MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ringcid 20604
Description: The identity arrow in the category of unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ringccat.c 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
ringcid.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
ringcid.o 1 = (Idβ€˜πΆ)
ringcid.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
ringcid.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ringcid.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹)
Assertion
Ref Expression
ringcid (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
Proof of Theorem ringcid
StepHypRef Expression
1 ringcid.o . . . 4 1 = (Idβ€˜πΆ)
2 ringccat.c . . . . . 6 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
3 ringcid.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 eqidd 2729 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) = (π‘ˆ ∩ Ring))
5 eqidd 2729 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))) = ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))
62, 3, 4, 5ringcval 20587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))))
76fveq2d 6906 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))))
81, 7eqtrid 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 = (Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))))
98fveq1d 6904 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ((Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))))β€˜π‘‹))
10 eqid 2728 . . 3 ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))) = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))
11 eqid 2728 . . . 4 (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
12 incom 4203 . . . . 5 (π‘ˆ ∩ Ring) = (Ring ∩ π‘ˆ)
1312a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) = (Ring ∩ π‘ˆ))
1411, 3, 13, 5rhmsubcsetc 20602 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))) ∈ (Subcatβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
154, 5rhmresfn 20588 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))) Fn ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))
16 eqid 2728 . . 3 (Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)) = (Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))
17 ringcid.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
18 ringcid.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
192, 18, 3ringcbas 20590 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Ring))
2019eleq2d 2815 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring)))
2117, 20mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
2210, 14, 15, 16, 21subcid 17840 . 2 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘‹) = ((Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))))β€˜π‘‹))
23 elinel1 4197 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2420, 23biimtrdi 252 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2517, 24mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2611, 16, 3, 25estrcid 18131 . . 3 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
27 ringcid.s . . . . . 6 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹)
2827eqcomi 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‹) = 𝑆
2928a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘‹) = 𝑆)
3029reseq2d 5989 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) = ( I β†Ύ 𝑆))
3126, 30eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
329, 22, 313eqtr2d 2774 1 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   I cid 5579   Γ— cxp 5680   β†Ύ cres 5684  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  Idccid 17652   β†Ύcat cresc 17798  ExtStrCatcestrc 18119  Ringcrg 20180   RingHom crh 20415  RingCatcringc 20585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-cat 17655  df-cid 17656  df-homf 17657  df-ssc 17800  df-resc 17801  df-subc 17802  df-estrc 18120  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-ghm 19175  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-rhm 20418  df-ringc 20586
This theorem is referenced by:  ringcsect  20610  srhmsubc  20620  funcringcsetcALTV2lem7  47436
  Copyright terms: Public domain W3C validator