Theorem sdrgfldext 33810

Description: A field 𝐸 and any sub-division-ring 𝐹 of 𝐸 form a field extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrgfldext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
sdrgfldext.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
sdrgfldext.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
sdrgfldext	⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹))

Proof of Theorem sdrgfldext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdrgfldext.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
2		sdrgfldext.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
3		fldsdrgfld 20766	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
5		sdrgfldext.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
6	5	sdrgss 20761	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
9	8, 5	ressbas2 17199	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → 𝐹 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
11	10	oveq2d 7376	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
12		sdrgsubrg 20759	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
13	2, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
14	10, 13	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝐸))
15		brfldext 33805	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field) → (𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹) ↔ ((𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝐸))))
16	15	biimpar 477	. 2 ⊢ (((𝐸 ∈ Field ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field) ∧ ((𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝐸))) → 𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹))
17	1, 4, 11, 14, 16	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  SubRingcsubrg 20537  Fieldcfield 20698  SubDRingcsdrg 20754  /_FldExtcfldext 33798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-cmn 19748  df-mgp 20113  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrg 20538  df-field 20700  df-sdrg 20755  df-fldext 33801

This theorem is referenced by:  constrext2chnlem  33910