Theorem rspecbas 32783

Description: The prime ideals form the base of the spectrum of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspecbas.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspecbas	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem rspecbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlssidl 32521	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
2		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (IDLsrg‘𝑅) = (IDLsrg‘𝑅)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4	2, 3	idlsrgbas 32570	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (Base‘(IDLsrg‘𝑅)))
5	1, 4	sseqtrd 4021	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (Base‘(IDLsrg‘𝑅)))
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)) = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))
7		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘(IDLsrg‘𝑅)) = (Base‘(IDLsrg‘𝑅))
8	6, 7	ressbas2 17178	. . 3 ⊢ ((PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (Base‘(IDLsrg‘𝑅)) → (PrmIdeal‘𝑅) = (Base‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) = (Base‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
10		rspecbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
11		rspecval 32782	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Spec‘𝑅) = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
12	10, 11	eqtrid 2785	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
13	12	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑆) = (Base‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
14	9, 13	eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  Ringcrg 20047  LIdealclidl 20771  PrmIdealcprmidl 32511  IDLsrgcidlsrg 32566  Speccrspec 32780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-tset 17212  df-ple 17213  df-prmidl 32512  df-idlsrg 32567  df-rspec 32781

This theorem is referenced by:  rspectps  32801