Theorem sdrgfldext 33908

Description: A field 𝐸 and any sub-division-ring 𝐹 of 𝐸 form a field extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrgfldext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
sdrgfldext.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
sdrgfldext.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
sdrgfldext	⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹))

Proof of Theorem sdrgfldext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdrgfldext.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
2		sdrgfldext.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
3		fldsdrgfld 20827	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
5		sdrgfldext.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
6	5	sdrgss 20822	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
9	8, 5	ressbas2 17257	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → 𝐹 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
11	10	oveq2d 7408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
12		sdrgsubrg 20820	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
13	2, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
14	10, 13	eqeltrrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝐸))
15		brfldext 33903	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field) → (𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹) ↔ ((𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝐸))))
16	15	biimpar 481	. 2 ⊢ (((𝐸 ∈ Field ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field) ∧ ((𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝐸))) → 𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹))
17	1, 4, 11, 14, 16	syl22anc 849	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt(𝐸 ↾s 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228   ↾_s cress 17249  SubRingcsubrg 20598  Fieldcfield 20759  SubDRingcsdrg 20815  /_FldExtcfldext 33896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-cmn 19805  df-mgp 20170  df-ring 20264  df-cring 20265  df-subrg 20599  df-field 20761  df-sdrg 20816  df-fldext 33899

This theorem is referenced by:  constrext2chnlem  34008