Theorem sdrgfldext 34168

Description: A field 𝐸 and any sub-division-ring 𝐹 of 𝐸 form a field extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrgfldext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
sdrgfldext.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
sdrgfldext.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
sdrgfldext	⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹))

Proof of Theorem sdrgfldext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdrgfldext.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
2		sdrgfldext.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
3		fldsdrgfld 20970	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
5		sdrgfldext.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
6	5	sdrgss 20965	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7	2, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
9	8, 5	ressbas2 17336	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → 𝐹 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
10	7, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
11	10	oveq2d 7433	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
12		sdrgsubrg 20963	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
13	2, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
14	10, 13	eqeltrrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝐸))
15		brfldext 34163	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field) → (𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹) ↔ ((𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝐸))))
16	15	biimpar 483	. 2 ⊢ (((𝐸 ∈ Field ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field) ∧ ((𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝐸))) → 𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹))
17	1, 4, 11, 14, 16	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  SubRingcsubrg 20737  Fieldcfield 20897  SubDRingcsdrg 20958  /_FldExtcfldext 34156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-cmn 19915  df-mgp 20280  df-ring 20380  df-cring 20381  df-subrg 20738  df-field 20899  df-sdrg 20959  df-fldext 34159

This theorem is used by:  constrext2chnlem  34268