Theorem ringchomfval 43647

Description: Set of arrows of the category of unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcbas.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
ringchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ringchomfval	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem ringchomfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
2		ringcbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
3		ringcbas.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		ringcbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	2, 4, 3	ringcbas 43646	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
6		eqidd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
7	2, 3, 5, 6	ringcval 43643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))))
8	7	fveq2d 6497	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
9	1, 8	syl5eq 2820	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
10		eqid 2772	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
11		eqid 2772	. . 3 ⊢ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
12		fvexd 6508	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
13	5, 6	rhmresfn 43644	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
14		inss1 4086	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈)
16		eqid 2772	. . . . . 6 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
17	16, 3	estrcbas 17227	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
18	17	eqcomd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
19	15, 5, 18	3sstr4d 3898	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
20	10, 11, 12, 13, 19	reschom 16952	. 2 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
21	9, 20	eqtr4d 2811	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3409   ∩ cin 3822   ⊆ wss 3823   × cxp 5399   ↾ cres 5403  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16333  Hom chom 16426   ↾_cat cresc 16930  ExtStrCatcestrc 17224  Ringcrg 19014   RingHom crh 19181  RingCatcringc 43638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-7 11502  df-8 11503  df-9 11504  df-n0 11702  df-z 11788  df-dec 11906  df-uz 12053  df-fz 12703  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-hom 16439  df-cco 16440  df-0g 16565  df-resc 16933  df-estrc 17225  df-mhm 17797  df-ghm 18121  df-mgp 18957  df-ur 18969  df-ring 19016  df-rnghom 19184  df-ringc 43640

This theorem is referenced by:  ringchom  43648  ringchomfeqhom  43650  ringccofval  43651  rhmsubcsetclem1  43656  rhmsubcrngclem1  43662  funcringcsetc  43670  irinitoringc  43704