Theorem ringcid 20579

Description: The identity arrow in the category of unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringccat.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
ringcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
ringcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcid.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ringcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem ringcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcid.o	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		ringccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
3		ringcid.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = (𝑈 ∩ Ring))
5		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
6	2, 3, 4, 5	ringcval 20562	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))
7	6	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))))
8	1, 7	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))))
9	8	fveq1d 6824	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))‘𝑋))
10		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
12		incom 4156	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈))
14	11, 3, 13, 5	rhmsubcsetc 20577	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
15	4, 5	rhmresfn 20563	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) Fn ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))
16		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Id‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Id‘(ExtStrCat‘𝑈))
17		ringcid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		ringcid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
19	2, 18, 3	ringcbas 20565	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
20	19	eleq2d 2817	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
21	17, 20	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
22	10, 14, 15, 16, 21	subcid 17754	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))‘𝑋))
23		elinel1 4148	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑋 ∈ 𝑈)
24	20, 23	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝑈))
25	17, 24	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
26	11, 16, 3, 25	estrcid 18040	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
27		ringcid.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)
28	27	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) = 𝑆
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) = 𝑆)
30	29	reseq2d 5927	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ( I ↾ 𝑆))
31	26, 30	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
32	9, 22, 31	3eqtr2d 2772	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3896   I cid 5508   × cxp 5612   ↾ cres 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  Idccid 17571   ↾_cat cresc 17715  ExtStrCatcestrc 18028  Ringcrg 20151   RingHom crh 20387  RingCatcringc 20560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-cat 17574  df-cid 17575  df-homf 17576  df-ssc 17717  df-resc 17718  df-subc 17719  df-estrc 18029  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-grp 18849  df-ghm 19125  df-mgp 20059  df-ur 20100  df-ring 20153  df-rhm 20390  df-ringc 20561

This theorem is referenced by:  ringcsect  20585  srhmsubc  20595  funcringcsetcALTV2lem7  48406