MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqof2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqof2 14101
Description: Distribute function operation through a sequence. Maps-to notation version of seqof 14100. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
seqof2.1 (𝜑𝐴𝑉)
seqof2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqof2.3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ 𝐵)
seqof2.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑧𝐴)) → 𝑋𝑊)
Assertion
Ref Expression
seqof2 (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋)))‘𝑁) = (𝑧𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑧, +   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   + (𝑥)   𝑉(𝑥,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem seqof2
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqof2.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 seqof2.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 nfv 1914 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
4 nffvmpt1 6917 . . . . . . 7 𝑥((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛)
5 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑥𝐴
6 nffvmpt1 6917 . . . . . . . 8 𝑥((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)
75, 6nfmpt 5249 . . . . . . 7 𝑥(𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))
84, 7nfeq 2919 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))
93, 8nfim 1896 . . . . 5 𝑥((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)))
10 eleq1w 2824 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
1110anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
12 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛))
13 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))
1413mpteq2dv 5244 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥)) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)))
1512, 14eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥)) ↔ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))))
1611, 15imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥))) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)))))
17 seqof2.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ 𝐵)
1817sselda 3983 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥𝐵)
191adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴𝑉)
2019mptexd 7244 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧𝐴𝑋) ∈ V)
21 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))
2221fvmpt2 7027 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵 ∧ (𝑧𝐴𝑋) ∈ V) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = (𝑧𝐴𝑋))
2318, 20, 22syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = (𝑧𝐴𝑋))
2418adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐵)
25 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝜑)
26 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
27 seqof2.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑧𝐴)) → 𝑋𝑊)
2825, 24, 26, 27syl12anc 837 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑋𝑊)
29 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵𝑋) = (𝑥𝐵𝑋)
3029fvmpt2 7027 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑋𝑊) → ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
3124, 28, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
3231mpteq2dva 5242 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥)) = (𝑧𝐴𝑋))
3323, 32eqtr4d 2780 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥)))
349, 16, 33chvarfv 2240 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)))
35 nfcv 2905 . . . . 5 𝑦((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)
36 nfcsb1v 3923 . . . . . 6 𝑧𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)
37 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑧𝑛
3836, 37nffv 6916 . . . . 5 𝑧(𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)
39 csbeq1a 3913 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑋) = 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))
4039fveq1d 6908 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛) = (𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))
4135, 38, 40cbvmpt 5253 . . . 4 (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)) = (𝑦𝐴 ↦ (𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))
4234, 41eqtrdi 2793 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑦𝐴 ↦ (𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)))
431, 2, 42seqof 14100 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋)))‘𝑁) = (𝑦𝐴 ↦ (seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)))
44 nfcv 2905 . . 3 𝑦(seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)
45 nfcv 2905 . . . . 5 𝑧𝑀
46 nfcv 2905 . . . . 5 𝑧 +
4745, 46, 36nfseq 14052 . . . 4 𝑧seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))
48 nfcv 2905 . . . 4 𝑧𝑁
4947, 48nffv 6916 . . 3 𝑧(seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)
5039seqeq3d 14050 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋)) = seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)))
5150fveq1d 6908 . . 3 (𝑧 = 𝑦 → (seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))‘𝑁))
5244, 49, 51cbvmpt 5253 . 2 (𝑧𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)) = (𝑦𝐴 ↦ (seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))‘𝑁))
5343, 52eqtr4di 2795 1 (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋)))‘𝑁) = (𝑧𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  csb 3899  wss 3951  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043
This theorem is referenced by:  mtestbdd  26448  lgamgulm2  27079  lgamcvglem  27083
  Copyright terms: Public domain W3C validator