Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringcid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ringcid 46913
Description: The identity arrow in the category of unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ringccat.c 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
ringcid.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
ringcid.o 1 = (Idβ€˜πΆ)
ringcid.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
ringcid.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ringcid.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹)
Assertion
Ref Expression
ringcid (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
Proof of Theorem ringcid
StepHypRef Expression
1 ringcid.o . . . 4 1 = (Idβ€˜πΆ)
2 ringccat.c . . . . . 6 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
3 ringcid.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 eqidd 2733 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) = (π‘ˆ ∩ Ring))
5 eqidd 2733 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))) = ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))
62, 3, 4, 5ringcval 46896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))))
76fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))))
81, 7eqtrid 2784 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 = (Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))))
98fveq1d 6893 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ((Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))))β€˜π‘‹))
10 eqid 2732 . . 3 ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))) = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))
11 eqid 2732 . . . 4 (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
12 incom 4201 . . . . 5 (π‘ˆ ∩ Ring) = (Ring ∩ π‘ˆ)
1312a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) = (Ring ∩ π‘ˆ))
1411, 3, 13, 5rhmsubcsetc 46911 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))) ∈ (Subcatβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
154, 5rhmresfn 46897 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))) Fn ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))
16 eqid 2732 . . 3 (Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)) = (Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))
17 ringcid.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
18 ringcid.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
192, 18, 3ringcbas 46899 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Ring))
2019eleq2d 2819 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring)))
2117, 20mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
2210, 14, 15, 16, 21subcid 17796 . 2 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘‹) = ((Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))))β€˜π‘‹))
23 elinel1 4195 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2420, 23syl6bi 252 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2517, 24mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2611, 16, 3, 25estrcid 18084 . . 3 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
27 ringcid.s . . . . . 6 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹)
2827eqcomi 2741 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‹) = 𝑆
2928a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘‹) = 𝑆)
3029reseq2d 5981 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) = ( I β†Ύ 𝑆))
3126, 30eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
329, 22, 313eqtr2d 2778 1 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   I cid 5573   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  Idccid 17608   β†Ύcat cresc 17754  ExtStrCatcestrc 18072  Ringcrg 20055   RingHom crh 20247  RingCatcringc 46891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-cat 17611  df-cid 17612  df-homf 17613  df-ssc 17756  df-resc 17757  df-subc 17758  df-estrc 18073  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-ghm 19089  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-rnghom 20250  df-ringc 46893
This theorem is referenced by:  ringcsect  46919  funcringcsetcALTV2lem7  46930  srhmsubc  46964
  Copyright terms: Public domain W3C validator