Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rpgtrecnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpgtrecnn 41876
Description: Any positive real number is greater than the reciprocal of a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
rpgtrecnn (𝐴 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rpgtrecnn
StepHypRef Expression
1 rpreccl 12408 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
21rpred 12424 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
31rpge0d 12428 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐴))
4 flge0nn0 13190 . . . 4 (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (⌊‘(1 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
52, 3, 4syl2anc 587 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
6 nn0p1nn 11929 . . 3 ((⌊‘(1 / 𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
75, 6syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
8 flltp1 13170 . . . . 5 ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → (1 / 𝐴) < ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1))
92, 8syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) < ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1))
107nnrpd 12422 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℝ+)
111, 10ltrecd 12442 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝐴) < ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < (1 / (1 / 𝐴))))
129, 11mpbid 235 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < (1 / (1 / 𝐴)))
13 rpcn 12392 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
14 rpne0 12398 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
1513, 14recrecd 11405 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
1612, 15breqtrd 5078 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < 𝐴)
17 oveq2 7153 . . . 4 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)))
1817breq1d 5062 . . 3 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) → ((1 / 𝑛) < 𝐴 ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < 𝐴))
1918rspcev 3609 . 2 ((((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ ∧ (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)
207, 16, 19syl2anc 587 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7145  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668   / cdiv 11289  cn 11630  0cn0 11890  +crp 12382  cfl 13160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-sup 8897  df-inf 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-rp 12383  df-fl 13162
This theorem is referenced by:  xrralrecnnle  41880  iunhoiioolem  43177  smflimlem4  43270
  Copyright terms: Public domain W3C validator