MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringchomfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringchomfval 20583
Description: Set of arrows of the category of unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcbas.c ๐ถ = (RingCatโ€˜๐‘ˆ)
ringcbas.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
ringcbas.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐‘‰)
ringchomfval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
Assertion
Ref Expression
ringchomfval (๐œ‘ โ†’ ๐ป = ( RingHom โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))

Proof of Theorem ringchomfval
StepHypRef Expression
1 ringchomfval.h . . 3 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
2 ringcbas.c . . . . 5 ๐ถ = (RingCatโ€˜๐‘ˆ)
3 ringcbas.u . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐‘‰)
4 ringcbas.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
52, 4, 3ringcbas 20582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘ˆ โˆฉ Ring))
6 eqidd 2726 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ( RingHom โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) = ( RingHom โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))
72, 3, 5, 6ringcval 20579 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = ((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RingHom โ†พ (๐ต ร— ๐ต))))
87fveq2d 6894 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Hom โ€˜๐ถ) = (Hom โ€˜((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RingHom โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))))
91, 8eqtrid 2777 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ป = (Hom โ€˜((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RingHom โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))))
10 eqid 2725 . . 3 ((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RingHom โ†พ (๐ต ร— ๐ต))) = ((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RingHom โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))
11 eqid 2725 . . 3 (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)) = (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ))
12 fvexd 6905 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โˆˆ V)
135, 6rhmresfn 20580 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ( RingHom โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) Fn (๐ต ร— ๐ต))
14 inss1 4224 . . . . 5 (๐‘ˆ โˆฉ Ring) โІ ๐‘ˆ
1514a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆฉ Ring) โІ ๐‘ˆ)
16 eqid 2725 . . . . . 6 (ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) = (ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)
1716, 3estrcbas 18109 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)))
1817eqcomd 2731 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)) = ๐‘ˆ)
1915, 5, 183sstr4d 4021 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โІ (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)))
2010, 11, 12, 13, 19reschom 17808 . 2 (๐œ‘ โ†’ ( RingHom โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) = (Hom โ€˜((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RingHom โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))))
219, 20eqtr4d 2768 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ป = ( RingHom โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463   โˆฉ cin 3940   โІ wss 3941   ร— cxp 5671   โ†พ cres 5675  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  Hom chom 17238   โ†พcat cresc 17785  ExtStrCatcestrc 18106  Ringcrg 20172   RingHom crh 20407  RingCatcringc 20577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-resc 17788  df-estrc 18107  df-mhm 18734  df-ghm 19167  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-rhm 20410  df-ringc 20578
This theorem is referenced by:  ringchom  20584  ringchomfeqhom  20586  ringccofval  20587  rhmsubcsetclem1  20592  rhmsubcrngclem1  20598  funcringcsetc  20606  irinitoringc  21404
  Copyright terms: Public domain W3C validator