˆฉ cin 3948   ร— cxp 5680   โ†พ cres 5684  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189   โ†พcat cresc 17800  ExtStrCatcestrc 18121  Ringcrg 20187   RingHom crh 20422  RingCatcringc 20592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-resc 17803  df-estrc 18122  df-mhm 18749  df-ghm 19182  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-rhm 20425  df-ringc 20593
This theorem is referenced by:  ringchomfval  20598  ringchomfeqhom  20601  ringccofval  20602  rhmsubcsetclem1  20607  ringcid  20611  rhmsubcrngclem1  20613  ringcsect  20617  ringcbasbas  20620  funcringcsetc  20621  zrtermoringc  20622  zrninitoringc  20623  srhmsubclem2  20625  srhmsubc  20627  irinitoringc  21419  nzerooringczr  21420  funcringcsetcALTV2lem7  47454  funcringcsetcALTV2lem9  47456
  Copyright terms: Public domain W3C validator