Theorem rspectset 31844

Description: Topology component of the spectrum of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspecbas.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
rspectset.1	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
rspectset.2	⊢ 𝐽 = ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})

Assertion

Ref	Expression
rspectset	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = (TopSet‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑗)   𝐽(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem rspectset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6805	. . 3 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)) = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)) = (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅))
4	2, 3	resstset 17103	. . 3 ⊢ ((PrmIdeal‘𝑅) ∈ V → (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)) = (TopSet‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)) = (TopSet‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ (IDLsrg‘𝑅) = (IDLsrg‘𝑅)
7		rspectset.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
8		rspectset.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})
9	6, 7, 8	idlsrgtset 31681	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = (TopSet‘(IDLsrg‘𝑅)))
10		rspecbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
11		rspecval 31842	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Spec‘𝑅) = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
12	10, 11	eqtrid 2785	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
13	12	fveq2d 6796	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (TopSet‘𝑆) = (TopSet‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
14	5, 9, 13	3eqtr4a 2799	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = (TopSet‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  {crab 3221  Vcvv 3434   ⊆ wss 3889   ↦ cmpt 5160  ran crn 5592  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295   ↾_s cress 16969  TopSetcts 16996  Ringcrg 19811  LIdealclidl 20460  PrmIdealcprmidl 31638  IDLsrgcidlsrg 31673  Speccrspec 31840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-fz 13268  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-tset 17009  df-ple 17010  df-idlsrg 31674  df-rspec 31841

This theorem is referenced by: (None)