Theorem ringcid 20829

Description: The identity arrow in the category of unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringccat.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
ringcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
ringcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcid.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ringcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem ringcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcid.o	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		ringccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
3		ringcid.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = (𝑈 ∩ Ring))
5		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
6	2, 3, 4, 5	ringcval 20812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))
7	6	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))))
8	1, 7	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))))
9	8	fveq1d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))‘𝑋))
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
12		incom 4155	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈))
14	11, 3, 13, 5	rhmsubcsetc 20827	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
15	4, 5	rhmresfn 20813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) Fn ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))
16		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Id‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Id‘(ExtStrCat‘𝑈))
17		ringcid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		ringcid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
19	2, 18, 3	ringcbas 20815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
20	19	eleq2d 2846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
21	17, 20	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
22	10, 14, 15, 16, 21	subcid 17939	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))‘𝑋))
23		elinel1 4147	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑋 ∈ 𝑈)
24	20, 23	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝑈))
25	17, 24	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
26	11, 16, 3, 25	estrcid 18225	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
27		ringcid.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)
28	27	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) = 𝑆
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) = 𝑆)
30	29	reseq2d 5972	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ( I ↾ 𝑆))
31	26, 30	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
32	9, 22, 31	3eqtr2d 2801	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   I cid 5549   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  Idccid 17756   ↾_cat cresc 17900  ExtStrCatcestrc 18213  Ringcrg 20375   RingHom crh 20613  RingCatcringc 20810

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-cat 17759  df-cid 17760  df-homf 17761  df-ssc 17902  df-resc 17903  df-subc 17904  df-estrc 18214  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-grp 19063  df-ghm 19344  df-mgp 20277  df-ur 20324  df-ring 20377  df-rhm 20616  df-ringc 20811

This theorem is used by:  ringcsect  20835  srhmsubc  20845  funcringcsetcALTV2lem7  49214