MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ringcid 20557
Description: The identity arrow in the category of unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ringccat.c 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
ringcid.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
ringcid.o 1 = (Idβ€˜πΆ)
ringcid.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
ringcid.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ringcid.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹)
Assertion
Ref Expression
ringcid (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
Proof of Theorem ringcid
StepHypRef Expression
1 ringcid.o . . . 4 1 = (Idβ€˜πΆ)
2 ringccat.c . . . . . 6 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
3 ringcid.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 eqidd 2727 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) = (π‘ˆ ∩ Ring))
5 eqidd 2727 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))) = ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))
62, 3, 4, 5ringcval 20540 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))))
76fveq2d 6888 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))))
81, 7eqtrid 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 = (Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))))
98fveq1d 6886 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ((Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))))β€˜π‘‹))
10 eqid 2726 . . 3 ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))) = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))
11 eqid 2726 . . . 4 (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
12 incom 4196 . . . . 5 (π‘ˆ ∩ Ring) = (Ring ∩ π‘ˆ)
1312a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) = (Ring ∩ π‘ˆ))
1411, 3, 13, 5rhmsubcsetc 20555 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))) ∈ (Subcatβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
154, 5rhmresfn 20541 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))) Fn ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))
16 eqid 2726 . . 3 (Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)) = (Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))
17 ringcid.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
18 ringcid.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
192, 18, 3ringcbas 20543 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Ring))
2019eleq2d 2813 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring)))
2117, 20mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
2210, 14, 15, 16, 21subcid 17803 . 2 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘‹) = ((Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))))β€˜π‘‹))
23 elinel1 4190 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2420, 23biimtrdi 252 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2517, 24mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2611, 16, 3, 25estrcid 18094 . . 3 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
27 ringcid.s . . . . . 6 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹)
2827eqcomi 2735 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‹) = 𝑆
2928a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘‹) = 𝑆)
3029reseq2d 5974 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) = ( I β†Ύ 𝑆))
3126, 30eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
329, 22, 313eqtr2d 2772 1 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   I cid 5566   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  Idccid 17615   β†Ύcat cresc 17761  ExtStrCatcestrc 18082  Ringcrg 20135   RingHom crh 20368  RingCatcringc 20538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-cat 17618  df-cid 17619  df-homf 17620  df-ssc 17763  df-resc 17764  df-subc 17765  df-estrc 18083  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-grp 18863  df-ghm 19136  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-rhm 20371  df-ringc 20539
This theorem is referenced by:  ringcsect  20563  srhmsubc  20573  funcringcsetcALTV2lem7  47228
  Copyright terms: Public domain W3C validator