Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rpgtrecnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpgtrecnn 42888
Description: Any positive real number is greater than the reciprocal of a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
rpgtrecnn (𝐴 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rpgtrecnn
StepHypRef Expression
1 rpreccl 12753 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
21rpred 12769 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
31rpge0d 12773 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐴))
4 flge0nn0 13536 . . . 4 (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (⌊‘(1 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
52, 3, 4syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
6 nn0p1nn 12270 . . 3 ((⌊‘(1 / 𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
75, 6syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
8 flltp1 13516 . . . . 5 ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → (1 / 𝐴) < ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1))
92, 8syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) < ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1))
107nnrpd 12767 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℝ+)
111, 10ltrecd 12787 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝐴) < ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < (1 / (1 / 𝐴))))
129, 11mpbid 231 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < (1 / (1 / 𝐴)))
13 rpcn 12737 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
14 rpne0 12743 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
1513, 14recrecd 11746 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
1612, 15breqtrd 5105 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < 𝐴)
17 oveq2 7277 . . . 4 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)))
1817breq1d 5089 . . 3 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) → ((1 / 𝑛) < 𝐴 ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < 𝐴))
1918rspcev 3561 . 2 ((((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ ∧ (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)
207, 16, 19syl2anc 584 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110  wrex 3067   class class class wbr 5079  cfv 6431  (class class class)co 7269  cr 10869  0cc0 10870  1c1 10871   + caddc 10873   < clt 11008  cle 11009   / cdiv 11630  cn 11971  0cn0 12231  +crp 12727  cfl 13506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-sup 9177  df-inf 9178  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-rp 12728  df-fl 13508
This theorem is referenced by:  xrralrecnnle  42891  iunhoiioolem  44182  smflimlem4  44275
  Copyright terms: Public domain W3C validator