Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringcid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcid 43694
Description: The identity arrow in the category of unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ringccat.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcid.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcid.o 1 = (Id‘𝐶)
ringcid.u (𝜑𝑈𝑉)
ringcid.x (𝜑𝑋𝐵)
ringcid.s 𝑆 = (Base‘𝑋)
Assertion
Ref Expression
ringcid (𝜑 → ( 1𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem ringcid
StepHypRef Expression
1 ringcid.o . . . 4 1 = (Id‘𝐶)
2 ringccat.c . . . . . 6 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
3 ringcid.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑉)
4 eqidd 2772 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = (𝑈 ∩ Ring))
5 eqidd 2772 . . . . . 6 (𝜑 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
62, 3, 4, 5ringcval 43677 . . . . 5 (𝜑𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))
76fveq2d 6500 . . . 4 (𝜑 → (Id‘𝐶) = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))))
81, 7syl5eq 2819 . . 3 (𝜑1 = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))))
98fveq1d 6498 . 2 (𝜑 → ( 1𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))‘𝑋))
10 eqid 2771 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
11 eqid 2771 . . . 4 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
12 incom 4060 . . . . 5 (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈)
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈))
1411, 3, 13, 5rhmsubcsetc 43692 . . 3 (𝜑 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
154, 5rhmresfn 43678 . . 3 (𝜑 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) Fn ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))
16 eqid 2771 . . 3 (Id‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Id‘(ExtStrCat‘𝑈))
17 ringcid.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
18 ringcid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
192, 18, 3ringcbas 43680 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
2019eleq2d 2844 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
2117, 20mpbid 224 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
2210, 14, 15, 16, 21subcid 16987 . 2 (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))‘𝑋))
23 elinel1 4054 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑋𝑈)
2420, 23syl6bi 245 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋𝑈))
2517, 24mpd 15 . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
2611, 16, 3, 25estrcid 17254 . . 3 (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
27 ringcid.s . . . . . 6 𝑆 = (Base‘𝑋)
2827eqcomi 2780 . . . . 5 (Base‘𝑋) = 𝑆
2928a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑋) = 𝑆)
3029reseq2d 5692 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ( I ↾ 𝑆))
3126, 30eqtrd 2807 . 2 (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
329, 22, 313eqtr2d 2813 1 (𝜑 → ( 1𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1508  wcel 2051  cin 3821   I cid 5307   × cxp 5401  cres 5405  cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  Idccid 16806  cat cresc 16948  ExtStrCatcestrc 17242  Ringcrg 19032   RingHom crh 19199  RingCatcringc 43672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-hom 16443  df-cco 16444  df-0g 16569  df-cat 16809  df-cid 16810  df-homf 16811  df-ssc 16950  df-resc 16951  df-subc 16952  df-estrc 17243  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-grp 17906  df-ghm 18139  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-rnghom 19202  df-ringc 43674
This theorem is referenced by:  ringcsect  43700  funcringcsetcALTV2lem7  43711  srhmsubc  43745
  Copyright terms: Public domain W3C validator