MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqof2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqof2 14030
Description: Distribute function operation through a sequence. Maps-to notation version of seqof 14029. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
seqof2.1 (𝜑𝐴𝑉)
seqof2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqof2.3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ 𝐵)
seqof2.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑧𝐴)) → 𝑋𝑊)
Assertion
Ref Expression
seqof2 (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋)))‘𝑁) = (𝑧𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑧, +   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   + (𝑥)   𝑉(𝑥,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem seqof2
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqof2.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 seqof2.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 nfv 1917 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
4 nffvmpt1 6902 . . . . . . 7 𝑥((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛)
5 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑥𝐴
6 nffvmpt1 6902 . . . . . . . 8 𝑥((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)
75, 6nfmpt 5255 . . . . . . 7 𝑥(𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))
84, 7nfeq 2916 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))
93, 8nfim 1899 . . . . 5 𝑥((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)))
10 eleq1w 2816 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
1110anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
12 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛))
13 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))
1413mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥)) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)))
1512, 14eqeq12d 2748 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥)) ↔ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))))
1611, 15imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥))) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)))))
17 seqof2.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ 𝐵)
1817sselda 3982 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥𝐵)
191adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴𝑉)
2019mptexd 7228 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧𝐴𝑋) ∈ V)
21 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))
2221fvmpt2 7009 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵 ∧ (𝑧𝐴𝑋) ∈ V) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = (𝑧𝐴𝑋))
2318, 20, 22syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = (𝑧𝐴𝑋))
2418adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐵)
25 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝜑)
26 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
27 seqof2.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑧𝐴)) → 𝑋𝑊)
2825, 24, 26, 27syl12anc 835 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑋𝑊)
29 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵𝑋) = (𝑥𝐵𝑋)
3029fvmpt2 7009 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑋𝑊) → ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
3124, 28, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
3231mpteq2dva 5248 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥)) = (𝑧𝐴𝑋))
3323, 32eqtr4d 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑥) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑥)))
349, 16, 33chvarfv 2233 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)))
35 nfcv 2903 . . . . 5 𝑦((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)
36 nfcsb1v 3918 . . . . . 6 𝑧𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)
37 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑧𝑛
3836, 37nffv 6901 . . . . 5 𝑧(𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)
39 csbeq1a 3907 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑋) = 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))
4039fveq1d 6893 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛) = (𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))
4135, 38, 40cbvmpt 5259 . . . 4 (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)) = (𝑦𝐴 ↦ (𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)‘𝑛))
4234, 41eqtrdi 2788 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋))‘𝑛) = (𝑦𝐴 ↦ (𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)‘𝑛)))
431, 2, 42seqof 14029 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋)))‘𝑁) = (𝑦𝐴 ↦ (seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)))
44 nfcv 2903 . . 3 𝑦(seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)
45 nfcv 2903 . . . . 5 𝑧𝑀
46 nfcv 2903 . . . . 5 𝑧 +
4745, 46, 36nfseq 13980 . . . 4 𝑧seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))
48 nfcv 2903 . . . 4 𝑧𝑁
4947, 48nffv 6901 . . 3 𝑧(seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)
5039seqeq3d 13978 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋)) = seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋)))
5150fveq1d 6893 . . 3 (𝑧 = 𝑦 → (seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))‘𝑁))
5244, 49, 51cbvmpt 5259 . 2 (𝑧𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)) = (𝑦𝐴 ↦ (seq𝑀( + , 𝑦 / 𝑧(𝑥𝐵𝑋))‘𝑁))
5343, 52eqtr4di 2790 1 (𝜑 → (seq𝑀( ∘f + , (𝑥𝐵 ↦ (𝑧𝐴𝑋)))‘𝑁) = (𝑧𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥𝐵𝑋))‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474  csb 3893  wss 3948  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7411  f cof 7670  cuz 12826  ...cfz 13488  seqcseq 13970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971
This theorem is referenced by:  mtestbdd  26141  lgamgulm2  26764  lgamcvglem  26768
  Copyright terms: Public domain W3C validator