Theorem seqof2 13983

Description: Distribute function operation through a sequence. Maps-to notation version of seqof 13982. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqof2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
seqof2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqof2.3	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ 𝐵)
seqof2.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
seqof2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))‘𝑁) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑧, +   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   + (𝑥)   𝑉(𝑥,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem seqof2

Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqof2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		seqof2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
4		nffvmpt1 6845	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛)
5		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
6		nffvmpt1 6845	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)
7	5, 6	nfmpt 5196	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
8	4, 7	nfeq 2912	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
9	3, 8	nfim 1897	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
10		eleq1w 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
11	10	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
12		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛))
13		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
14	13	mpteq2dv 5192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
15	12, 14	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))))
16	11, 15	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))))
17		seqof2.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ 𝐵)
18	17	sselda 3933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
20	19	mptexd 7170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ∈ V)
21		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
22	21	fvmpt2 6952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
23	18, 20, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
24	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
25		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝜑)
26		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
27		seqof2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝑊)
28	25, 24, 26, 27	syl12anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑊)
29		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
30	29	fvmpt2 6952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
31	24, 28, 30	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
32	31	mpteq2dva 5191	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
33	23, 32	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)))
34	9, 16, 33	chvarfv 2247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
35		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)
36		nfcsb1v 3873	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
37		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧𝑛
38	36, 37	nffv 6844	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧(⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)
39		csbeq1a 3863	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋) = ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
40	39	fveq1d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛) = (⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
41	35, 38, 40	cbvmpt 5200	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
42	34, 41	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
43	1, 2, 42	seqof 13982	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))‘𝑁) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)))
44		nfcv 2898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦(seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)
45		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝑀
46		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧 +
47	45, 46, 36	nfseq 13934	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
48		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧𝑁
49	47, 48	nffv 6844	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧(seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)
50	39	seqeq3d 13932	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)) = seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)))
51	50	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁) = (seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁))
52	44, 49, 51	cbvmpt 5200	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁))
53	43, 52	eqtr4di 2789	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))‘𝑁) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ⦋csb 3849   ⊆ wss 3901   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  seqcseq 13924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925

This theorem is referenced by:  mtestbdd  26370  lgamgulm2  27002  lgamcvglem  27006