Theorem funcringcsetclem7ALTV 45602

Description: Lemma 7 for funcringcsetcALTV 45605. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcringcsetcALTV.r	⊢ 𝑅 = (RingCatALTV‘𝑈)
funcringcsetcALTV.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcringcsetcALTV.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
funcringcsetcALTV.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcringcsetcALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcringcsetcALTV.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
funcringcsetcALTV.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥 RingHom 𝑦))))

Assertion

Ref	Expression
funcringcsetclem7ALTV	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑦,𝐵,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcringcsetclem7ALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcringcsetcALTV.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (RingCatALTV‘𝑈)
2		funcringcsetcALTV.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3		funcringcsetcALTV.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		funcringcsetcALTV.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
5		funcringcsetcALTV.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
6		funcringcsetcALTV.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
7		funcringcsetcALTV.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥 RingHom 𝑦))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcringcsetclem5ALTV 45600	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋)))
9	8	anabsan2 671	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋)))
10		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Id‘𝑅) = (Id‘𝑅)
11	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ WUni)
12		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
14	1, 3, 10, 11, 12, 13	ringcidALTV 45591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝑅)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
15	9, 14	fveq12d 6778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = (( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋))‘( I ↾ (Base‘𝑋))))
16	1, 3, 5	ringcbasALTV 45583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
17	16	eleq2d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
18		elin 3908	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ Ring))
19	18	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑋 ∈ Ring)
20	17, 19	syl6bi 252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ Ring))
21	20	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Ring)
22	13	idrhm 19986	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ (𝑋 RingHom 𝑋))
23		fvresi 7042	. . 3 ⊢ (( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ (𝑋 RingHom 𝑋) → (( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
24	21, 22, 23	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcringcsetclem1ALTV 45596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) = (Base‘𝑋))
26	25	fveq2d 6775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)))
27		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
28	1, 3, 5	ringcbasbasALTV 45595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑋) ∈ 𝑈)
29	2, 27, 11, 28	setcid 17812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
30	26, 29	eqtr2d 2781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))
31	15, 24, 30	3eqtrd 2784	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3891   ↦ cmpt 5162   I cid 5489   ↾ cres 5592  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272   ∈ cmpo 7274  WUnicwun 10467  Basecbs 16923  Idccid 17385  SetCatcsetc 17801  Ringcrg 19794   RingHom crh 19967  RingCatALTVcringcALTV 45541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-map 8609  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-wun 10469  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-fz 13251  df-struct 16859  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-plusg 16986  df-hom 16997  df-cco 16998  df-0g 17163  df-cat 17388  df-cid 17389  df-setc 17802  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-mhm 18441  df-grp 18591  df-ghm 18843  df-mgp 19732  df-ur 19749  df-ring 19796  df-rnghom 19970  df-ringcALTV 45543

This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV  45605