MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqof2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqof2 13975
Description: Distribute function operation through a sequence. Maps-to notation version of seqof 13974. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
seqof2.1 (𝜑𝐴𝑉)
seqof2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqof2.3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ 𝐵)
seqof2.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑧𝐴)) → 𝑋𝑊)
Assertion
Ref Expression
seqof2 (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋)))‘𝑁) = (𝑧𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑧, +   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   + (𝑥)   𝑉(𝑥,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem seqof2
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqof2.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 seqof2.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 nfv 1918 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
4 nffvmpt1 6857 . . . . . . 7 𝑥((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛)
5 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑥𝐴
6 nffvmpt1 6857 . . . . . . . 8 𝑥((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)
75, 6nfmpt 5216 . . . . . . 7 𝑥(𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))
84, 7nfeq 2917 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))
93, 8nfim 1900 . . . . 5 𝑥((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)))
10 eleq1w 2817 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
1110anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
12 fveq2 6846 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛))
13 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))
1413mpteq2dv 5211 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥)) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)))
1512, 14eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥)) ↔ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))))
1611, 15imbi12d 345 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥))) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)))))
17 seqof2.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ 𝐵)
1817sselda 3948 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥𝐵)
191adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴𝑉)
2019mptexd 7178 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧𝐴𝑋) ∈ V)
21 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))
2221fvmpt2 6963 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵 ∧ (𝑧𝐴𝑋) ∈ V) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = (𝑧𝐴𝑋))
2318, 20, 22syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = (𝑧𝐴𝑋))
2418adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐵)
25 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝜑)
26 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
27 seqof2.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑧𝐴)) → 𝑋𝑊)
2825, 24, 26, 27syl12anc 836 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑋𝑊)
29 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵𝑋) = (𝑥𝐵𝑋)
3029fvmpt2 6963 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑋𝑊) → ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
3124, 28, 30syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
3231mpteq2dva 5209 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥)) = (𝑧𝐴𝑋))
3323, 32eqtr4d 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥)))
349, 16, 33chvarfv 2234 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)))
35 nfcv 2904 . . . . 5 𝑦((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)
36 nfcsb1v 3884 . . . . . 6 𝑧𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)
37 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑧𝑛
3836, 37nffv 6856 . . . . 5 𝑧(𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)
39 csbeq1a 3873 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑋) = 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))
4039fveq1d 6848 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛) = (𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))
4135, 38, 40cbvmpt 5220 . . . 4 (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)) = (𝑦𝐴 ↦ (𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))
4234, 41eqtrdi 2789 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑦𝐴 ↦ (𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)))
431, 2, 42seqof 13974 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋)))‘𝑁) = (𝑦𝐴 ↦ (seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)))
44 nfcv 2904 . . 3 𝑦(seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)
45 nfcv 2904 . . . . 5 𝑧𝑀
46 nfcv 2904 . . . . 5 𝑧 +
4745, 46, 36nfseq 13925 . . . 4 𝑧seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))
48 nfcv 2904 . . . 4 𝑧𝑁
4947, 48nffv 6856 . . 3 𝑧(seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)
5039seqeq3d 13923 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋)) = seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)))
5150fveq1d 6848 . . 3 (𝑧 = 𝑦 → (seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))‘𝑁))
5244, 49, 51cbvmpt 5220 . 2 (𝑧𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)) = (𝑦𝐴 ↦ (seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))‘𝑁))
5343, 52eqtr4di 2791 1 (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋)))‘𝑁) = (𝑧𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  csb 3859  wss 3914  cmpt 5192  cfv 6500  (class class class)co 7361  f cof 7619  cuz 12771  ...cfz 13433  seqcseq 13915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916
This theorem is referenced by:  mtestbdd  25787  lgamgulm2  26408  lgamcvglem  26412
  Copyright terms: Public domain W3C validator