MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringchomfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringchomfval 20622
Description: Set of arrows of the category of unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcbas.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcbas.u (𝜑𝑈𝑉)
ringchomfval.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
ringchomfval (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem ringchomfval
StepHypRef Expression
1 ringchomfval.h . . 3 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
2 ringcbas.c . . . . 5 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
3 ringcbas.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
4 ringcbas.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
52, 4, 3ringcbas 20621 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
6 eqidd 2727 . . . . 5 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
72, 3, 5, 6ringcval 20618 . . . 4 (𝜑𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))))
87fveq2d 6894 . . 3 (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
91, 8eqtrid 2778 . 2 (𝜑𝐻 = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
10 eqid 2726 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
11 eqid 2726 . . 3 (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
12 fvexd 6905 . . 3 (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
135, 6rhmresfn 20619 . . 3 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
14 inss1 4227 . . . . 5 (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈)
16 eqid 2726 . . . . . 6 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
1716, 3estrcbas 18140 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
1817eqcomd 2732 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
1915, 5, 183sstr4d 4026 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
2010, 11, 12, 13, 19reschom 17839 . 2 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
219, 20eqtr4d 2769 1 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  cin 3945  wss 3946   × cxp 5670  cres 5674  cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17205  Hom chom 17269  cat cresc 17816  ExtStrCatcestrc 18137  Ringcrg 20209   RingHom crh 20444  RingCatcringc 20616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12516  df-z 12602  df-dec 12721  df-uz 12866  df-fz 13530  df-struct 17141  df-sets 17158  df-slot 17176  df-ndx 17188  df-base 17206  df-ress 17235  df-plusg 17271  df-hom 17282  df-cco 17283  df-0g 17448  df-resc 17819  df-estrc 18138  df-mhm 18765  df-ghm 19200  df-mgp 20111  df-ur 20158  df-ring 20211  df-rhm 20447  df-ringc 20617
This theorem is referenced by:  ringchom  20623  ringchomfeqhom  20625  ringccofval  20626  rhmsubcsetclem1  20631  rhmsubcrngclem1  20637  funcringcsetc  20645  irinitoringc  21462
  Copyright terms: Public domain W3C validator