Theorem seqof2 14032

Description: Distribute function operation through a sequence. Maps-to notation version of seqof 14031. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqof2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
seqof2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqof2.3	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ 𝐵)
seqof2.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
seqof2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))‘𝑁) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑧, +   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   + (𝑥)   𝑉(𝑥,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem seqof2

Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqof2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		seqof2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
4		nffvmpt1 6872	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛)
5		nfcv 2892	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
6		nffvmpt1 6872	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)
7	5, 6	nfmpt 5208	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
8	4, 7	nfeq 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
9	3, 8	nfim 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
10		eleq1w 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
11	10	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
12		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛))
13		fveq2 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
14	13	mpteq2dv 5204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
15	12, 14	eqeq12d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))))
16	11, 15	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))))
17		seqof2.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ 𝐵)
18	17	sselda 3949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
20	19	mptexd 7201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ∈ V)
21		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
22	21	fvmpt2 6982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
23	18, 20, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
24	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
25		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝜑)
26		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
27		seqof2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝑊)
28	25, 24, 26, 27	syl12anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑊)
29		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
30	29	fvmpt2 6982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
31	24, 28, 30	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
32	31	mpteq2dva 5203	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
33	23, 32	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)))
34	9, 16, 33	chvarfv 2241	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
35		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)
36		nfcsb1v 3889	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
37		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧𝑛
38	36, 37	nffv 6871	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧(⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)
39		csbeq1a 3879	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋) = ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
40	39	fveq1d 6863	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛) = (⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
41	35, 38, 40	cbvmpt 5212	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
42	34, 41	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
43	1, 2, 42	seqof 14031	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))‘𝑁) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)))
44		nfcv 2892	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦(seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)
45		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝑀
46		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧 +
47	45, 46, 36	nfseq 13983	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
48		nfcv 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧𝑁
49	47, 48	nffv 6871	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧(seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)
50	39	seqeq3d 13981	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)) = seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)))
51	50	fveq1d 6863	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁) = (seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁))
52	44, 49, 51	cbvmpt 5212	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁))
53	43, 52	eqtr4di 2783	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))‘𝑁) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ⦋csb 3865   ⊆ wss 3917   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  seqcseq 13973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974

This theorem is referenced by:  mtestbdd  26321  lgamgulm2  26953  lgamcvglem  26957