Theorem ringcid 20931

Description: The identity arrow in the category of unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringccat.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
ringcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
ringcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcid.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ringcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem ringcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcid.o	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		ringccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
3		ringcid.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = (𝑈 ∩ Ring))
5		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
6	2, 3, 4, 5	ringcval 20914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))
7	6	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))))
8	1, 7	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))))
9	8	fveq1d 6898	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))‘𝑋))
10		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
12		incom 4109	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈))
14	11, 3, 13, 5	rhmsubcsetc 20929	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
15	4, 5	rhmresfn 20915	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) Fn ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))
16		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Id‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Id‘(ExtStrCat‘𝑈))
17		ringcid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		ringcid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
19	2, 18, 3	ringcbas 20917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
20	19	eleq2d 2850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
21	17, 20	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
22	10, 14, 15, 16, 21	subcid 18037	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))‘𝑋))
23		elinel1 4101	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑋 ∈ 𝑈)
24	20, 23	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝑈))
25	17, 24	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
26	11, 16, 3, 25	estrcid 18323	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
27		ringcid.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)
28	27	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) = 𝑆
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) = 𝑆)
30	29	reseq2d 5975	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ( I ↾ 𝑆))
31	26, 30	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
32	9, 22, 31	3eqtr2d 2804	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ∩ cin 4092   I cid 5549   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  Idccid 17854   ↾_cat cresc 17998  ExtStrCatcestrc 18311  Ringcrg 20474   RingHom crh 20714  RingCatcringc 20912

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-hom 17467  df-cco 17468  df-0g 17627  df-cat 17857  df-cid 17858  df-homf 17859  df-ssc 18000  df-resc 18001  df-subc 18002  df-estrc 18312  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-mhm 18993  df-grp 19162  df-ghm 19443  df-mgp 20376  df-ur 20423  df-ring 20476  df-rhm 20717  df-ringc 20913

This theorem is used by:  ringcsect  20937  srhmsubc  20947  funcringcsetcALTV2lem7  49535