Theorem rspectset 33874

Description: Topology component of the spectrum of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspecbas.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
rspectset.1	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
rspectset.2	⊢ 𝐽 = ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})

Assertion

Ref	Expression
rspectset	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = (TopSet‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑗)   𝐽(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem rspectset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6835	. . 3 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)) = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)) = (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅))
4	2, 3	resstset 17266	. . 3 ⊢ ((PrmIdeal‘𝑅) ∈ V → (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)) = (TopSet‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)) = (TopSet‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (IDLsrg‘𝑅) = (IDLsrg‘𝑅)
7		rspectset.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
8		rspectset.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})
9	6, 7, 8	idlsrgtset 33468	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)))
10		rspecbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
11		rspecval 33872	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Spec‘𝑅) = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
12	10, 11	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
13	12	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (TopSet‘𝑆) = (TopSet‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
14	5, 9, 13	3eqtr4a 2792	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = (TopSet‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5172  ran crn 5617  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↾_s cress 17138  TopSetcts 17164  Ringcrg 20149  LIdealclidl 21141  PrmIdealcprmidl 33395  IDLsrgcidlsrg 33460  Speccrspec 33870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-tset 17177  df-ple 17178  df-idlsrg 33461  df-rspec 33871

This theorem is referenced by: (None)