Theorem rspectset 34480

Description: Topology component of the spectrum of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspecbas.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
rspectset.1	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
rspectset.2	⊢ 𝐽 = ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})

Assertion

Ref	Expression
rspectset	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = (TopSet‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖, 𝑗)   𝐽(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem rspectset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6890	. . 3 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)) = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)) = (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅))
4	2, 3	resstset 17516	. . 3 ⊢ ((PrmIdeal‘𝑅) ∈ V → (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)) = (TopSet‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)) = (TopSet‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
6		eqid 2761	. . 3 ⊢ (IDLsrg‘𝑅) = (IDLsrg‘𝑅)
7		rspectset.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
8		rspectset.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})
9	6, 7, 8	idlsrgtset 34022	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)))
10		rspecbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
11		rspecval 34478	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Spec‘𝑅) = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
12	10, 11	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
13	12	fveq2d 6881	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (TopSet‘𝑆) = (TopSet‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
14	5, 9, 13	3eqtr4a 2822	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = (TopSet‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ↾_s cress 17388  TopSetcts 17414  Ringcrg 20439  LIdealclidl 21464  PrmIdealcprmidl 21596  IDLsrgcidlsrg 34014  Speccrspec 34476

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-tset 17427  df-ple 17428  df-idlsrg 34015  df-rspec 34477

This theorem is used by: (None)