Theorem sdrgfldext 33841

Description: A field 𝐸 and any sub-division-ring 𝐹 of 𝐸 form a field extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrgfldext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
sdrgfldext.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
sdrgfldext.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
sdrgfldext	⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹))

Proof of Theorem sdrgfldext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdrgfldext.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
2		sdrgfldext.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
3		fldsdrgfld 20777	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
5		sdrgfldext.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
6	5	sdrgss 20772	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
9	8, 5	ressbas2 17206	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → 𝐹 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
11	10	oveq2d 7379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
12		sdrgsubrg 20770	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
13	2, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
14	10, 13	eqeltrrd 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝐸))
15		brfldext 33836	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field) → (𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹) ↔ ((𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝐸))))
16	15	biimpar 478	. 2 ⊢ (((𝐸 ∈ Field ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field) ∧ ((𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝐸))) → 𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹))
17	1, 4, 11, 14, 16	syl22anc 844	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  SubRingcsubrg 20548  Fieldcfield 20709  SubDRingcsdrg 20765  /_FldExtcfldext 33829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-cmn 19755  df-mgp 20120  df-ring 20214  df-cring 20215  df-subrg 20549  df-field 20711  df-sdrg 20766  df-fldext 33832

This theorem is referenced by:  constrext2chnlem  33941