Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rspectset Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rspectset 31285
 Description: Topology component of the spectrum of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rspecbas.1 𝑆 = (Spec‘𝑅)
rspectset.1 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
rspectset.2 𝐽 = ran (𝑖𝐼 ↦ {𝑗𝐼 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
Assertion
Ref Expression
rspectset (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = (TopSet‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑗)   𝐽(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem rspectset
StepHypRef Expression
1 fvex 6668 . . 3 (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
2 eqid 2798 . . . 4 ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)) = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))
3 eqid 2798 . . . 4 (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)) = (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅))
42, 3resstset 16677 . . 3 ((PrmIdeal‘𝑅) ∈ V → (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)) = (TopSet‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
51, 4ax-mp 5 . 2 (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)) = (TopSet‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
6 eqid 2798 . . 3 (IDLsrg‘𝑅) = (IDLsrg‘𝑅)
7 rspectset.1 . . 3 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
8 rspectset.2 . . 3 𝐽 = ran (𝑖𝐼 ↦ {𝑗𝐼 ∣ ¬ 𝑖𝑗})
96, 7, 8idlsrgtset 31122 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)))
10 rspecbas.1 . . . 4 𝑆 = (Spec‘𝑅)
11 rspecval 31283 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (Spec‘𝑅) = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
1210, 11syl5eq 2845 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
1312fveq2d 6659 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (TopSet‘𝑆) = (TopSet‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
145, 9, 133eqtr4a 2859 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = (TopSet‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3442   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5114  ran crn 5524  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ↾s cress 16496  TopSetcts 16583  Ringcrg 19311  LIdealclidl 19956  PrmIdealcprmidl 31079  IDLsrgcidlsrg 31114  Speccrspec 31281 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-fz 12906  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-tset 16596  df-ple 16597  df-idlsrg 31115  df-rspec 31282 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator