Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  funcringcsetclem7ALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcringcsetclem7ALTV 46437
Description: Lemma 7 for funcringcsetcALTV 46440. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
funcringcsetcALTV.r 𝑅 = (RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)
funcringcsetcALTV.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcringcsetcALTV.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
funcringcsetcALTV.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcringcsetcALTV.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcringcsetcALTV.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
funcringcsetcALTV.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RingHom 𝑦))))
Assertion
Ref Expression
funcringcsetclem7ALTV ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋𝐺𝑋)β€˜((Idβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = ((Idβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘‹)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐢   𝑦,𝐡,π‘₯   𝑦,𝑋   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem funcringcsetclem7ALTV
StepHypRef Expression
1 funcringcsetcALTV.r . . . . 5 𝑅 = (RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)
2 funcringcsetcALTV.s . . . . 5 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
3 funcringcsetcALTV.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 funcringcsetcALTV.c . . . . 5 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
5 funcringcsetcALTV.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
6 funcringcsetcALTV.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
7 funcringcsetcALTV.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RingHom 𝑦))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7funcringcsetclem5ALTV 46435 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋𝐺𝑋) = ( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑋)))
98anabsan2 673 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐺𝑋) = ( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑋)))
10 eqid 2737 . . . 4 (Idβ€˜π‘…) = (Idβ€˜π‘…)
115adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
12 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
141, 3, 10, 11, 12, 13ringcidALTV 46426 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((Idβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
159, 14fveq12d 6854 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋𝐺𝑋)β€˜((Idβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = (( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑋))β€˜( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹))))
161, 3, 5ringcbasALTV 46418 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Ring))
1716eleq2d 2824 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring)))
18 elin 3931 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring) ↔ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ Ring))
1918simprbi 498 . . . . 5 (𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring) β†’ 𝑋 ∈ Ring)
2017, 19syl6bi 253 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ Ring))
2120imp 408 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ Ring)
2213idrhm 20172 . . 3 (𝑋 ∈ Ring β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) ∈ (𝑋 RingHom 𝑋))
23 fvresi 7124 . . 3 (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) ∈ (𝑋 RingHom 𝑋) β†’ (( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑋))β€˜( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹))) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
2421, 22, 233syl 18 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑋))β€˜( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹))) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
251, 2, 3, 4, 5, 6funcringcsetclem1ALTV 46431 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹))
2625fveq2d 6851 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((Idβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = ((Idβ€˜π‘†)β€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
27 eqid 2737 . . . 4 (Idβ€˜π‘†) = (Idβ€˜π‘†)
281, 3, 5ringcbasbasALTV 46430 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
292, 27, 11, 28setcid 17979 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((Idβ€˜π‘†)β€˜(Baseβ€˜π‘‹)) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
3026, 29eqtr2d 2778 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) = ((Idβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘‹)))
3115, 24, 303eqtrd 2781 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋𝐺𝑋)β€˜((Idβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = ((Idβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3914   ↦ cmpt 5193   I cid 5535   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  WUnicwun 10643  Basecbs 17090  Idccid 17552  SetCatcsetc 17968  Ringcrg 19971   RingHom crh 20152  RingCatALTVcringcALTV 46376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-wun 10645  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-cat 17555  df-cid 17556  df-setc 17969  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-ghm 19013  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-rnghom 20155  df-ringcALTV 46378
This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV  46440
  Copyright terms: Public domain W3C validator