Theorem rspecbas 31321

Description: The prime ideals form the base of the spectrum of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspecbas.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspecbas	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem rspecbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlssidl 31126	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
2		eqid 2759	. . . . 5 ⊢ (IDLsrg‘𝑅) = (IDLsrg‘𝑅)
3		eqid 2759	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4	2, 3	idlsrgbas 31155	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (Base‘(IDLsrg‘𝑅)))
5	1, 4	sseqtrd 3928	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (Base‘(IDLsrg‘𝑅)))
6		eqid 2759	. . . 4 ⊢ ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)) = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))
7		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (Base‘(IDLsrg‘𝑅)) = (Base‘(IDLsrg‘𝑅))
8	6, 7	ressbas2 16598	. . 3 ⊢ ((PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (Base‘(IDLsrg‘𝑅)) → (PrmIdeal‘𝑅) = (Base‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) = (Base‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
10		rspecbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
11		rspecval 31320	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Spec‘𝑅) = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
12	10, 11	syl5eq 2806	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 = ((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅)))
13	12	fveq2d 6655	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑆) = (Base‘((IDLsrg‘𝑅) ↾s (PrmIdeal‘𝑅))))
14	9, 13	eqtr4d 2797	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3854  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  Basecbs 16526   ↾_s cress 16527  Ringcrg 19350  LIdealclidl 19995  PrmIdealcprmidl 31116  IDLsrgcidlsrg 31151  Speccrspec 31318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-fz 12925  df-struct 16528  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-tset 16627  df-ple 16628  df-prmidl 31117  df-idlsrg 31152  df-rspec 31319

This theorem is referenced by:  rspectps  31339