Theorem sdrgfldext 34071

Description: A field 𝐸 and any sub-division-ring 𝐹 of 𝐸 form a field extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrgfldext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
sdrgfldext.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
sdrgfldext.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
sdrgfldext	⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹))

Proof of Theorem sdrgfldext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdrgfldext.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
2		sdrgfldext.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
3		fldsdrgfld 20938	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
5		sdrgfldext.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
6	5	sdrgss 20933	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7	2, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
8		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
9	8, 5	ressbas2 17323	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → 𝐹 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
10	7, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
11	10	oveq2d 7439	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
12		sdrgsubrg 20931	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
13	2, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
14	10, 13	eqeltrrd 2867	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝐸))
15		brfldext 34066	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field) → (𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹) ↔ ((𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝐸))))
16	15	biimpar 483	. 2 ⊢ (((𝐸 ∈ Field ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field) ∧ ((𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝐸))) → 𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹))
17	1, 4, 11, 14, 16	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  SubRingcsubrg 20705  Fieldcfield 20865  SubDRingcsdrg 20926  /_FldExtcfldext 34059

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-cmn 19883  df-mgp 20248  df-ring 20348  df-cring 20349  df-subrg 20706  df-field 20867  df-sdrg 20927  df-fldext 34062

This theorem is used by:  constrext2chnlem  34171