Theorem seqof2 14114

Description: Distribute function operation through a sequence. Maps-to notation version of seqof 14113. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqof2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
seqof2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqof2.3	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ 𝐵)
seqof2.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
seqof2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))‘𝑁) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑧, +   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   + (𝑥)   𝑉(𝑥, 𝑧)   𝑊(𝑥, 𝑧)   𝑋(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem seqof2

Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqof2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		seqof2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
4		nffvmpt1 6896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛)
5		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
6		nffvmpt1 6896	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)
7	5, 6	nfmpt 5211	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
8	4, 7	nfeq 2940	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
9	3, 8	nfim 1929	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
10		eleq1w 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
11	10	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
12		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛))
13		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
14	13	mpteq2dv 5207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
15	12, 14	eqeq12d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))))
16	11, 15	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))))
17		seqof2.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ 𝐵)
18	17	sselda 3938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
20	19	mptexd 7229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ∈ V)
21		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
22	21	fvmpt2 7005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
23	18, 20, 22	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
24	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
25		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝜑)
26		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
27		seqof2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝑊)
28	25, 24, 26, 27	syl12anc 850	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑊)
29		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
30	29	fvmpt2 7005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
31	24, 28, 30	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
32	31	mpteq2dva 5206	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
33	23, 32	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)))
34	9, 16, 33	chvarfv 2279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
35		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)
36		nfcsb1v 3878	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
37		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧𝑛
38	36, 37	nffv 6895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧(⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)
39		csbeq1a 3868	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋) = ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
40	39	fveq1d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛) = (⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
41	35, 38, 40	cbvmpt 5215	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
42	34, 41	eqtrdi 2816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
43	1, 2, 42	seqof 14113	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))‘𝑁) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)))
44		nfcv 2927	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦(seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)
45		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝑀
46		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧 +
47	45, 46, 36	nfseq 14065	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
48		nfcv 2927	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧𝑁
49	47, 48	nffv 6895	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧(seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)
50	39	seqeq3d 14063	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)) = seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)))
51	50	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁) = (seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁))
52	44, 49, 51	cbvmpt 5215	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁))
53	43, 52	eqtr4di 2818	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))‘𝑁) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ⦋csb 3854   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13551  seqcseq 14055

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-seq 14056

This theorem is used by:  mtestbdd  26619  lgamgulm2  27251  lgamcvglem  27255