Theorem ringchomfval 20566

Description: Set of arrows of the category of unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcbas.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
ringchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ringchomfval	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem ringchomfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
2		ringcbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
3		ringcbas.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		ringcbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	2, 4, 3	ringcbas 20565	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
6		eqidd 2728	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
7	2, 3, 5, 6	ringcval 20562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))))
8	7	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
9	1, 8	eqtrid 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
10		eqid 2727	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
11		eqid 2727	. . 3 ⊢ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
12		fvexd 6906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
13	5, 6	rhmresfn 20563	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
14		inss1 4224	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈)
16		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
17	16, 3	estrcbas 18100	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
18	17	eqcomd 2733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
19	15, 5, 18	3sstr4d 4025	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
20	10, 11, 12, 13, 19	reschom 17799	. 2 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
21	9, 20	eqtr4d 2770	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944   × cxp 5670   ↾ cres 5674  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  Hom chom 17229   ↾_cat cresc 17776  ExtStrCatcestrc 18097  Ringcrg 20157   RingHom crh 20390  RingCatcringc 20560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-resc 17779  df-estrc 18098  df-mhm 18725  df-ghm 19152  df-mgp 20059  df-ur 20106  df-ring 20159  df-rhm 20393  df-ringc 20561

This theorem is referenced by:  ringchom  20567  ringchomfeqhom  20569  ringccofval  20570  rhmsubcsetclem1  20575  rhmsubcrngclem1  20581  funcringcsetc  20589  irinitoringc  21385