Theorem rspecbas 33803

Description: The prime ideals form the base of the spectrum of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspecbas.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspecbas	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem rspecbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlssidl 33430	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
2		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (IDLsrg‘𝑅) = (IDLsrg‘𝑅)
3		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4	2, 3	idlsrgbas 33489	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (Base‘(IDLsrg‘𝑅)))
5	1, 4	sseqtrd 4043	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (Base‘(IDLsrg‘𝑅)))
6		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)) = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))
7		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘(IDLsrg‘𝑅)) = (Base‘(IDLsrg‘𝑅))
8	6, 7	ressbas2 17291	. . 3 ⊢ ((PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (Base‘(IDLsrg‘𝑅)) → (PrmIdeal‘𝑅) = (Base‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) = (Base‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
10		rspecbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
11		rspecval 33802	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Spec‘𝑅) = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
12	10, 11	eqtrid 2786	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
13	12	fveq2d 6923	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑆) = (Base‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
14	9, 13	eqtr4d 2777	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ⊆ wss 3970  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253   ↾_s cress 17282  Ringcrg 20255  LIdealclidl 21234  PrmIdealcprmidl 33420  IDLsrgcidlsrg 33485  Speccrspec 33800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-fz 13564  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-tset 17325  df-ple 17326  df-prmidl 33421  df-idlsrg 33486  df-rspec 33801

This theorem is referenced by:  rspectps  33821