Theorem rpgtrecnn 44662

Description: Any positive real number is greater than the reciprocal of a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rpgtrecnn	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rpgtrecnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpreccl 13006	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13022	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13026	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐴))
4		flge0nn0 13791	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (⌊‘(1 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
6		nn0p1nn 12515	. . 3 ⊢ ((⌊‘(1 / 𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
8		flltp1 13771	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → (1 / 𝐴) < ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1))
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) < ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1))
10	7	nnrpd 13020	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℝ+)
11	1, 10	ltrecd 13040	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝐴) < ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < (1 / (1 / 𝐴))))
12	9, 11	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < (1 / (1 / 𝐴)))
13		rpcn 12990	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		rpne0 12996	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
15	13, 14	recrecd 11991	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
16	12, 15	breqtrd 5167	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < 𝐴)
17		oveq2 7413	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)))
18	17	breq1d 5151	. . 3 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) → ((1 / 𝑛) < 𝐴 ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < 𝐴))
19	18	rspcev 3606	. 2 ⊢ ((((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ ∧ (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)
20	7, 16, 19	syl2anc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253   / cdiv 11875  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ℝ⁺crp 12980  ⌊cfl 13761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763

This theorem is referenced by:  xrralrecnnle  44665  iunhoiioolem  45963  smflimlem4  46062