Theorem ringchomfval 20933

Description: Set of arrows of the category of unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcbas.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
ringchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ringchomfval	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem ringchomfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
2		ringcbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
3		ringcbas.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		ringcbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	2, 4, 3	ringcbas 20932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
6		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
7	2, 3, 5, 6	ringcval 20929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))))
8	7	fveq2d 6912	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
9	1, 8	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
10		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
11		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
12		fvexd 6923	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
13	5, 6	rhmresfn 20930	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
14		inss1 4136	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈)
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
17	16, 3	estrcbas 18328	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
18	17	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
19	15, 5, 18	3sstr4d 3968	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
20	10, 11, 12, 13, 19	reschom 18034	. 2 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
21	9, 20	eqtr4d 2801	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  Hom chom 17468   ↾_cat cresc 18012  ExtStrCatcestrc 18325  Ringcrg 20489   RingHom crh 20729  RingCatcringc 20927

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-resc 18015  df-estrc 18326  df-mhm 19007  df-ghm 19457  df-mgp 20391  df-ur 20438  df-ring 20491  df-rhm 20732  df-ringc 20928

This theorem is used by:  ringchom  20934  ringchomfeqhom  20936  ringccofval  20937  rhmsubcsetclem1  20942  rhmsubcrngclem1  20948  funcringcsetc  20956  irinitoringc  21815